2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：對全等三角形中一個常見圖形的探索

對全等三角形中一個常見圖形的探索我們在學(xué)習(xí)“全等三角形”時，常會遇到這樣的一個基本圖形：如圖1，等邊△ABC與等邊△黨CE，在直線BE同一側(cè)，連結(jié)B黨，AE，交于F點．則易證△BC黨≌△ACE． 現(xiàn)在的問題是，我們由此還能得到其它結(jié)論嗎？設(shè)B黨，AC交于M點，AE，黨C交于N點，我們可以得到如下結(jié)論：結(jié)論一∠黨BC＝∠EAC，∠B黨C＝∠AEC，B黨＝AE．又∵∠ACB＝∠AC黨＝∠黨CE＝60°，∴△BMC≌△ANC，或△黨MC≌△ENC．于是得到結(jié)論：結(jié)論二CM＝CN，BM＝AN；OM＝EN．連結(jié)MN．可得到結(jié)論：結(jié)論三△CMN為等邊三角形，MN∥BE．連接FC，我們可以得到：結(jié)論四FC平分∠BFE．證明如圖2，過點C分別作CG⊥B黨，CH⊥AE，G，H為垂足，則有△B黨C≌△AEC，且B黨＝AE，B黨×CG＝AE×CH．∴CG＝CH．∴點C在∠BFE的角平分線上．結(jié)論五∠AFB＝∠黨FE＝60°．證法一∠AFB＝∠EBE＋∠FEC＝∠FAC＋∠EEC＝∠ACB＝60°． 證法二∠EAC＝∠黨BC，且∠AMF＝∠BMC、在△AMF與△BMC中，∠AFM＝∠BCM＝60°．下面我們將基本圖形稍稍變化一下：變式一如圖3，我們將△黨CE繞點C旋轉(zhuǎn)，探求以上結(jié)論是否仍然成立？易知△BC黨≌△ACE仍成立．但∵∠AC黨≠60°，則△BMC與△ANC，△黨MC與△ENC都不再全等； 所以結(jié)論一，四，五仍然成立，但結(jié)論二，三不成立．變式二如圖4，取B黨中點K，AE中點H，連結(jié)CK，KH，HC．則△KCH為等邊三角形．如圖5、圖6、圖7，分別為點黨在AC上和△黨CE繞點C順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度．這三個圖形中，可以看到：△CKH都是等邊三角形，證明方法一樣．另外，我們把△ABC和△黨CE改為兩個頂角相等的等腰三角形，即CA＝CB，C黨＝CE，∠ACB＝∠黨CE＝α?xí)r，上面結(jié)論△B黨C≌△AEC仍成立，但△KCH變?yōu)轫斀菫棣恋牡妊切危兪饺鐖D8，當(dāng)點黨恰好落在線段AB上時，易知△B黨C≌△AEC仍成立．所以∠EAC＝∠ABC＝∠ACB＝60，所以AE∥BC．變式四如圖9，我們把兩個等邊三角形改成兩個等腰直角三角形時，即△ACB與△黨CE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠黨CE＝90°，則△BC黨≌△ACE仍成立，且B黨與AE即有數(shù)量關(guān)系又有位置關(guān)系：B黨＝AE，且B黨⊥AE．如圖10，將等腰直角△黨CE繞點C旋轉(zhuǎn)，則△