Chap函數(shù)的數(shù)值逼近

第5章

函數(shù)的數(shù)值逼近劉東毅天津大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系15:函數(shù)的數(shù)值逼近函數(shù)的數(shù)值逼近主要目的：

討論函數(shù)的數(shù)值逼近的基本理論與方法最佳平方逼近函數(shù)的存在性、唯一性最佳平方逼近函數(shù)的求法討論曲線擬合的最小二乘問題主要內(nèi)容：正交多項式最佳平方逼近用正交多項式作函數(shù)的最佳平方逼近曲線擬合的最小二乘解25:函數(shù)的數(shù)值逼近5.1

正交多項式其中為權(quán)函數(shù)，則稱此函數(shù)組為在區(qū)間[a,b]

上帶權(quán)

的正交函數(shù)組,其中

Ak

為正數(shù)。若Ak=1,（k=0,1,2,…）稱該函數(shù)組是標(biāo)準(zhǔn)正交的。定理5.1.1設(shè)函數(shù)組正交，則它們一定線性無關(guān)。1.正交函數(shù)組及其性質(zhì)定義5.1.1設(shè)有C[a,b]中的函數(shù)組若滿足35:函數(shù)的數(shù)值逼近設(shè)它們線性無關(guān)的充分必要條件是其Gram行列式其中定理5.1.245:函數(shù)的數(shù)值逼近設(shè)是線性無關(guān)的函數(shù)組,則由正交結(jié)構(gòu)公式定理5.1.3得出的函數(shù)組是正交函數(shù)組,且與可互相線性表示.55:函數(shù)的數(shù)值逼近定義5.1.2給定區(qū)間

[a,b]和對應(yīng)的權(quán)函數(shù)ρ(x)

及多項式序列其中首項系數(shù)2.正交多項式及其性質(zhì)

2.1正交多項式定義若gk(x)

滿足則稱為在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)

ρ(x)

的正交多項式序列,gk(x)稱為k次正交多項式.65:函數(shù)的數(shù)值逼近2.2正交多項式的性質(zhì)

定理5.1.4n次正交多項式gn(x)與任意次數(shù)不超過n-1的多項式P(x)在區(qū)間[a,b]上帶權(quán)ρ(x)

正交.定理5.1.5n次正交多項式gn(x)(n

1)的

n

個零點都是實的單零點,且都在區(qū)間(a,b)內(nèi).75:函數(shù)的數(shù)值逼近3.Legendre多項式

若區(qū)間[-1,1],權(quán)函數(shù)由{1,x,x2,…,xn,…}經(jīng)正交化結(jié)構(gòu)公式可得正交多項式族P0(x),P1(x),…,Pn(x),…,

稱這族多項式為Legendre多項式。其標(biāo)準(zhǔn)形式為:85:函數(shù)的數(shù)值逼近

可以證明,Legendre多項式有下列遞推關(guān)系：由上式可推出當(dāng)n為偶數(shù)時,Legendre多項式Pn(x)為偶函數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時,Legendre多項式Pn(x)為奇函數(shù)。95:函數(shù)的數(shù)值逼近4.Chebyshev多項式

若取區(qū)間[-1,1],權(quán)函數(shù)為由{1,x,x2,…,xn

,…}經(jīng)正交化結(jié)構(gòu)公式可得一族Chebyshev多項式.其標(biāo)準(zhǔn)形式為:105:函數(shù)的數(shù)值逼近可以證明,Chebyshev

多項式有下列遞推關(guān)系：

當(dāng)n為偶數(shù)時,多項式

Tn(x)為偶函數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時,多項式

Tn(x)為奇函數(shù).

Tn(x)在（-1,1）內(nèi)有n個不同的零點

Tn(x)在[-1,1]上有n+1

個極值點

由上式可推出115:函數(shù)的數(shù)值逼近5.Hermite多項式

若取區(qū)間(-,+),權(quán)函數(shù)為。正交的一族Hermite多項式標(biāo)準(zhǔn)形式為:125:函數(shù)的數(shù)值逼近

可以證明,Hermite

多項式有下列遞推關(guān)系：

由上式可推出：135:函數(shù)的數(shù)值逼近6.Laguerre多項式

若取區(qū)間(0,+),權(quán)函數(shù)為。正交的一族Laguerre（拉蓋爾）多項式標(biāo)準(zhǔn)形式為:145:函數(shù)的數(shù)值逼近可以證明,Laguerre

多項式有下列遞推關(guān)系：由上式可推出：155:函數(shù)的數(shù)值逼近5.2最佳平方逼近165:函數(shù)的數(shù)值逼近1.最佳平方逼近函數(shù)的概念當(dāng)時，滿足上式的稱為f(x)的n

