混凝土二維擴(kuò)散分析的離散網(wǎng)格法

混凝土二維擴(kuò)散分析的離散網(wǎng)格法

由于海洋等富有財(cái)產(chǎn)的氯離子環(huán)境，氯離子逐漸滲入混凝土中，最終到達(dá)鋼筋表面，導(dǎo)致鋼筋腐蝕，影響鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的使用性和耐久性。由于鋼筋銹蝕的過程并不持續(xù)消耗氯離子，因此分析評(píng)估氯離子環(huán)境下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性和使用壽命的關(guān)鍵是確定氯離子在混凝土中的分布和擴(kuò)散規(guī)律。氯離子在混凝土中的擴(kuò)散表現(xiàn)為一種復(fù)雜的非線性動(dòng)力現(xiàn)象和復(fù)雜的物理化學(xué)過程，人們經(jīng)常通過合理的簡(jiǎn)化達(dá)到用Fick第二定律來描述這一過程的目標(biāo)。Tang等在考慮混凝土漿體孔隙率、滲透深度、暴露時(shí)間、擴(kuò)散過程活化能以及溫度等基礎(chǔ)上建立了擴(kuò)散系數(shù)的多因素計(jì)算模型；Liang等考慮了水泥水化物對(duì)氯離子擴(kuò)散的影響，并對(duì)氯離子擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行了修正；余紅發(fā)等提出考慮多因素?cái)U(kuò)散模型的一維解析解。由于解析解的擴(kuò)散系數(shù)通常是結(jié)合混凝土的氯離子擴(kuò)散試驗(yàn)確定的，因此解析解具有很好的計(jì)算精度，與試驗(yàn)值基本吻合，可以作為理論分析以及檢驗(yàn)數(shù)值方法正確性的有效工具。但是解析解的缺陷是不太適合于邊界條件有變化或者擴(kuò)散場(chǎng)中混凝土材料性能有變化的復(fù)雜氯離子擴(kuò)散情況，因而針對(duì)氯離子擴(kuò)散分析的數(shù)值方法得到了發(fā)展。Funanshi應(yīng)用有限差分法、Sergi等應(yīng)用最小平方法對(duì)氯離子在混凝土中的擴(kuò)散規(guī)律進(jìn)行了一維數(shù)值模擬。Han采用有限元法分析氯離子擴(kuò)散問題。上述研究都局限于氯離子一維擴(kuò)散計(jì)算模型。但是在混凝土結(jié)構(gòu)的角點(diǎn)等幾何形狀復(fù)雜處，氯離子通常呈二維擴(kuò)散狀態(tài)，并且該擴(kuò)散狀態(tài)是一維擴(kuò)散解析理論和數(shù)值計(jì)算方法無法正確反映的。另外，由于混凝土結(jié)構(gòu)的角點(diǎn)附近往往是應(yīng)力集中區(qū)，受力較為復(fù)雜，鋼筋分布更密集。再加上角點(diǎn)處的氯離子濃度較高，因此，從混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性要求出發(fā)，更需要重點(diǎn)分析結(jié)構(gòu)角點(diǎn)處的氯離子分布及其二維擴(kuò)散特性。近年來人們逐漸關(guān)注氯離子二維擴(kuò)散問題。Suryavanshi等提出了二維常擴(kuò)散系數(shù)下Fick第二定律的解析解，田冠飛等應(yīng)用二維有限元法分析了鋼筋對(duì)氯離子擴(kuò)散的影響。Bitaraf等應(yīng)用無網(wǎng)格法對(duì)氯離子擴(kuò)散進(jìn)行了二維數(shù)值模擬。李冉等應(yīng)用二維有限元數(shù)值模型研究了混凝土結(jié)構(gòu)拐角處的氯離子分布規(guī)律。