2022-2023學(xué)年江蘇省南通市如皋市高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以因?yàn)?，所以，所以，得，所以AB錯誤，對于C，若，則，此時，所以C正確，對于D，若，則，此時，不合題意，所以D錯誤，故選：C.2.已知冪函數(shù)，下列能成為“是上奇函數(shù)”充分條件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗對于A，，的定義域?yàn)椋?，是定義在上的奇函數(shù)，充分性不成立，A錯誤；對于B，，的定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，充分性不成立，B錯誤；對于C，，的定義域?yàn)?，又，是定義在上的偶函數(shù)，充分性不成立，C錯誤；對于D，，的定義域?yàn)?，又，是定義在上的奇函數(shù)，充分性成立，D正確.故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗定義域?yàn)镽，，又，故為奇函數(shù)，當(dāng)時，由于恒成立，故恒成立，無零點(diǎn)，故時，也不存在零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也時最大值，，顯然，，故由零點(diǎn)存在性定理知，在上存在一零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，在上存在一零點(diǎn)，綜上，一共有3個零點(diǎn).故選：B.4.云計(jì)算是一種全新的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用概念，其核心概念是以互聯(lián)網(wǎng)為中心，在網(wǎng)站上提供快速且安全的云計(jì)算服務(wù)與數(shù)據(jù)存儲.近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長.某科技公司云計(jì)算市場規(guī)模與年份代碼的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，2018年至2022年數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼12345云計(jì)算市場規(guī)模720712005100.851.31.852.32.7若根據(jù)上表得到回歸方程，則該科技公司2025年云計(jì)算市場規(guī)模約為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，將代入回歸方程，可得，即，所以關(guān)于的回歸方程為，2025年即當(dāng)時，，此時.故：B.5.若，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為R上的單調(diào)遞減函數(shù),故可得，，故，故選：A.6.已知函數(shù)，存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,令得且時，時，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，又時,或或，所以其圖象如下：由圖像，時存在最小值，必有，故選：7.已知當(dāng)時，.根據(jù)以上信息，若對任意，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，，同理得，因?yàn)?，有，所?故選：B.8.已知函數(shù)，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.若存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以，即，令，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，即的最小值，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得極小值即最小值，，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有項(xiàng)選錯得0分.9.若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故單調(diào)遞增區(qū)間不可能為，A錯誤；B選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確；C選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，令，解得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，C錯誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，令，解得，故單?dú)遞增區(qū)間為，D正確.故選：BD.10.某同學(xué)在高二年級所有檢測中語文和數(shù)學(xué)成績均服從正態(tài)分布，記語文成績?yōu)?，?shù)學(xué)成績?yōu)?，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)?，所以，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，所以B錯誤，對于C，因?yàn)?，所以，所以C正確，對于D，因?yàn)?，，所以，所以D正確，故選：ACD.11.若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，下列結(jié)論正確的是（）A. B.展開式中第3項(xiàng)為C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為60 D.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729〖答案〗AD〖解析〗對于A，因?yàn)檎归_式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以，得，所以A正確，對于B，由選項(xiàng)A可知二項(xiàng)式為，則其展開式的通項(xiàng)公式為，所以展開式中第3項(xiàng)為，所以B錯誤，對于C，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為，所以C錯誤，對于D，令，則，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729，所以D正確，故選：AD.12.在長方體中，，，為棱上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.長方體表面積的最大值為6B.