次最佳平方逼近多項式，簡稱n次最佳平方逼近。定義5.2.1設(shè)有f

∈C[a,b]及C[a,b]中的子集成立,則稱S*(x)為f(x)在Φ中的最佳平方逼近函數(shù)。

其中線性無關(guān)。若存在使得=（5.2.1）175:函數(shù)的數(shù)值逼近2.最佳平方逼近的求法定理5.2.1對于任意的函數(shù)f∈C[a,b]，其在Φ中的最佳平方逼近函數(shù)S*(x)是存在且唯一的。證明：由于Φ中元素（函數(shù)）可以表示為，故求最佳平方逼近函數(shù)等價于求多元函數(shù)的最小值問題。

2.1最佳平方逼近的存在與唯一性185:函數(shù)的數(shù)值逼近由極值存在的必要條件有。

對求偏導(dǎo)數(shù)，我們可得到整理并寫成C[a,b]空間中內(nèi)積的形式，得。。(5.2.4)195:函數(shù)的數(shù)值逼近從而得到關(guān)于a0,a1,…,an的線性方程組即因為線性無關(guān)，所以上述方程組(5.2.5)的系數(shù)矩陣的行列式非零，故有唯一解。205:函數(shù)的數(shù)值逼近設(shè)

下面證明滿足式（5.2.1），即要證明成立。由（2.5.4）知。又由于，所以有。這樣，有215:函數(shù)的數(shù)值逼近=0于是，。這就證明了為在Ф中的最佳平方逼近函數(shù)。

下面我們看一看最佳平方逼近的幾何意義225:函數(shù)的數(shù)值逼近2.2最佳平方逼近的幾何意義可知，由與Φ中的所有函數(shù)都正交，與Φ中的所有元素均垂直，即S*為元素f在Φ中的正交投影。從幾何意義上來講如下圖所示整個平面代表空間C[a,b]，這條水平線代表子空間Φ。235:函數(shù)的數(shù)值逼近2.3最佳平方逼近函數(shù)的平方誤差由最佳平方逼近的幾何意義知245:函數(shù)的數(shù)值逼近2.4最佳平方逼近的求法(4)計算平方誤差(1)確定Φ，即確定S

*(x)的形式。(3)令，則S*(x)為最佳平方逼近函數(shù)。(2)解以a0,a1,...,an

為未知元的線性法方程組255:函數(shù)的數(shù)值逼近解：依題意，設(shè)一次最佳平方逼近多項式為所以a0,a1滿足以下方程組例5.2.1

求函數(shù)f(x)=ex

在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式,并計算平方誤差.即取265:函數(shù)的數(shù)值逼近通過計算得：275:函數(shù)的數(shù)值逼近得解得：所以由于是285:函數(shù)的數(shù)值逼近平方誤差為：295:函數(shù)的數(shù)值逼近5.3用正交多項式作函數(shù)的最佳平方逼近其中應(yīng)為下列方程組的解設(shè)在[a,b]上帶權(quán)正交，則由上一節(jié)可知，f(x)的最佳平方逼近函數(shù)由正交性可將它化為？305:函數(shù)的數(shù)值逼近由正交性可將上式化為其解所以(5.3.2)315:函數(shù)的數(shù)值逼近

用Legendre多項式作

f(x)的最佳平方逼近因為{Pn(x)}在區(qū)間[-1,1]上正交且有(1)

若f(x)∈C[-1,1],由以上討論,得：則。325:函數(shù)的數(shù)值逼近平方誤差為：335:函數(shù)的數(shù)值逼近(2)

若f(x)∈C[a,b],由以上討論作變換：則t∈[-1,1],那么按（1）的方法求F(t)在[-1,1]上的最佳平方逼近Sn

(t),再換回原變量x,得f(x)在[a,b]上的最佳平方逼近多項式.平方誤差345:函數(shù)的數(shù)值逼近例5.3.1

求用Legendre多項式求f(x)=ex

在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式,

并計算平方誤差解：則根據(jù)題意，再令其中令

355:函數(shù)的數(shù)值逼近所以

故于是由365:函數(shù)的數(shù)值逼近平方誤差為375:函數(shù)的數(shù)值逼近5.4曲線擬合的最小二乘法5.4.1曲線擬合的最小二乘問題xkx0x1x2…xmyk=f(xk)y0y1y2…ym已知一組實驗數(shù)據(jù)要求y=f(x)的近似表達(dá)式（經(jīng)驗公式）。從幾何上來講，就是求y=f(x)的一條近似曲線，故稱曲線擬合問題。385:函數(shù)的數(shù)值逼近基于函數(shù)最佳平方逼近的原理，提出如下問題

