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文檔簡介
第3章圓的基本性質(zhì)全章復(fù)習(xí)攻略與檢測卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)三種方法【6個專題】1.垂徑定理與勾股定理綜合應(yīng)用2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用3.圓心角與圓周角的綜合應(yīng)用4.圓周角定理的綜合應(yīng)用5.正多邊形的計算6.弧長與扇形面積的計算【3種思想】1.分類討論思想2.數(shù)形結(jié)合思想3.方程思想【檢測卷】【倍速學(xué)習(xí)三種方法】【6個專題】1.垂徑定理與勾股定理綜合應(yīng)用1.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,是的直徑,是的弦,且,垂足為,連接.若,,則的長為()A.10 B.5 C. D.【答案】C【分析】連接,由是的直徑,是的弦,且,可得的長,再根據(jù)勾股定理可得的長,從而得出的長,最后再由勾股定理進行計算即可得到答案.【詳解】解:連接,
,是的直徑,是的弦,且,,,,,在中,,,在中,,故選:C.【點睛】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理,熟練掌握垂徑定理,添加適當?shù)妮o助線,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.2.(2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模)一次綜合實踐的主題為:只用一張矩形紙條和刻度尺,如何測量一次性紙杯杯口的直徑?小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法:如圖,將紙條拉直緊貼杯口上,紙條的上下邊沿分別與杯口相交于,,,四點,利用刻度尺量得該紙條寬為,,.請你幫忙計算紙杯的直徑為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè)圓心為O,根據(jù)垂徑定理可以得到,,再根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程解題即可.【詳解】設(shè)圓心為O,為紙條寬,連接,,則,,∴,,設(shè),則,又∵,∴,即,解得:,∴半徑,即直徑為,故選B.【點睛】本題考查垂徑定理,勾股定理,構(gòu)建直角三角形利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵.2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用3.(2022秋?浦江縣月考)閱讀下面材料,并解決問題:(1)如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點P,若點P到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求∠APB的度數(shù).為了解決本題,我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處,此時△ACP′≌△ABP,這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中,從而求出∠APB=;(2)基本運用請你利用第(1)題的解答思想方法,解答下面問題已知如圖②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且∠EAF=45°,求證:EF2=BE2+FC2;(3)能力提升如圖③,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,點O為Rt△ABC內(nèi)一點,連接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個三角形全等,全等三角形對應(yīng)邊相等,全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答;(2)把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE′=AE,CE′=CE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,再求出∠E′AF=45°,從而得到∠EAF=∠E′AF,然后利用“邊角邊”證明△EAF和△E′AF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得E′F=EF,再利用勾股定理列式即可得證.(3)將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處,連接OO′,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC,即A′B的長,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BOO′是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BO=OO′,等邊三角形三個角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°,然后求出C、O、A′、O′四點共線,再利用勾股定理列式求出A′C,從而得到OA+OB+OC=A′C.【解答】解:(1)∵△ACP′≌△ABP,∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°,∴△APP′為等邊三角形,PP′=AP=3,∠AP′P=60°,易證△PP′C為直角三角形,且∠PP′C=90°,∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°;故答案為:150°;(2)如圖2,把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,∵∠EAF=45°,∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠E′AF,在△EAF和△E′AF中,∴△EAF≌△E′AF(SAS),∴E′F=EF,∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠E′CF=45°+45°=90°,由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,即EF2=BE2+FC2.