長方體外接球表面積的最小值為C.到平面的距離的最大值為D.三棱錐體積的最大值為〖答案〗AD〖解析〗對于A，設(shè)，（），則該長方體表面積為，所以當(dāng)時，S取得最大值6，即長方體表面積的最大值為6，所以A正確，對于B，設(shè)，（），設(shè)長方體外接球半徑為，則，所以當(dāng)時，上式取得最小值3，此時的最小值為，所以長方體外接球表面積的最小值為，所以B錯誤，對于C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，，所以，設(shè)，（），則所以，因?yàn)椋?，所以到平面的距離無最大值，所以C錯誤，對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以三棱錐體積的最大值為，所以D正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所?故〖答案〗為：.14.如圖，直三棱柱所有棱長均為2，M為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，或其補(bǔ)角是異面直線與所成角；因?yàn)橹比庵欣忾L均為2，所以，，；在中，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.某同學(xué)連續(xù)兩天在學(xué)校信息圖文中心2樓和3樓進(jìn)行拓展閱讀，第一天等可能地從信息圖文中心2樓和3樓中選擇一層樓進(jìn)行閱讀.如果第一天去2樓的條件下第二天還在2樓閱讀的概率為0.7；第一天去3樓的條件下第二天去2樓閱讀的概率為0.8，該同學(xué)第二天去3樓閱讀的概率為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“第天去2樓閱讀”，事件“第天去3樓閱讀”，則，，；所以.故〖答案〗為：.16.已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗為偶函數(shù)，，令，則，，；又，，即，，是周期為的周期函數(shù)，，由得：，即，又，，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，當(dāng)時，求的值域.解：（1）為奇函數(shù)，理由如下：由得：，的定義域?yàn)?；，為定義在上的奇函數(shù).（2），，；方法一：當(dāng)時，，，，，即的值域?yàn)?；方法二：令，在上單調(diào)遞減，，，，，即的值域?yàn)?18.如圖，三棱錐中，平面，線段的中點(diǎn)為，，且.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.（1）證明：法一：在中，，線段的中點(diǎn)為，所以,因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面．法二：如圖，以為基底建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋?，線段的中點(diǎn)為，所以，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，解得．令，則，所以．易知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得到，取，所以．又因?yàn)?，所以，所以平面?）解：在中，過點(diǎn)A作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，平面，平面，，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，則，所以二面角的余弦值．19.一盒子中放有個大小相同的小球，其中個紅球，個白球.現(xiàn)從中抽取兩次，一次抽取兩個球，若第一次抽出后不放回.（1）求第一次抽到兩個紅球的條件下，第二次抽到兩個白球的概率；（2）若一次抽出的兩個球同色即中獎，求中獎次數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記“第一次抽到兩個紅球”為事件A，“第二次抽到兩個白球”為事件，則，，.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；的概率分布為：數(shù)學(xué)期望.20.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；（2）若在處的切線與圖象也相切，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）當(dāng)時，，其中所以，令，解得．列表如下：極小值所以函數(shù)的極小值為．（2）因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以在處的切線方程為．因?yàn)榕c圖像相切，所以有兩個相等的實(shí)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的值為或．21.直播帶貨業(yè)務(wù)是當(dāng)前行業(yè)電商的主要業(yè)務(wù)構(gòu)成之一.某公司通過抖音，快手，淘寶等直播平臺與網(wǎng)紅，明星等進(jìn)行帶貨合作，甲公司和乙公司所售商品存在競爭關(guān)系，兩公司在某購物平臺上同時開啟直播帶貨促銷活動.（1）現(xiàn)對某時段21-40歲年齡段100名用戶觀看直播后選擇甲公司和乙公司所售商品選購情況進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：用戶年齡段選購甲公司選購乙公司合計(jì)21-30歲156031-40歲1540合計(jì)100請完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶年齡有關(guān)?（2）五一期間，甲公司購物平臺直播間進(jìn)行“搶購”活動，假設(shè)直播間每人下單的概率均為，直播間每人下單成功與否互不影響.若從直播間隨機(jī)抽取5人，記5人中恰有3人下單成功的概率為，求的最大值，并求出取得最大值時的值.參考公式：，其中.臨界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可得列聯(lián)表：用戶年齡段選購甲公司選購乙公司合計(jì)21—30歲15456031—40歲251540合計(jì)4060100提出假設(shè)：選擇哪家直播間購物與用戶年齡無關(guān)．因?yàn)?，所以，即假設(shè)不成立，所以有99.9%的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購物與用戶年齡有關(guān)．（2）設(shè)5人中下單成功的人數(shù)為，因?yàn)橹辈ラg每人下單成功與否互不影響，所以，所以．所以，令，解得．列表如下：p0遞增極大值遞減所以當(dāng)時，取得極大值，即最大值．