2022年中考數(shù)學總復習考點知識梳理6.1圓的基本概念與性質

第六章圓6.1圓的基本概念與性質◎理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念.◎探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.◎探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系,了解并證明圓周角定理及其推論.◎了解圓內接四邊形的概念與性質.圓是安徽中考的重點考查章節(jié),每年都會考查,其中“圓的對稱性、圓周角定理及其推論”是重點考查內容,考查的難度一般在中等或偏上,預測2022年還會圍繞本節(jié)的知識點進行考查.命題點1垂徑定理及其推論[10年7考]1.(2021·安徽第20題)如圖,圓O中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點E.(1)M是CD的中點,OM=3,CD=12,求圓O的半徑長;(2)點F在CD上,且CE=EF,求證:AF⊥BD.解:(1)如圖,連接OC,OD.因為M是CD的中點,且CD=12,所以CM=DM=6,且OM⊥DM.在Rt△OMD中,由勾股定理,得OD=OM所以圓O的半徑長為35.(2)如圖,連接AC,延長AF交BD于點N.在△AEC與△AEF中,因為AE=AE,∠AEC=∠AEF,EC=EF,所以△AEC≌△AEF,于是∠EAC=∠EAF.又因為∠BAC=∠BDC,所以∠AND=∠BAN+∠ABN=∠BDC+∠ABD=90°,于是AF⊥BD.2.(2019·安徽第19題)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓.已知圓心在水面上方,且圓被水面截得的弦AB的長為6米,∠OAB=41.3°.若點C為運行軌道的最高點(C,O的連線垂直于AB),求點C到弦AB所在直線的距離.(參考數(shù)據(jù):sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)解:連接CO并延長,交AB于點D,則CD⊥AB.∴D為AB的中點.所求運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離即為線段CD的長.在Rt△AOD中,∵AD=12AB=3,∠OAD=41.3°∴OD=AD·tan41.3°≈3×0.88=2.64,OA=ADcos41∴CD=CO+OD=OA+OD=2.64+4=6.64(米).答:運行軌道的最高點C到弦AB所在直線的距離約為6.64米.3.(2013·安徽第10題)如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓☉O上的點,在以下判斷中,不正確的是(C)A.當弦PB最長時,△APC是等腰三角形B.當△APC是等腰三角形時,PO⊥ACC.當PO⊥AC時,∠ACP=30°D.當∠ACP=30°時,△BPC是直角三角形【解析】當弦PB最長時,PB為直徑,又因為△ABC為等邊三角形,所以PB⊥AC,由垂徑定理可知,PA=PC,A項正確.當△APC是等腰三角形時,分兩種情況:當點P在AC上時,有PA=PC,可知PA與PC相等,所以4.(2021·安徽第13題)如圖,圓O的半徑為1,△ABC內接于圓O.若∠A=60°,∠B=75°,則AB=

2.

【解析】解法1:連接BO并延長交圓O于點D,連接AD.∵∠BAC=60°,∠ABC=75°,∴∠C=45°,∴∠D=∠C=45°.∵BD是圓O的直徑,∴∠BAD=90°,∴在Rt△ABD中,AB=BD·sin45°=2×22解法2:連接OA,OB.∵∠A=60°,∠B=75°,∴∠C=45°,∴∠AOB=90°.∵圓O的半徑為1,即OA=OB=1,∴AB=2.5.(2012·安徽第13題)如圖,點A,B,C,D在☉O上,點O在∠D的內部,四邊形OABC為平行四邊形,則∠OAD+∠OCD=60°.