(3)如圖3,將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處,連接OO′,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2,∴BC=,∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,∴△A′O′B如圖所示;∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2,∵△AOB繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到△A′O′B,∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,∴△BOO′是等邊三角形,∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BOO′=120°+60°=180°,∴C、O、A′、O′四點共線,在Rt△A′BC中,A′C=,∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=.【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,讀懂題目信息,理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵.3.圓心角與圓周角的綜合應(yīng)用4.(2023?余杭區(qū)模擬)如圖,AB是半圓O的直徑,點D是弧AC的中點,若∠DAC=25°.則∠BAC等于()A.40° B.42° C.44° D.46°【分析】利用圓周角定理和弧與圓心角的關(guān)系求解即可.【解答】解:連接OC,OD,∵點D是弧AC的中點,∴弧AD=弧CD,又∠DAC=25°,∴∠AOD=∠COD=2∠DAC=50°,∴∠BOC=180°﹣∠AOD﹣∠COD=80°,∴,故選:A.【點評】本題考查圓周角定理、弧與圓心角的關(guān)系,熟練掌握圓周角定理是解答的關(guān)鍵.4.圓周角定理的綜合應(yīng)用5.(2022·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖,內(nèi)接于,,,是上與點關(guān)于圓心成中心對稱的點,是邊上一點,連接,,.已知,,是線段上一動點,連接并延長交四邊形的一邊于點,且滿足,則的值為.【答案】1或【分析】先根據(jù)圓周角定理和對稱性質(zhì)證明四邊形是正方形,得到,,根據(jù)題意,分點R在線段上和點R在線段上兩種情況,利用全等三角形的判定與性質(zhì)分別求解即可.【詳解】解:∵內(nèi)接于,,∴是的直徑,∵是上與點關(guān)于圓心成中心對稱的點,∴,,又,∴,∴四邊形是菱形,又,∴四邊形是正方形,∴,.當點R在線段上時,如圖,在和中,,∴,∴,∵,∴,,在和中,,∴,∴,∴;當點R在線段上時,如圖,在和中,,∴,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∴,綜上,滿足條件的的值為1或.【點睛】本題考查圓周角定理、對稱性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握圓周角定理和正方形的判定與性質(zhì),證得四邊形是正方形,利用分類討論思想結(jié)合全等三角形的性質(zhì)和等面積法求解是解答的關(guān)鍵6.(2023·浙江·一模)如圖,在中,,以為直徑的圓分別交,于點,連接交于點.若.(1)求證:.(2)求的長.【答案】(1)見解析【分析】(1)首先根據(jù)圓直徑的性質(zhì)得到,然后利用等腰三角形三線合一性質(zhì)求解即可;(2)首先利用勾股定理求出,然后利用等面積法得到,最后利用勾股定理即可求出的長.【詳解】(1)∵是圓的直徑,∴,∵,∴是等腰三角形,∴;(2)∵是圓的直徑,∴,∵,,∴,∴,∵是圓的直徑,∴,∴,∴,∴解得,∴.【點睛】此題考查了直徑所對的圓周角是直角,等腰三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.5.正多邊形的計算7.(2022秋?南潯區(qū)期末)已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O,連接BD,則∠ABD的度數(shù)是.【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)求出∠ABC、CD=CB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CBD,計算即可.【解答】解:∵五邊形ABCDE為正五邊形,∴∠ABC=∠C==108°,∵CD=CB,∴∠CBD==36°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=72°,故答案為:72°.【點評】本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理,掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于(n﹣2)×180°是解題的關(guān)鍵.8.(2022秋?江北區(qū)期末)劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學(xué)家,他首次提出“割圓術(shù)”,利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓周率,方法如圖:作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O,取的中點G,OG與AB交于點H;連結(jié)AG、BG;依次對剩余五段弧取中點可得一個圓內(nèi)接正十二邊形,記正十二邊形的面積為S1,正六邊形的面積為S2,則=.