盡管有限元法適應(yīng)性很強(qiáng)，但在氯離子擴(kuò)散研究中通常需要在時(shí)間域和空間域中同時(shí)離散，并且需要在兩個(gè)域中都采用細(xì)密離散網(wǎng)格，從而形成復(fù)雜的迭代計(jì)算格式，使得計(jì)算量較大，運(yùn)算速度慢，效率不高。因此，氯離子擴(kuò)散的數(shù)值分析方法還需進(jìn)一步豐富和完善。研究建立了氯離子二維擴(kuò)散分析的邊界元法。利用線性插值函數(shù)，沿著混凝土試件的邊界進(jìn)行離散，在Fick第二定理的基礎(chǔ)上建立了混凝土中氯離子濃度計(jì)算的邊界元法計(jì)算格式，提出了擴(kuò)散場(chǎng)計(jì)算長度的概念和表達(dá)式，并確定了擴(kuò)散長度系數(shù)。計(jì)算時(shí)，在時(shí)間域僅需要很少的幾個(gè)離散單元就可以取得極高精度的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)可以將二維結(jié)構(gòu)降低為一維離散問題。1混凝土結(jié)構(gòu)參數(shù)圖1所示的混凝土試件，其2個(gè)相鄰面(圖1中x=0和y=0的2個(gè)面)暴露于海水中，其余表面都用環(huán)氧樹脂封閉，避免和海水發(fā)生氯離子交換。因而氯離子在該試件中將發(fā)生二維擴(kuò)散現(xiàn)象。盡管混凝土為非勻質(zhì)體，但通過適當(dāng)變換可以得到等效均值且各向同性體。此時(shí)可以用Fick第二定律來描述圖1所示的氯離子在混凝土中二維擴(kuò)散過程所形成的有勢(shì)場(chǎng)：其中：?2表示Laplace算子；t為混凝土持續(xù)暴露于氯離子環(huán)境中的時(shí)間，t0表示混凝土暴露于氯離子環(huán)境時(shí)的初始齡期；C表示混凝土內(nèi)某點(diǎn)P(x,y)在暴露時(shí)刻t的氯離子濃度；C0為混凝土內(nèi)初始氯離子濃度，取C0=0;q表示混凝土構(gòu)件內(nèi)部氯離子濃度梯度，在邊界處n表示混凝土構(gòu)件邊界的外法線方向；Γ1和Γ2分別表示第一、二類邊界條件，在Γ1邊界上，即圖1中混凝土構(gòu)件x=0和y=0的邊界上，表面氯離子濃度為Cs；在Γ2邊界上氯離子濃度梯度為已知量qs，圖1中的BC,CD二個(gè)邊屬于該類邊界，這里由于在邊界兩邊不發(fā)生氯離子交換，因此qs=0ㄢ根據(jù)式(1)，由加權(quán)余量法得：其中：C*，q*是氯離子擴(kuò)散場(chǎng)問題的基本解，它表示點(diǎn)i(xi,yi)在時(shí)刻t的單位氯離子濃度，經(jīng)過一段時(shí)間(τ–t)的擴(kuò)散，對(duì)點(diǎn)j(x,y)處氯離子濃度和梯度的影響。稱點(diǎn)i為激勵(lì)點(diǎn)或源點(diǎn)，點(diǎn)j為響應(yīng)點(diǎn)或場(chǎng)點(diǎn)。且有：其中：r表示激勵(lì)點(diǎn)i(xi,yi)到響應(yīng)點(diǎn)j(x,y)的距離，即：n表示響應(yīng)點(diǎn)所處邊界元的外法線方向，如圖2所示。則有：容易證明，基本解滿足如下關(guān)系式：根據(jù)第二Green公式及式(7)，對(duì)式(3)左邊兩項(xiàng)加以整理可得：將式(9)和(10)代入到式(3)中，并利用式(8)約簡(jiǎn)，可得：令：其中：Ei(b)為指數(shù)積分，且同時(shí),當(dāng)將激勵(lì)點(diǎn)i(x,y)移動(dòng)到邊界上時(shí),式(11)就成為邊界積分方程:其中：其中：β表示點(diǎn)i處于邊界上非光滑連續(xù)點(diǎn)時(shí)兩側(cè)切線的夾角。