工程數(shù)學(xué)（本）形成性考核作業(yè)5

未知驅(qū)動(dòng)探索，專注成就專業(yè)工程數(shù)學(xué)（本）形成性考核作業(yè)5一、題目背景這是工程數(shù)學(xué)（本）形成性考核作業(yè)的第5個(gè)題目，本次題目主要涉及數(shù)列和級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及求和運(yùn)算。二、題目要求請(qǐng)回答以下問題：已知數(shù)列$\\{a_n\\}$滿足a1=1，且對(duì)任意正整數(shù)n，有$a_{n+1}=\\frac{a_n^2+1}{2}$求級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}$的和。已知等差數(shù)列$\\{a_n\\}$和$\\{b_n\\}$滿足a1=3，an+1=2a三、問題解答1.求證數(shù)列$\\{a_n\\}$是遞增數(shù)列為了證明數(shù)列$\\{a_n\\}$是遞增數(shù)列，我們可以采用歸納法進(jìn)行證明。首先，我們已知a1=1，也就是數(shù)列的首項(xiàng)是1。接下來，我們需要證明對(duì)于任意正整數(shù)n基礎(chǔ)步驟：當(dāng)n=1時(shí)，歸納假設(shè)：假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak+1>歸納步驟：當(dāng)n=k+1假設(shè)ak+1>ak，那么(a綜上所述，由歸納法可知數(shù)列$\\{a_n\\}$是遞增數(shù)列。2.求級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}$的和要求級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}$的和，可以使用等比數(shù)列求和公式。設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a=1，公比為$$S=\\frac{a}{1-r}=\\frac{1}{1-\\frac{1}{2}}=\\frac{1}{\\frac{1}{2}}=2$$因此，級(jí)數(shù)$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{2^n}$的和為2。3.求證$\\{a_n\\}$和$\\{b_n\\}$是等差數(shù)列為了證明$\\{a_n\\}$和$\\{b_n\\}$是等差數(shù)列，我們需要證明對(duì)于任意正整數(shù)n，an+1?an證明$\\{a_n\\}$是等差數(shù)列：根據(jù)題目已知條件，a1=3，且an+$a_{n+1}-a_n=2a_n-1-a_n=a_n-1=2(a_{n-1}-1)-1=2(a_{n-1}-2)=\\ldots=2(a_1-2^n)=-2^n+3$我們可以看到an+1?an的值與n有關(guān)，但是與an的值無關(guān)。即證明$\\{b_n\\}$是等差數(shù)列：根據(jù)題目已知條件，b1=2，且bn+$b_{n+1}-b_n=(1+2b_n)-b_n=1+b_n=1+2(b_{n-1}+1)=\\ldots=1+2^{n-1}(b_1-1)=1+2^{n-1}(2-1)=2^n$我們可以看到bn+1?bn的值與n有關(guān)，但是與bn的值無關(guān)。即綜上所述，$\\{a_n\\}$和$\\{b_n\\}$都不是等差數(shù)列。四、總結(jié)本次工程數(shù)學(xué)（本）形成性考核作業(yè)的題目涉及數(shù)列和級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及求和運(yùn)算。通過解答題目，我們學(xué)習(xí)到了數(shù)列的遞增性質(zhì)的證明方法，以及等比級(jí)數(shù)求和的公式。同時(shí)，我們也了解到了不滿足等差性質(zhì)的數(shù)列。希望通過本次作業(yè)的解答，大家對(duì)于