【分析】設(shè)⊙O的半徑為R,根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、正弦的定義、三角形的面積公式分別表示出S1、S2,計算即可.【解答】解:設(shè)⊙O的半徑為R,∵點G是的中點,∴OG⊥AB,∠BOG=∠AOB,∵六邊形ABCDEF為正六邊形,∴△AOB為等邊三角形,∴∠OAB=60°,∴S2=R?R?sin60°×6=R2,S1=R?R?sin30°×12=3R2,∴==,故答案為:.【點評】本題考查的是正多邊形和圓,掌握正多邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.6.弧長與扇形面積的計算9.(2022秋?寧波期末)如圖,在△ABC中,以邊AB為直徑作⊙O分別交BC,AC于點D,E,點D是BC中點,連接OE,OD.(1)求證:△ABC是等腰三角形.(2)若AB=6,∠A=40°,求的長和扇形EOD的面積.【分析】(1)連接AD,由AB為⊙O直徑,得到∠ADB=90°,繼而得出AD是線段BC的中垂線,即可求解;(2)由等邊對等角及三角形外角的性質(zhì)求出∠AOE,∠EOD的度數(shù),再根據(jù)弧長公式和扇形面積公式求解即可.【解答】解:(1)連接AD,∵AB為⊙O直徑,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,又∵D是BC中點,∴AD是線段BC的中垂線,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;(2)∵∠A=40°,OA=OE,∴∠A=∠AEO=40°,∴∠AOE=100°,∵AB=6,∴OA=OE=3,∴,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=70°=∠ODB,∴∠AOD=140°,∴∠EOD=40°,∴.【點評】本題考查了圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì)和判定,三角形外角的性質(zhì),弧長公式和扇形面積公式,垂直平分線的判定,熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.10.(2022秋?上城區(qū)期末)已知AB是圓O的直徑,半徑OD⊥BC于點E,的度數(shù)為60°.(1)求證:OE=DE;(2)若OE=1,求圖中陰影部分的面積.【分析】(1)連接BD,證明△OBD是等邊三角形,可得結(jié)論;(2)根據(jù)S陰=S扇形AOC+S△COE,求解即可.【解答】(1)證明:連接BD,∵的度數(shù)是60°,∴∠BOD=60°,∵OB=OD,∴△OBD是等邊三角形,∵OD⊥BC,∴OE=DE;(2)解:連接OC.∵OD⊥BC,OC=OB,∴∠COE=∠BOE=60°,∴∠OCE=30°,∴OC=2OE=2,∴CE===,∴S陰=S扇形AOC+S△COE=+××1=+.【點評】本題考查了扇形面積、三角形的面積的計算,正確證明△BOD是等邊三角形是關(guān)鍵.【3種思想】分類討論思想11.(2022·浙江·九年級專題練習(xí))在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油,截面如圖所示,已知截面⊙O半徑為5cm,油面寬AB為6cm,如果再注入一些油后,油面寬變?yōu)?cm,則油面AB上升了()cmA.1 B.3 C.3或4 D.1或7【答案】D【分析】分兩種情況求解:①如圖1,寬度為8cm的油面,作與的交點為,可知,,,在中,由勾股定理得,解得的值,在中,由勾股定理得,解得的值,計算即可;②如圖2,寬度為8cm的油面,作與的交點為,連接,由題意知,,,在中,由勾股定理得,在中,由勾股定理得,計算即可.【詳解】解:分兩種情況求解:①如圖1,寬度為8cm的油面,作與的交點為由題意知,,在中,由勾股定理得在中,由勾股定理得∴②如圖2,寬度為8cm的油面,作與的交點為,連接由題意知,,在中,由勾股定理得在中,由勾股定理得∴∴油面AB上升到CD,上升了1cm,油面AB上升到EF,上升了7cm;故選D.【點睛】本題考查了圓的垂徑定理,勾股定理.解題的關(guān)鍵在于對兩種情況全面考慮.12.(2023·浙江金華·統(tǒng)考一模)如圖,已知和為等腰直角三角形,,,,連接、.在繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中,當所在的直線垂直于時,_______.【答案】或【分析】①當點在點上方時,先判斷出四邊形是矩形,求出,再根據(jù)勾股定理求出,,得出;②當點在點下方時,同①的方法得,,,進而得出,即可得出結(jié)論.【詳解】∵為等腰直角三角形,,,①當點在點上方時,如圖③,過點作交的延長線于,當時,可證,,,,四邊形是矩形,,矩形是正方形,,在中,根據(jù)勾股定理得,,.②當點在點下方時,如圖④同①的方法得,,,,綜上所述,的長為或.【點睛】此題是幾何變換綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,正方形和矩形的性質(zhì)與判定,解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意進行分情況討論.2.數(shù)形結(jié)合思想13.(2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí))如圖,在兩個同心圓中,大圓的弦與小圓相交于C,D兩點.(1)求證:.(2)若,大圓的半徑,求小圓的半徑r.【答案】(1)證明見解析(2)小圓的半徑r為【分析】(1)過O作于點E,由垂徑定理可知E為和的中點,則可證得結(jié)論;(2)連接,由條件可求得的長,則可求得和的長,在中,利用勾股定理可求得的長,在中可求得的長;【詳解】(1)證明:過O作于點E,如圖1,由垂徑定理可得∴∴(2)解:連接,如圖2,∵,∴,∴,∴,在中,由勾股定理可得,在中,由勾股定理可得∴,即小圓的半徑r為.【點睛】本題考查了垂徑定理與勾股定理的知識.此題難度適中,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,注意輔助線的作法.3.方程思想14.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,的半徑弦于點C,連接并延長交于點E,連接.若,則的長為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】垂徑定理得到,三角形中位線定理得到,在中,設(shè),則,,則,解得,則,,即可得到的長.【詳解】解:∵的半徑弦于點C,連接并延長交于點E,∴垂直平分,是的直徑,∴,∴是的中位線,∴,在中,設(shè),則,∵,∴,解得:,即,,∴,故選:B.【點睛】此題考查了垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理等知識,根據(jù)勾股定理得到是解題的關(guān)鍵.15.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,在中,已知,,以點C為圓心、長為半徑的圓交于點D,,則的長為(