令，，在C[a,b]中選定線性無關(guān)的函數(shù)。在中尋求一個函數(shù)(5.4.1)使S

*(x)與y=f(x)在上述m+1個點上的偏差(或稱殘差)滿足395:函數(shù)的數(shù)值逼近其中，。(5.4.3)為所討論區(qū)間[a,b]上的權(quán)函數(shù)，它表示不同(xi,yi)數(shù)據(jù)點的權(quán)重，滿足式(5.4.2)的函數(shù)S

*(x)稱為問題的最小二乘解（或稱f(x)的離散形式的最佳平方逼近函數(shù)），求S

*(x)的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。405:函數(shù)的數(shù)值逼近5.4.2最小二乘解的求法

要求問題的最小二乘解，首先需確定函數(shù)類Φ，為此需確定S

*(x)的形式。通常的做法是將數(shù)據(jù)(xi,yi)描繪在坐標(biāo)紙上，依據(jù)這些數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律確定此函數(shù)的具體形式。這也等于確定了函數(shù)類Φ。

其次是按式（5.4.2）求S

*(x)，即需要確定其系數(shù)。此問題轉(zhuǎn)化為求下面的多元函數(shù)極值問題415:函數(shù)的數(shù)值逼近由極值存在的必要條件知，ak(k=0,1,…,n)應(yīng)滿足

即

或

(5.4.5)425:函數(shù)的數(shù)值逼近為了方便，規(guī)定離散形式的“內(nèi)積”和“范數(shù)”：則(5.4.5)這是關(guān)于線性方程組。

(5.4.7)可寫成435:函數(shù)的數(shù)值逼近線性方程組矩陣形式為稱之為法方程（或正規(guī)方程）。系數(shù)矩陣是對稱矩陣，其行列式記為Gn，按(5.4.6)定義的“內(nèi)積”可證明線性無關(guān)的充要條件是行列式Gn不是零（證法與本章定理5.1.2類似，此處略）。由于線性無關(guān)，可知（5.4.8）有唯一解。于是有445:函數(shù)的數(shù)值逼近可以證明：S

*(x)確實使多元函數(shù)u達(dá)到最小，即S

*(x)為f(x)的最小二乘解。

定理5.4.1設(shè)線性無關(guān)，為(5.4.8)的解，則滿足并且平方誤差為。(5.4.9)

455:函數(shù)的數(shù)值逼近計算曲線擬合問題最小二乘解的步驟：1.首先需確定函數(shù)類Φ，即確定S

*(x)的形式。2.解以

a0,a1,...,an

為未知元的線性法方程組：3.計算平方誤差

。求得。465:函數(shù)的數(shù)值逼近例5.4.1已知一組數(shù)據(jù)如下：xk00.250.500.751.00yk=f(xk)1.00001.28401.64872.11702.7183求問題的最小二乘解。解：(1)首先確定擬合函數(shù)類

。將上述數(shù)據(jù)描繪在坐標(biāo)紙上，發(fā)現(xiàn)這些點近似一直線，由近似一條拋物線，故可用一次或二次多項式來擬合。475:函數(shù)的數(shù)值逼近485:函數(shù)的數(shù)值逼近(2)利用直線來擬合上述數(shù)據(jù)。

即在函數(shù)空間Φ=span{1,x}中尋找。此問題中，n=1，m=4，

0(x)=1，

1(x)=x。

(x)沒有給出，則認(rèn)為

(x)=1。從而a0*和a1*

滿足法方程495:函數(shù)的數(shù)值逼近通過計算，有，，，，。505:函數(shù)的數(shù)值逼近得法方程組解得，。故。其平方誤差。515:函數(shù)的數(shù)值逼近(3)用拋物線擬合上述數(shù)據(jù)。

即在函數(shù)空間

=span{1,x,x2}中尋找。在此問題中，n=2，m=4，

(x)=1。

0(x)=1,

1(x)=x，

2(x)=x2，其法方程為類似上面的討論，在只需計算525:函數(shù)的數(shù)值逼近從而得方程組535:函數(shù)的數(shù)值逼近解得，，。故。平方誤差為。由于的平方誤差較小，所以用擬合上述數(shù)據(jù)較好。545:函數(shù)的數(shù)值逼近例5.4.2已知一組實驗數(shù)據(jù)如下：xk1234y=f(xk)1.953.053.553.85求問題的最小二乘解。

解：(1)首先確定擬合函數(shù)類

。將上述數(shù)據(jù)描繪在坐標(biāo)紙上，發(fā)現(xiàn)這些點近似一指數(shù)曲線，其圖形如下。故選擇要擬合的曲線為，555:函數(shù)的數(shù)值逼近565:函數(shù)的數(shù)值逼近其中a，b為待定常數(shù)。

。令