課題學(xué)習(xí)最短路徑問題課件數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)

課題學(xué)習(xí)

1.通過對(duì)最短路徑的探索，進(jìn)一步理解和掌握兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短的性質(zhì).2.讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，掌握探索最短路徑的思想方法.3.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，獲得成功的體驗(yàn)，樹立自信心.

如圖，連接A，B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短

如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短.“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.深入學(xué)習(xí)最短路徑問題.如圖，牧馬人從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問題.實(shí)際問題ABl探究1：現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.連接AB，與直線l相交于一點(diǎn)C.探究2：如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.作法：（1）作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C結(jié)論探究3：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′例1：如圖，已知點(diǎn)D，點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC，AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求BF+EF的最小值.

結(jié)論求線段和的最小值問題:找準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNMBA●●

?NMNMNM折移思考：如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？

當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最??？

由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小.探究：將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移到點(diǎn)N，點(diǎn)A移到點(diǎn)A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，

A′N+NB最?。窟B接A′B與b相交于N，N點(diǎn)即為所求.

試說明橋建在M′N′上時(shí)，從A到B的路徑AMNB增大.

例2：如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′，EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E′，D′.作DD′，EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD結(jié)論在解決最短路徑問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.1.牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑.A′B′PQ....解：如圖所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C，D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C，D，P三點(diǎn)組成的三角形的周長最短，找出此點(diǎn)并說明理由．（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA，OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E，F(xiàn)，P三點(diǎn)組成的三角形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點(diǎn)，并說明理由．（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M，N，是否在OA，OB上分別存在點(diǎn)E，F(xiàn)，使得E，F(xiàn)，M，N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點(diǎn)，并說明理由．ABC

D

P

O

A

B

N

O

A

B

M

圖①圖②圖③P

O

A

B

N

O

A

B

M

ABC

D

C'P

P'P''

EF

M'

N'

EF

圖①圖②圖③原理線段公理和垂線段最短牧馬人飲馬問題解題方法造橋選址問題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移最短路徑問題軸對(duì)稱知識(shí)+線段公理解題方法1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3