)A. B. C. D.4【答案】A【分析】如圖,作于E.連接,在中,設(shè),利用30度性質(zhì)即可求出,,,再根據(jù)垂徑定理可以求出.【詳解】解:如圖,作于E.連接,則,∴,,∵,,∴,在中,設(shè),∴,,,∴,∴,∴,∴.故選A.【點睛】本題考查垂徑定理、三角形內(nèi)角和定理等知識,解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理添加輔助線,記住直角三角形30度角性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題,中考??碱}型.17.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖是一個圓柱形輸水管橫截面的示意圖,陰影部分為有水部分,如果水面AB的寬為,水面最深的地方高度為,則該輸水管的半徑為()A. B. C. D.【答案】A【分析】作半徑于C,連接,設(shè)圓的半徑是,則,,,由勾股定理列出方程求解即可.【詳解】作半徑于C,連接,設(shè)圓的半徑是,∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴該輸水管的半徑為,故選:A.【點睛】本題考查垂徑定理,勾股定理,關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形,應(yīng)用勾股定理,垂徑定理列出關(guān)于半徑的方程.【檢測卷】一、單選題1.(2023秋·浙江·九年級校考開學(xué)考試)在半徑為3的圓中,90°的圓心角所對的弧長是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)弧長的公式進行解答.【詳解】解:根據(jù)弧長的公式,得到:.故選:C.【點睛】本題考查弧長的計算,熟記弧長公式是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.(2022秋·浙江寧波·九年級??计谥校┮阎陌霃綖?cm,點P在上,則的長為(
)A.2cm B.4cm C.5cm D.8cm【答案】B【分析】根據(jù)點在圓上,點到圓心的距離等于圓的半徑求解即可.【詳解】解:∵的半徑為4cm,點P在上,∴.故選:B.【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系:設(shè)的半徑為r,點P到圓心的距離,則有:點P在圓外時,;點P在圓上時,;點P在圓內(nèi)時,.3.(2022秋·浙江寧波·九年級??计谥校┤鐖D,點A,B,C在上,,則的度數(shù)是(
)A.50° B.60° C.80° D.90°【答案】A【分析】先求解,再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得.【詳解】解:∵,∴,∵,∴;故選A【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用,等腰三角形的性質(zhì),熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵.4.(2022秋·浙江紹興·九年級校考期中)如圖,是的外接圓,,則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由是的外接圓,,根據(jù)在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半,即可求得的度數(shù).【詳解】解:∵是的外接圓,,∴.故選:A.【點睛】此題考查了圓周角定理.此題比較簡單,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.5.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,在中,,,將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,則點與點B之間的距離為()A.4 B. C.3 D.【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可證都是等邊三角形,由勾股定理求出BC的長即可.【詳解】解:如圖,連接,∵將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到,∴,∵,∴是等邊三角形,,∴,∴,∴是等邊三角形,∴,在中,,∴,∴,故選:B.【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))如圖,是的直徑,點C,D,E都在上,則等于()A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)是的直徑,得出,根據(jù)圓周角定理得出最后結(jié)果即可.【詳解】解:∵是的直徑,∴,由圓周角定理得:,故選:B.【點睛】本題主要考查了圓周角定理,直接所對的圓心角為,解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理.7.(2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模)如圖,在中,,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得,使點恰好落在邊上,連結(jié),則的度數(shù)為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等,得出等腰三角形,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解.