鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定第五章第三組報(bào)告

第三組

瑞利-里茲法與迦遼金法張海耀胡佳梁錢(qián)慧蔣聰回顧：穩(wěn)定計(jì)算的近似分析法能量守恒原理如果貯存在結(jié)構(gòu)體系中的應(yīng)變能等于外力所做的功，則保守體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，此謂之能量守恒。 表達(dá)式：ΔU=ΔW

＊用能量法得到的屈曲荷載常常比精確解的結(jié)果略大。勢(shì)能駐值原理當(dāng)作用有外力的結(jié)構(gòu)體系，其位移有微小的變化而總的勢(shì)能不變，也即總的勢(shì)能有駐值時(shí)，則該結(jié)構(gòu)體系處于平衡狀態(tài)，此即為勢(shì)能駐值原理。 表達(dá)式：

最小勢(shì)能原理利用前面的兩種方法都能求解出構(gòu)件的彈性屈曲荷載，但卻不能判斷這種平衡形式的類別，此時(shí)需利用最小勢(shì)能原理來(lái)判別平衡的穩(wěn)定與否。 若，總勢(shì)能有最小值，平衡穩(wěn)定；

若

，平衡是不穩(wěn)定的；

若

，平衡是中性的。5.4瑞利-里茲法（Rayleigh,L.,Ritz,W.）方法和原理 能量法 先假定構(gòu)件的撓曲線函數(shù)，此曲線函數(shù)必須滿足幾何邊界條件,將其帶入總的勢(shì)能，通過(guò)求解出屈曲荷載。

瑞利-里茲法是應(yīng)用勢(shì)能駐值原理，直接求解總勢(shì)能為不變時(shí)的條件變分極值問(wèn)題運(yùn)用 瑞利里茲法不僅能求解兩向位移下的屈曲荷載，還可以求解后面幾章中具有三向位移的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問(wèn)題。

構(gòu)件上、下兩段的慣性矩分別是和。用平衡法可得構(gòu)件的屈曲方程為

式中我們用瑞利-里茲法求解屈曲荷載，需要先假定構(gòu)件的撓曲線為此式符合邊界條件任一截面的彎矩實(shí)例5.3見(jiàn)習(xí)題2.5

應(yīng)變勢(shì)能外力勢(shì)能由勢(shì)能駐值條件得，，因，得到

當(dāng)，時(shí)，，而精確值為，經(jīng)比較，僅相差1%，故近似解是足夠精確的，而用式（6）計(jì)算變截面軸心受壓構(gòu)件的屈曲荷載十分方便。式（6）用通式表示為

式中式（9）還可以用更簡(jiǎn)單的代數(shù)式表示，令經(jīng)過(guò)試算，可得的實(shí)用計(jì)算公式為

對(duì)于式（7），其實(shí)用計(jì)算公式為圖5.5（b)

例5.4用瑞利-里茲法確定圖5-6所示兩端簡(jiǎn)支的壓彎構(gòu)件的最大撓度和最大彎矩。

需要假定構(gòu)件的撓曲線應(yīng)變勢(shì)能外力勢(shì)能由勢(shì)能駐值條件，得到5.5伽遼金法（Galerkin,B.G.）方法和原理

能量法

迦遼金法是直接利用勢(shì)能駐值條件中的平衡微分方程式，不再需要寫(xiě)出總勢(shì)能，但這樣做的前提是所選位移函數(shù)需既滿足幾何邊界條件，又滿足自然邊界條件，這樣式由（5.21）可得到方程

（5.29）（5.28）

將式（5.29）帶入式（5.28），但是式中·都是不等于零的微小的任意值，而式（5.28）是恒等式，因此就只有

上式（5.30）稱為迦遼金方程組。

如果此方程組均為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的齊次方程，則通過(guò)其系數(shù)行列式為零可得到構(gòu)件的屈曲荷載。

如果式（5.30）為非齊次方程組，則可以解得，從而得到近似的撓曲線函數(shù)、最大撓度和最大彎矩。例題5.5

解：懸臂構(gòu)件變形后的坐標(biāo)軸如圖5.7（b）所示，假定撓曲線：

（1）

驗(yàn)證邊界條件：幾何邊界條件：y(0)=0,y(l)=v,y’(l)=0自然邊界條件：y”(0)=0

根據(jù)圖5.7（C）所示隔離體

建立平衡方程：(2)(3)（4）（5）

將代入式（4），經(jīng)積分后得到因，故如用平衡法，令可得構(gòu)件的屈曲方程為

第一類的-1/3階修正Bessel函數(shù)，(6)(7)，之最小值

為2.7995，精確解故近似解稍大如果撓曲線函數(shù)改為二項(xiàng)式（8）這樣迦遼金方程組為（9）（10）將（8）代入（3）式得將式（11）代入式（9）和式（11），積分以后得到（12）（13）這是一組齊次方程式，有解的條件是其系數(shù)行列式為零

將行列式展開(kāi)后可以解得最小值與精確解，幾乎是一致的。計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)所以撓曲線函數(shù)由只用一項(xiàng)改用兩項(xiàng)后，效果十分明顯。（14）比較：瑞利-里茲法和迦遼金法

相同點(diǎn)：

---二者都屬于能量法；

---都是近似的分析法；

---均要先假定撓曲線函數(shù)，且撓曲線函數(shù)均要滿足幾何邊界條件。

不同點(diǎn)：

---瑞利-里茲法需要先寫(xiě)出在外力作用下結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能，再由一階變分為零這一條件引出聯(lián)立方程，這組方程都通過(guò)微分得到。

---迦遼金法位移函數(shù)還滿足自然邊界條件，因此可直接利用平衡微分方程，不需寫(xiě)出總勢(shì)能。

---由于Galerkin法撓曲線函數(shù)同時(shí)滿足兩種邊界條件，可能會(huì)增加計(jì)算難度，但是所得的計(jì)算結(jié)果精確度將更高。

謝謝！求解過(guò)程假設(shè)結(jié)構(gòu)屈曲時(shí)在坐標(biāo)軸x,y和z三個(gè)方向的位移分別為u,v和w。ui,vi,wi則是一系列滿足彈性體全部位移邊界條件的連續(xù)函數(shù)。它們的試解函數(shù)可以用以下多項(xiàng)函數(shù)表示:將u,v,w代入作為泛函的總勢(shì)能的表達(dá)式根據(jù)勢(shì)能駐值原理，總勢(shì)能變分為零，即有駐值條件：，就可以這具有