22.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；（2）當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)椋?，得，?dāng)時，，所以在上遞減，當(dāng)時，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，綜上，當(dāng)時，在上遞減；時，在上遞減，在上遞增，（2）由，得，即，令，則，令，則，①當(dāng)時，，，所以在上遞增，所以，所以在上遞增，所以，符合題意，②當(dāng)時，，，所以在上遞增，，若，則，使，所以當(dāng)時，，所以在上遞減，所以時，，不合題意，舍去，若，則在上恒小于零，所以在上遞減，所以時，，不合題意，舍去，③當(dāng)時，，，所以在上遞減，所以，所以在上遞減，所以，不合題意，舍去，綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A. B. C.0 D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以因?yàn)?，所以，所以，得，所以AB錯誤，對于C，若，則，此時，所以C正確，對于D，若，則，此時，不合題意，所以D錯誤，故選：C.2.已知冪函數(shù)，下列能成為“是上奇函數(shù)”充分條件的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗對于A，，的定義域?yàn)椋?，是定義在上的奇函數(shù)，充分性不成立，A錯誤；對于B，，的定義域?yàn)?，為非奇非偶函?shù)，充分性不成立，B錯誤；對于C，，的定義域?yàn)椋?，是定義在上的偶函數(shù)，充分性不成立，C錯誤；對于D，，的定義域?yàn)?，又，是定義在上的奇函數(shù)，充分性成立，D正確.故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗定義域?yàn)镽，，又，故為奇函數(shù)，當(dāng)時，由于恒成立，故恒成立，無零點(diǎn)，故時，也不存在零點(diǎn)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也時最大值，，顯然，，故由零點(diǎn)存在性定理知，在上存在一零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)，在上存在一零點(diǎn)，綜上，一共有3個零點(diǎn).故選：B.4.云計(jì)算是一種全新的網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用概念，其核心概念是以互聯(lián)網(wǎng)為中心，在網(wǎng)站上提供快速且安全的云計(jì)算服務(wù)與數(shù)據(jù)存儲.近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長.某科技公司云計(jì)算市場規(guī)模與年份代碼的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，2018年至2022年數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：年份2018年2019年2020年2021年2022年年份代碼12345云計(jì)算市場規(guī)模720712005100.851.31.852.32.7若根據(jù)上表得到回歸方程，則該科技公司2025年云計(jì)算市場規(guī)模約為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，將代入回歸方程，可得，即，所以關(guān)于的回歸方程為，2025年即當(dāng)時，，此時.故：B.5.若，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為R上的單調(diào)遞減函數(shù),故可得，，故，故選：A.6.已知函數(shù)，存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗,令得且時，時，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，又時,或或，所以其圖象如下：由圖像，時存在最小值，必有，故選：7.已知當(dāng)時，.根據(jù)以上信息，若對任意，有，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題知，，同理得，因?yàn)?，有，所?故選：B.8.已知函數(shù)，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.若存在實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得，所以，即，令，則，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，即的最小值，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得極小值即最小值，，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有項(xiàng)選錯得0分.9.若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，則可能是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，故單調(diào)遞增區(qū)間不可能為，A錯誤；B選項(xiàng)，定義域?yàn)椋?，令，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確；C選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，令，解得或，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，C錯誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，令，解得，故單?dú)遞增區(qū)間為，D正確.故選：BD.10.某同學(xué)在高二年級所有檢測中語文和數(shù)學(xué)成績均服從正態(tài)分布，記語文成績?yōu)?，?shù)學(xué)成績?yōu)椋?，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)椋?，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以，所以B錯誤，對于C，因?yàn)椋?，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?，所以，所以D正確，故選：ACD.11.