武漢大學(xué)-線性代數(shù)試卷

遙感青協(xié)資料庫(kù)-PAGE3--武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2005－2006學(xué)年第一學(xué)期《線性代數(shù)A》A卷（72學(xué)時(shí)用）學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名注所有答題均須有詳細(xì)過(guò)程，內(nèi)容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無(wú)效。一、計(jì)算下列各題（每題6分，3題共18分）：(1).計(jì)算行列式.(2).已知階矩陣，且非奇異，求.(3).設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣，其對(duì)應(yīng)的二次型的正負(fù)慣性指數(shù)均為1，且滿足，計(jì)算.二、(12分)設(shè)，且，滿足，求和.三、(15分)設(shè),.討論為何值時(shí),方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解?并在有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解.四、(15分)設(shè)二次型,(1).求出二次型的矩陣的全部特征值；(2).求可逆矩陣，使成為對(duì)角陣;(3).計(jì)算(m是正整數(shù)).五、(15分)設(shè),其中,；,.求與的基與維數(shù).六、(15分)設(shè)是維線性空間上的線性變換,且滿足,但.(1).證明,,,…,是的一組基；(2).求線性變換在這組基下的矩陣；(3).討論能否和對(duì)角陣相似.七、(10分)設(shè)階方陣有個(gè)互不相同的特征值.證明:的充要條件是的特征向量也是的特征向量.2005－2006第一學(xué)期《線性代數(shù)A》A卷參考解答一、1..＝2、；3、－10.二、解：由初等變換求得＝1，由，得，由于，因此可逆，且三、解：經(jīng)計(jì)算因此方程組有唯一解。時(shí)，對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形:因，即時(shí)無(wú)解。時(shí)，同樣對(duì)增廣矩陣作行變換化為階梯形:因，所以時(shí)有無(wú)窮多解。等價(jià)方程組為:令，得通解為：四、解：1)二次型的矩陣為A＝;|E-A|＝=(+1)(－2)所以A的全部特征值為：＝－1,＝＝2對(duì)=—1,解(－E－A)X＝0得基礎(chǔ)解系為＝(1,1,1)；對(duì)＝＝2,解(2E—A)X＝0得基礎(chǔ)解系為＝(—1,1,0),＝(—1,0,1)。2).令P＝＝，即為所求可逆陣，此時(shí)AP＝＝.3)五、故,且是的一組基.又顯然有,,由維數(shù)公式得.考慮齊次線性方程組:得基礎(chǔ)解,進(jìn)而得的基為.六、1.作組合，依次用作用于上式兩邊，即可得2.3.由于只有零特征值(重)，而的基礎(chǔ)解系僅含一個(gè)解向量，沒(méi)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，故不能與對(duì)角陣相似.七、必要性：設(shè)是的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量．則，故即．而是一維子空間，故，即也是的特征向量．充分性：有個(gè)相同的線性無(wú)關(guān)的特征向量．取則有，或，由此即得．武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2005－2006學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)B》（A卷）學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名注：所有答題均須有詳細(xì)過(guò)程，內(nèi)容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無(wú)效。一、計(jì)算題（每小題6分，4題共24分）：1、設(shè)五維向量，，，求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。2、設(shè)有四階方陣，求行列式的值。3、判定二次型的正定性。4、已知，求。二、解答題（每小題12分，3題共36分）：1、已知，且，其中是3階單位矩陣，(1)求矩陣；（2）令，計(jì)算的伴隨陣。2、給定的兩組基定義線性變換：試求：（1）求由基到基的過(guò)渡矩陣;（2）求線性變換在基下的矩陣。3、已知，（1）求一個(gè)正交變換,把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。（2）在的條件下，求二次型的最大值和最小值。三、證明與討論（3題共40分）1、設(shè)有線性方程組,問(wèn)l取何值時(shí)，方程組有惟一解、無(wú)解或有無(wú)窮多個(gè)解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。（15分）2．設(shè)為矩陣，證明如果，那么其中為的單位矩陣，為矩陣的秩。（10分）3、設(shè)，為實(shí)數(shù)，試討論為何值時(shí)，矩陣可與對(duì)角陣相似？（15分）線性代數(shù)B參考答案一、計(jì)算下列各題：1、解：由及，則知即為一極大無(wú)關(guān)組。2、解：，，所以：。3、解：的矩陣，順序主子式為，，，根據(jù)正定性的判定定理知為正定二次型。4、解：，則=。二、解答下列各題：1、解：(1)由，得，而因此矩陣可逆，且，所以由，得，故。（2）注意且＝＝＝，即，且。2、解（1）取的另一組基，則由基到基與的過(guò)渡矩陣及分別為再由可解得由基到基的過(guò)渡矩陣為（2），故在基下的矩陣仍為X。