2確定邊界元法第5位的思想沿著混凝土構(gòu)件四周將連續(xù)邊界離散為n個(gè)線性單元。對(duì)于圖3所示的典型單元e，長度為2l，單元上的濃度及濃度梯度可用線性函數(shù)近似表示為：其中：{a}e,e為邊界元結(jié)點(diǎn)參數(shù)列陣；[N]為形函數(shù)矩陣，且其中：下標(biāo)1,2分別對(duì)應(yīng)線性單元的左、右節(jié)點(diǎn)。以邊界上的離散節(jié)點(diǎn)j為激勵(lì)點(diǎn)，按照式(15)可以形成n個(gè)邊界單元積分方程：由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上都有一個(gè)未知量，因此，式(19)中共有n個(gè)未知量、n個(gè)方程形成一個(gè)線性代數(shù)方程組，并且可集成表示為：其中：Ci和qi分別為邊界節(jié)點(diǎn)i上的濃度值和濃度梯度值，{a}和中各有部分為已知量，其余部分屬未知量。把矩陣[G]和[H]中與未知量相關(guān)的元素連同未知量一起移到等號(hào)左邊，同時(shí)將已知量移到右邊，可以得到待解方程組對(duì)于圖1所示的氯離子二維擴(kuò)散問題，在利用解析理論求解時(shí)，通常假定為半無限大問題進(jìn)行求解。而利用邊界元法計(jì)算時(shí)，仍按照有限長的求解域計(jì)算，但需要重新設(shè)定擴(kuò)散場(chǎng)長度L:其中：L表示氯離子擴(kuò)散場(chǎng)的計(jì)算長度，如圖4所示，它表示氯離子在混凝土中發(fā)生二維擴(kuò)散時(shí)，利用邊界元法計(jì)算混凝土內(nèi)部氯離子分布濃度所需的有限大擴(kuò)散場(chǎng)在x和y兩個(gè)坐標(biāo)軸方向的最小長度；?t是時(shí)間域的離散長度，通常取?t=(t-t0)4;k為擴(kuò)散場(chǎng)長度系數(shù)，可以根據(jù)數(shù)值試驗(yàn)確定該系數(shù)可以保證混凝土結(jié)構(gòu)暴露時(shí)間不超過70a時(shí)邊界元法的最大計(jì)算誤差不超過2%。如果混凝土試件或結(jié)構(gòu)在氯離子擴(kuò)散方向的實(shí)際長度l不小于式(25)所確定的計(jì)算長度L，則應(yīng)該按照構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的實(shí)際尺寸建立邊界元法計(jì)算模型(如圖4中實(shí)線所示的區(qū)域)。反之，如果混凝土試件或結(jié)構(gòu)在氯離子擴(kuò)散方向的實(shí)際長度l小于式(25)所確定的計(jì)算長度L，則應(yīng)該按照擴(kuò)散場(chǎng)的計(jì)算長度建立邊界元法計(jì)算模型，如圖4中按照虛線建立新的擴(kuò)散場(chǎng)ABCD，擴(kuò)散系數(shù)及邊界條件等同于原來的混凝土構(gòu)件(類似圖1所示)。由于建立邊界元計(jì)算模型時(shí)，時(shí)間域只需要均勻劃分為4份，空間域只需沿新的擴(kuò)散場(chǎng)邊界(如圖4所示)進(jìn)行一維離散，因此大大簡(jiǎn)化了計(jì)算模型，提高了計(jì)算效率和精度。對(duì)于區(qū)域積分項(xiàng)可采用在域內(nèi)離散的方法，取四邊形四節(jié)點(diǎn)等參單元并利用Gauss積分計(jì)算。