【解析】根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角是圓心角的一半,所以∠AOC=2∠D.因為四邊形OABC是平行四邊形,所以∠B=∠AOC.因為圓內接四邊形對角互補,所以∠B+∠D=180°,所以∠D=60°.連接OD,則OA=OD,OD=OC,所以∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,即有∠OAD+∠OCD=∠ADC=60°.6.(2014·安徽第19題)如圖,在☉O中,半徑OC與弦AB垂直,垂足為E,以OC為直徑的圓與弦AB的一個交點為F,D是CF延長線與☉O的交點.若OE=4,OF=6,求☉O的半徑和CD的長.解:∵OC為小圓的直徑,∴∠OFC=90°,∴CF=DF.∵OE⊥AB,∴∠OEF=∠OFC=90°.又∵∠FOE=∠COF,∴△OEF∽△OFC,∴OEOF∴OC=OF2OE=624在Rt△OFC中,CF=OC∴CD=2CF=65.命題點3與圓的基本性質相關的最值問題[10年2考]7.(2016·安徽第10題)如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為(B)A.32 B.2C.81313 D【解析】∵∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°,∴點P在以AB為直徑的☉O上,連接OC交☉O于點P,此時CP最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=OB2+BC2=5,∴CP=OC－OP=5－8.(2015·安徽第20題)在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在☉O上,且OP⊥PQ.(1)如圖1,當PQ∥AB時,求PQ的長;(2)如圖2,當點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.解:(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=3.連接OQ.在Rt△OPQ中,PQ=OQ(2)連接OQ.∵PQ2=OQ2－OP2=9－OP2,∴當OP最小時,PQ最大,此時,OP⊥BC,OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=32∴PQ長的最大值為9-3考點1垂徑定理及其推論典例1(2020·四川甘孜州)如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點H.若AB=10,CD=8,則OH的長度為.

【解析】連接OC.∵CD⊥AB,∴CH=DH=12CD【答案】3運用垂徑定理解決圓的有關證明和計算問題,常用的作輔助線的方法是過圓心作弦的垂線,得到直角三角形,再結合勾股定理解決問題.提分1往直徑為52cm的圓柱形容器內裝入一些水以后,截面如圖所示.若水面寬AB=48cm,則水的最大深度為(C)A.8cm B.10cmC.16cm D.20cm【解析】過點O作OC⊥AB于點C,連接OB.∵OC⊥AB,∴AC=BC=24cm,∠OCB=90°,∴在Rt△OCB中,OC=OB2-BC2=10cm,提分2AB是☉O的弦,OM⊥AB,垂足為M,連接OA.若△AOM中有一個角是30°,OM=23,則弦AB的長為12或4.

【解析】∵OM⊥AB,∴AM=BM.如圖1,若∠OAM=30°,則tan∠OAM=OMAM=23AM=33,∴AM=6,∴AB=2AM=12;如圖2,考點2圓周角定理及其推論典例2(2021·湖北宜昌)如圖,C,D是☉O上直徑AB兩側的兩點,設∠ABC=25°,則∠BDC=()A.85° B.75°C.70° D.65°【解析】∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠ABC=25°,∴∠BAC=90°－25°=65°,∴∠BDC=∠BAC=65°.【答案】D【思維教練】在圓中求一個角的度數(shù)時,已知圓的直徑可得到90°的圓周角,我們可以利用三角形的內角和定理求角度,也可以根據(jù)同弧所對的圓周角相等進行等角轉換求角度.提分3(2021·四川雅安)如圖,四邊形ABCD為☉O的內接四邊形.若四邊形OBCD為菱形,則∠BAD的度數(shù)為(B)A.45° B.60°C.72° D.36°【解析】∵四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,∴∠BAD+∠BCD=180°.由圓周角定理得∠BOD=2∠BAD,∵四邊形OBCD為菱形,∴∠BOD=∠BCD,∴∠BAD+2∠BAD=180°,解得∠BAD=60°.提分4(2021·浙江湖州)如圖,AB是☉O的直徑,∠ACD是AD所對的圓周角,∠ACD=30°.(1)求∠DAB的度數(shù).(2)過點D作DE⊥AB,垂足為E,DE的延長線交☉O于點F.若AB=4,求DF的長.解:(1)解法1:連接BD.∵∠ACD=30°,∴∠B=∠ACD=30°.∵AB是☉O