熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程課件

第二章熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程熱傳導(dǎo)方程在三維空間中，考慮均勻的、各向同性的物體。假定它的內(nèi)部有熱源或匯，并且與周圍的介質(zhì)有熱交換，來研究物體內(nèi)部溫度的分布規(guī)律。物理模型熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程Fourier實(shí)驗(yàn)定律注：負(fù)號(hào)是因?yàn)闊崃靠偸菑臏囟雀叩囊粋?cè)流向低的一側(cè)，熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程由熱量守恒定律，物體內(nèi)部無熱源時(shí)，熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程交換積分次序熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程若物體內(nèi)部有熱源，熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程數(shù)學(xué)模型二維的情形：一維的情形：其中：a2=k/Cρ，f(x,y,z,t)=f0/C，如果物體是均勻的，且各向同性的，則有熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程定解條件邊界條件給定溫度函數(shù)u(x,y,z,t)在物體

表面的限制。一般來有三種類型：第一類邊界條件：初始條件給出物體在初始時(shí)刻t=0

的溫度第二類邊界條件：第三類邊界條件：熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程定解問題由方程與定解條件可以描述一個(gè)特定的物理現(xiàn)象，它構(gòu)成一個(gè)定解問題混合問題：初始問題：熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程考慮三維空間中一均勻的、各向同性的物體，假定它的內(nèi)部有擴(kuò)散源，來研究物體內(nèi)部分子的濃度在時(shí)刻t的分布規(guī)律。物理模型數(shù)學(xué)模型其中：u(x,y,z,t)表示于時(shí)刻t在(x,y,z)

處的分子濃度f(x,y,z,t)表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)D為擴(kuò)散系數(shù)熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程第二節(jié)初邊值問題的分離變量法熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程

定解問題

未知函數(shù)分離

泛定方程分離

邊界條件分離

分離結(jié)果熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程

空間方程解出

非零解條件

非零解

時(shí)間方程解出

分離結(jié)果的求解熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程典型問題的求解

初始條件要求

分離結(jié)果的合成

再合成半通解

系數(shù)的確定

過程小結(jié)分離變量——分別求解——合成半通解——由初始條件確定系數(shù)熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程分離變量流程圖熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程典型問題的求解

例題1

代入初始條件

分離變量

分別求解

合成半通解熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程第二類邊界條件

定解問題

初始條件要求

未知函數(shù)分離

泛定方程分離

邊界條件分離

本征運(yùn)動(dòng)

半通解熱傳導(dǎo)方程與擴(kuò)散方程典型問題的求解

例題2

代入初