3維邊界元法算例1：邊長為1m的鋼筋混凝土方板，厚度為100mm，將其中的4個(gè)面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下兩個(gè)相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖1所示?；炷恋膬蓚€(gè)暴露面上氯離子濃度Cs=1%，混凝土擴(kuò)散系數(shù)D為10–12m2/sㄢ采用二維邊界元法計(jì)算鋼筋混凝土板的氯離子擴(kuò)散和分布規(guī)律。由于計(jì)算過程中根據(jù)式(25)所得到的擴(kuò)散場(chǎng)計(jì)算長度始終沒有超出方板的實(shí)際邊長，因此，可以按照混凝土板的實(shí)際邊長建立邊界元法計(jì)算模型，并將每個(gè)邊界離散為100個(gè)線性單元，并將計(jì)算結(jié)果與解析解和二維擴(kuò)散有限元解相比較，其中，解析公式為：其中：Ferf為誤差函數(shù)。為利用邊界元法、有限元法和解析解分別計(jì)算了該試件暴露于氯鹽環(huán)境下5,10,20a時(shí)混凝土中氯離子濃度分布情況，見圖5ㄢ由圖5可以看出，3種方法的計(jì)算結(jié)果吻合相當(dāng)好，證明了邊界元法具有很高的計(jì)算精度。所采用的二維擴(kuò)散有限元法計(jì)算模型中，在空間域上采用四邊形雙線性單元，離散網(wǎng)格50×50；在時(shí)間域上離散步長為?t=0.5a，相對(duì)于擴(kuò)散時(shí)間為5,10,20a的擴(kuò)散問題，需要把時(shí)間域分別離散為10,20,40個(gè)子域進(jìn)行迭代計(jì)算。容易看出，有限元法不僅需要在空間域上采取二維離散，而且需要在時(shí)間域上采取非常細(xì)密的離散網(wǎng)格，其離散自由度和計(jì)算工作量都大大超出邊界元法。而邊界元法在空間域上只需沿計(jì)算邊界進(jìn)行一維離散，在時(shí)間域上只需離散出4個(gè)子域，可以取得較高的計(jì)算效率。另一方面還可以看出，隨著擴(kuò)散時(shí)間的增大，氯離子濃度梯度在空間上的分布逐漸均衡。圖6、圖7分別表示利用解析法和邊界元法計(jì)算鋼筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a時(shí)板的角點(diǎn)A附近的氯離子分布情況?？梢钥闯觯?種方法所得結(jié)果是吻合的；并且在2個(gè)暴露面的交點(diǎn)及對(duì)角線附近的氯離子濃度明顯增加。算例2：底面為500mm×750mm，厚度為100mm的混凝土板，將其中的4個(gè)面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下2個(gè)相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖8所示。混凝土的2個(gè)暴露面上氯離子濃度Cs=0.8%，擴(kuò)散系數(shù)D為5×10–13m2/s。這里采用二維邊界元法計(jì)算鋼筋混凝土板的氯離子擴(kuò)散和分布規(guī)律。計(jì)算模型中，由于混凝土板在X,Y坐標(biāo)方向的實(shí)際邊長都超過了式(25)所得到的擴(kuò)散場(chǎng)計(jì)算長度，因此可以按照板的實(shí)際尺寸建立邊界元法計(jì)算模型，AB邊離散為75個(gè)線性單元，AD邊離散為50個(gè)線性單元，并將計(jì)算結(jié)果和解析解相比較。計(jì)算得到該試件暴露于氯鹽環(huán)境下10,20a和40a時(shí)混凝土中氯離子濃度分布情況，如圖9所示?？