若展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，下列結(jié)論正確的是（）A. B.展開式中第3項(xiàng)為C.展開式中常數(shù)項(xiàng)為60 D.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729〖答案〗AD〖解析〗對于A，因?yàn)檎归_式中二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以，得，所以A正確，對于B，由選項(xiàng)A可知二項(xiàng)式為，則其展開式的通項(xiàng)公式為，所以展開式中第3項(xiàng)為，所以B錯誤，對于C，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為，所以C錯誤，對于D，令，則，所以展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為729，所以D正確，故選：AD.12.在長方體中，，，為棱上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.長方體表面積的最大值為6B.長方體外接球表面積的最小值為C.到平面的距離的最大值為D.三棱錐體積的最大值為〖答案〗AD〖解析〗對于A，設(shè)，（），則該長方體表面積為，所以當(dāng)時，S取得最大值6，即長方體表面積的最大值為6，所以A正確，對于B，設(shè)，（），設(shè)長方體外接球半徑為，則，所以當(dāng)時，上式取得最小值3，此時的最小值為，所以長方體外接球表面積的最小值為，所以B錯誤，對于C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，，所以，設(shè)，（），則所以，因?yàn)?，所以，所以到平面的距離無最大值，所以C錯誤，對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以三棱錐體積的最大值為，所以D正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把〖答案〗直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，則的值為______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，即，所以，所以，所?故〖答案〗為：.14.如圖，直三棱柱所有棱長均為2，M為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為______.〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接；因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，或其補(bǔ)角是異面直線與所成角；因?yàn)橹比庵欣忾L均為2，所以，，；在中，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：.15.某同學(xué)連續(xù)兩天在學(xué)校信息圖文中心2樓和3樓進(jìn)行拓展閱讀，第一天等可能地從信息圖文中心2樓和3樓中選擇一層樓進(jìn)行閱讀.如果第一天去2樓的條件下第二天還在2樓閱讀的概率為0.7；第一天去3樓的條件下第二天去2樓閱讀的概率為0.8，該同學(xué)第二天去3樓閱讀的概率為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件“第天去2樓閱讀”，事件“第天去3樓閱讀”，則，，；所以.故〖答案〗為：.16.已知定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗為偶函數(shù)，，令，則，，；又，，即，，是周期為的周期函數(shù)，，由得：，即，又，，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)且.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，當(dāng)時，求的值域.解：（1）為奇函數(shù)，理由如下：由得：，的定義域?yàn)椋唬瑸槎x在上的奇函數(shù).（2），，；方法一：當(dāng)時，，，，，即的值域?yàn)?；方法二：令，在上單調(diào)遞減，，，，，即的值域?yàn)?18.如圖，三棱錐中，平面，線段的中點(diǎn)為，，且.（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.（1）證明：法一：在中，，線段的中點(diǎn)為，所以,因?yàn)槠矫妫矫?，所以．因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面．法二：如圖，以為基底建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，，線段的中點(diǎn)為，所以，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由，得到，解得．令，則，所以．易知，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得到，取，所以．又因?yàn)?，所以，所以平面?）解：在中，過點(diǎn)A作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，平面，平面，，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，．同理，在中，，所以．所以二面角的余弦值．法二，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，則，所以二面角的余弦值．19.一盒子中放有個大小相同的小球，其中個紅球，個白球.現(xiàn)從中抽取兩次，一次抽取兩個球，若第一次抽出后不放回.（1）求第一次抽到兩個紅球的條件下，第二次抽到兩個白球的概率；（2）若一次抽出的兩個球同色即中獎，求中獎次數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望.解：（1）記“第一次抽到兩個紅球”為事件A，“第二次抽到兩個白球”為事件，則，，.（2）由題意知：所有可能的取值為，；；；的概率分布為：數(shù)學(xué)期望.20.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；（2）若在處的切線與圖象也相切，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）當(dāng)時，，其中所以，令，解得．列表如下：極小值所以函數(shù)的極小值為．（2）因?yàn)椋?，所以．因?yàn)椋栽谔幍那芯€方程為．因?yàn)榕c圖像相切，所以有兩個相等的實(shí)根，所以