【詳解】解:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,,,∴,在中,,∴,解得:,故選:C.【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊得出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵.8.(2023春·浙江衢州·九年級??茧A段練習(xí))六一兒童節(jié)快到了,小亮在圖紙上畫了一個邊長為的正方形,以該正方形的四個頂點為圓心、長為半徑作弧,則圖中實線所示的飾品輪廓的長為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)圖示,可得,,則的長為以半徑為的圓的周長的一半,由此即可求解.【詳解】解:如圖所示,設(shè)正方形為,根據(jù)作圖可知,,,∴,故選:.【點睛】本題主要考查圓的周長的計算,理解圖示,掌握圓的周長的計算方法是解題的關(guān)鍵.9.(2023春·浙江嘉興·九年級??奸_學(xué)考試)如圖,已知內(nèi)接于,為直徑,的平分線交于點D,連結(jié),若,則圖中陰影部分的面積為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】:如圖,連接,由題意知,,由平分,可得,由,可得,根據(jù),計算求解即可.【詳解】解:如圖,連接,由題意知,,∵平分,∴,∵,∴,∴,故選:C.【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角,角平分線,圓周角定理,扇形的面積.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.10.(2023秋·浙江嘉興·九年級??奸_學(xué)考試)如下圖所示,O為邊長為1的等邊三角形內(nèi)(不含邊界)任意一點,則的不可能取值為(
)A. B. C. D.2【答案】A【分析】將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到,如圖,連接交于點F,連接,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證是等邊三角形,可得,從而可得,當、在一條直線上時,有最小值,最小值為的值,證明四邊形是菱形,可得,,再利用勾股定理求得,,從而可得,即可求解.【詳解】解:將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到,如圖,連接交于點F,連接,∴,,∴,∵,∴是等邊三角形,∴,∴,∴當、在一條直線上時,有最小值,最小值為的值,此時,∵是等邊三角形,∴,∴,∴,又∵,∴四邊形是平行四邊形,又∵,∴四邊形是菱形,∴,∴,∵,在中,,∴,∴,故選:A.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理,線段和最小值,熟練掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.二、填空題11.(2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模)一個扇形的圓心角為,半徑為2,則該扇形的面積為.【答案】【分析】根據(jù)扇形面積公式(其中n是扇形圓心角,r是半徑)進行計算即可.【詳解】解:扇形的面積=.故答案為:.【點睛】此題考查了扇形面積,熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.12.(2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中)如圖,點,,在上,,則【答案】/度【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解.【詳解】解:∵,,∴,故答案為:.【點睛】本題考查了圓周角定理,熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.13.(2023春·浙江嘉興·九年級??奸_學(xué)考試)已知的圓心與坐標原點重合,半徑為r,若點在內(nèi),點在外,則r的取值范圍是.【答案】【分析】由題意知,,,由點在內(nèi),點在外,可得.【詳解】解:由題意知,,,∵點在內(nèi),點在外,∴,故答案為:.【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系,勾股定理.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.14.(2023春·浙江溫州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí))扇形的圓心角為,半徑為,它的弧長為.【答案】【分析】根據(jù)弧長公式求解.【詳解】解:,故答案為:.【點睛】本題考查弧長的計算,解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式.15.(2023春·浙江嘉興·九年級??奸_學(xué)考試)如圖,在中,,,D為上一點,,以C為圓心,長為半徑作圓,連結(jié)并延長交于另一點E,若,則的長為.【答案】【分析】結(jié)合圓的性質(zhì)證明,設(shè),過作,垂足為F,利用直角三角形的性質(zhì)求出,,根據(jù)的長度以及勾股定理列出方程,解之即可.【詳解】解:∵,點E在上,∴,∴,∵,∴,又,∴,∴,設(shè),則,過作,垂足為F,∵,∴,,∴,∴,解得:,即,故答案為:.【點睛】本題考查了圓的性質(zhì),勾股定理,含30度的直角三角形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),知識點較多,比較復(fù)雜,解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理計算線段長度.16.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))一個直角三角形的兩條邊長是方程的兩個根,則此直角三角形的外接圓的直徑為.【答案】6或【分析】先解方程求出方程的兩個根,再根據(jù)較大的根為斜邊和直角邊,兩種情況進行討論求解即可.