梢钥闯?，邊界元法的計(jì)算結(jié)果與解析解計(jì)算結(jié)果吻合相當(dāng)好。圖10、圖11分別利用解析解和邊界元法計(jì)算了該鋼筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a時(shí)，板中角點(diǎn)A附件氯離子的分布?？梢钥闯?，在2個(gè)暴露面的交點(diǎn)及45°對(duì)角線附近，氯離子濃度明顯增加，且邊界元法和解析解所得結(jié)果是吻合的。算例3：一個(gè)混凝土標(biāo)準(zhǔn)試塊，尺寸為150mm×150mm×150mm。將其中的4個(gè)面用環(huán)氧樹脂封閉，沿厚度方向留下2個(gè)相鄰面AB和AD暴露在含氯離子的溶液中，如圖4所示(圖4中邊長l取為150mm)?；炷恋?個(gè)暴露面上氯離子濃度Cs=0.8%，擴(kuò)散系數(shù)D為2×10–12m2/sㄢ這里采用二維邊界元法計(jì)算鋼筋混凝土板分別暴露于氯鹽環(huán)境下20,40a和60a時(shí)混凝土中氯離子濃度分布情況，由于計(jì)算中混凝土試件的實(shí)際長度l小于式(25)所確定的計(jì)算長度，因此，應(yīng)該按照?qǐng)D4中虛線所示將擴(kuò)散場(chǎng)擴(kuò)大至ABCD，同時(shí)每個(gè)邊離散為50個(gè)線性單元，并將計(jì)算結(jié)果和解析解相比較，如圖12所示。可以看出邊界元法計(jì)算結(jié)果同解析解吻合較好。圖13、圖14分別利用邊界元法和解析法計(jì)算了該鋼筋混凝土板浸泡于含氯溶液中20a時(shí)，板中角點(diǎn)A附件的氯離子分布。可以看出，在2個(gè)暴露面的交點(diǎn)及45°對(duì)角線附近，氯離子濃度明顯增加，邊界元法和解析解法2種方法所得結(jié)果是吻合的。由圖6、圖7、圖10、圖11、圖13、圖14可以看出，在結(jié)構(gòu)拐角處氯離子呈二維擴(kuò)散狀態(tài)，并且拐角處的氯離子分布濃度明顯高于一維擴(kuò)散理論的計(jì)算結(jié)果。由于混凝土結(jié)構(gòu)的角點(diǎn)附近往往是應(yīng)力集中區(qū)，鋼筋分布更密集，因此，從結(jié)構(gòu)耐久性要求出發(fā)，更需要利用二維擴(kuò)散的數(shù)值方法重點(diǎn)研究結(jié)構(gòu)角點(diǎn)處的氯離子分布。從上述3個(gè)算例可以看出，對(duì)于不同類型的混凝土試件或結(jié)構(gòu)，不同的表面氯離子濃度、試件尺寸、混凝土擴(kuò)散系數(shù)或擴(kuò)散時(shí)間，在利用邊界元法研究混凝土中氯離子二維擴(kuò)散問題時(shí)，都需要按照式(25)、式(26)確定擴(kuò)散場(chǎng)的計(jì)算長度及擴(kuò)散長度系數(shù)，并根據(jù)“若混凝土試件或結(jié)構(gòu)的實(shí)際長度小于式(25)所確定的計(jì)算長度時(shí)，應(yīng)該按照擴(kuò)散場(chǎng)的計(jì)算長度建立邊界元法計(jì)算模型；反之，如果試件的實(shí)際尺寸已經(jīng)超過擴(kuò)散場(chǎng)的計(jì)算長度，則應(yīng)該按照試件實(shí)際尺寸建立邊界元法計(jì)算模型”的原則確定擴(kuò)散場(chǎng)區(qū)域和邊界元法計(jì)算模型，并取得較好的計(jì)算精度和計(jì)算效率。4氯離子二維擴(kuò)散的邊界元法算法的應(yīng)用提出了混凝土試件中氯離子二維擴(kuò)散分析的邊界元法，提出了擴(kuò)散場(chǎng)計(jì)算長度的概