【詳解】解:,,解得:,①當直角邊分別為2,6時,斜邊為:,∵直角三角形的外接圓的直徑即為直角三角形斜邊的長,∴此時直角三角形外接圓的直徑為,②當斜邊為6時,此時直角三角形外接圓直徑為6.故答案為:6或.【點睛】本題考查解一元二次方程,勾股定理,直角三角形的外接圓.解題的關(guān)鍵是正確的求出一元二次方程的根,注意分類討論.17.(2023春·浙江臺州·九年級校考階段練習(xí))如圖,在菱形中,,,分別以點、點、點、點為圓心,長為半徑畫弧分別與菱形的邊相交,圖中陰影部分的面積為.(結(jié)果保留【答案】/【分析】連接與交于點,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到,,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出、,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是可知四個扇形可以拼成一個整圓,再根據(jù)圓的面積公式、菱形面積公式計算即可.【詳解】解:連接與交于點,∵四邊形是菱形,∴,∴,由勾股定理得,又∵,,∴陰影部分的面積為:故答案為:【點睛】本題考查的是圓的面積計算、菱形的性質(zhì),推導(dǎo)出四個扇形拼成一個整圓是解題的關(guān)鍵.18.(2023秋·浙江溫州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試)如圖,在中,,,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,則的長為.【答案】/【分析】連接,延長交于點,由旋轉(zhuǎn)可得:,,求出,由勾股定理求出,則可得出答案.【詳解】解:連接,延長交于點,由旋轉(zhuǎn)可得:,,是等邊三角形,,,是的垂直平分線,,,.故答案為:.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題19.(2020秋·浙江·九年級統(tǒng)考期末)如圖,點在上,.求證:.【答案】見解析【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系,由得到,進而可得,即可得證.【詳解】證明:,,,即,.【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系:在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.20.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))如圖,A是上一點,是直徑,點D在上且平分.(1)連接,求證:平分;(2)若,,求的長.【答案】(1)見解析(2).【分析】(1)利用圓周角定理即可證明結(jié)論;(2)利用圓周角定理得到,再利用勾股定理即可求解.【詳解】(1)證明:∵點D在上且平分,∴,∴,∴平分;(2)解:∵是直徑,∴,∵點D在上且平分,∴,∴,∴,∵,∴.【點睛】本題考查了圓周角定理,勾股定理,掌握“直徑所對的圓周角是直角”是解題的關(guān)鍵.21.(2023秋·浙江·九年級專題練習(xí))在平面直角坐標系中,的位置如圖,網(wǎng)格中小正方形邊長為1,點A坐標為,請解答下列問題:(1)作出繞點O的逆時針旋轉(zhuǎn)得到的;(2)計算的面積.【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到點A,B,C的對應(yīng)點,即可;(2)用所在的長方形的面積減去其周圍三個直角三角形的面積,即可.【詳解】(1)解:如圖所示,即為所求;(2)解:的面積為.【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn),熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.22.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模)如圖,已知的半徑為,四邊形內(nèi)接于,連結(jié),,.(1)求的長;(2)求證:平分的外角.【答案】(1)(2)見解析【分析】(1)根據(jù)圓周角定理,弧長計算公式即可求解;(2)根據(jù),可得,根據(jù)圓周角定理,同弧所對圓周角相等,運用等量代換即可求證.【詳解】(1)解:如圖所示,連接,∵,的半徑為,∴,根據(jù)弧長公式得,.(2)解:根據(jù)題意,,∴,在中,,∵,且,∴,∵在中,,∴,∴,∴平分的外角.【點睛】本題主要考查圓與四邊形,等腰三角形的綜合,掌握圓周角定理,等腰三角形的性質(zhì),等量代換的方法是解題的關(guān)鍵.23.(2023·浙江衢州·??家荒#┤鐖D,為圓O的直徑,點C,D在圓O上,與交于點E,,,連接,.求證:(1);(2)四邊形是菱形.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】(1)由已知條件根據(jù)全的三角形的判定即可證明;(2)首先根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形,然后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明.【詳解】(1)證明:在和中,∵,∴;(2)∵為的直徑,∴,∵,∴,,∴,,∴四邊形是平行四邊形.∵,∴四邊形是菱形.【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、圓的性質(zhì),掌握全等三角形的判定和特殊平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.24.(2023·浙江·九年級假期作業(yè))如圖,為圓內(nèi)接四邊形的對角線,且點D為的中點;(1)如圖1,若、直接寫出與的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖2、若、平分,,求的長度.【答案】(1)(2)【分析】(1)如圖:繞B逆時針旋轉(zhuǎn)交于E,即,先說明是等邊三角形可得;再說明是等邊三角形可得,進而證明可得,最后根據(jù)即可證明結(jié)論;(2)如圖:連接,交于E,先說明為直徑,即,再運用圓周角定理和勾股定理可得,進而求得、,最后運用勾股定理即可解答【詳解】(
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