3、解：（1），的特征多項(xiàng)式為令，得對(duì)解線性方程組基礎(chǔ)解系為：，正交規(guī)范化得：對(duì)解線性方程組，得基礎(chǔ)解系為：，規(guī)范化得：，則所求之一正交變換矩陣，變換之下的標(biāo)準(zhǔn)形為：。（2）由于正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變，則，，注意：，則，即的最大值為1，最小值為。比如令，有令，有。三、證明題與討論題：1、解：通過(guò)對(duì)增廣陣的討論可得如下結(jié)論：(1)當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；(2)當(dāng)時(shí)，，，該情形方程組無(wú)解；(3)當(dāng)時(shí),,此時(shí)方程組有無(wú)限多個(gè)解。而,，由此得，即，。證因?yàn)閞（A+I）+r（A—I）≥r（A+I+A—I）=r(A)，故r（A+）+r（A—）≥n又因?yàn)?r（A+）+r（A—）≤n即證 r（A+）+r（A—）=n3、解：＝，得。1）當(dāng)且時(shí)，有3個(gè)相異特征值，則有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，此時(shí)一定可以對(duì)角化。2）如果，則，注意到時(shí)，由＝，，則由恰給出的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。而當(dāng)時(shí)，由＝，，則由恰給出的一個(gè)特征向量。再由上題知，此種情形下，的三個(gè)特征向量線性無(wú)關(guān)，即也可以對(duì)角化。3）如果，則，注意到時(shí)，由及知，即恰有一個(gè)特征向量。而當(dāng)時(shí)，由及知，恰給出的一個(gè)特征向量，從而此情形下不具有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則不可對(duì)角化。武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2005－2006學(xué)年第一學(xué)期《線性代數(shù)C》A卷學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名注所有答題均須有詳細(xì)過(guò)程，內(nèi)容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無(wú)效。一、計(jì)算題（每題6分，4題共24分）：1．設(shè)，計(jì)算.2．設(shè)二階方陣A滿足方程，求A的所有可能的特征值.3．計(jì)算行列式..4．設(shè)階向量，矩陣,且，求實(shí)數(shù).二、解答題（4題共60分，每題15分）1．設(shè)，且，滿足，求和.2．已知,,就方程組無(wú)解、有唯一解、有無(wú)窮多解諸情形，對(duì)值進(jìn)行討論，并在有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解.3、設(shè)二次型,(1).求出二次型的矩陣及其秩;(2).求出矩陣的全部特征值;(3).求可逆矩陣，使成為對(duì)角陣.4、設(shè)是三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為6，3，3，且與特征值6對(duì)應(yīng)的特征向量為，求.三、證明題（2題共16分）：1.（8分）設(shè)是階實(shí)方陣，當(dāng)為奇數(shù)且及時(shí),證明：.2.（8分）若是非零實(shí)數(shù)，給出向量組線性無(wú)關(guān)的一個(gè)充要條件，并證明之.2005－2006第一學(xué)期《線性代數(shù)C》A卷參考解答一、計(jì)算題：1、；2、；3、.＝；4、－1.二、解答題：1、解：＝1，由，因此可逆，且2、解：經(jīng)計(jì)算,因此方程組有唯一解。時(shí)，因，即時(shí)無(wú)解。時(shí)，因，通解為：3、解：1)二次型的矩陣為A＝;秩（A）=3；2）|E-A|＝(+1)(－2)，所以A的全部特征值為：＝－1,＝＝23)。對(duì)=—1,解得基礎(chǔ)解系為＝(1,1,1)；對(duì)＝＝2,解得基礎(chǔ)解系為＝(—1,1,0),＝(—1,0,1)。令P＝＝，則AP＝＝.4、；三、證明題1、證明：，所以.2、證明：如果，即線性無(wú)關(guān)，則有，得線性無(wú)關(guān)；反之如果線性無(wú)關(guān)，則由，得到.可見(jiàn),線性無(wú)關(guān)是線性無(wú)關(guān)的一個(gè)充分必要條件.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2005－2006學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)D》（A卷）學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名注：所有答題均須有詳細(xì)過(guò)程，內(nèi)容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無(wú)效。一、計(jì)算題（每小題6分，5題共30分）：1、設(shè)，，，求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。2、設(shè)，求行列式的值。3、設(shè)，試求一個(gè)非零向量，使兩兩正交。4、判定二次型的正定性。5、已知，求。二、解答題（每小題15分，2題共30分）：1、已知，且，其中是3階單位矩陣，(1)求矩陣；（2）令，計(jì)算的伴隨陣。2、已知，（1）求一個(gè)正交變換,把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。（2）在的條件下，求二次型的最大值和最小值。三、證明與討論（3題共40分）1、設(shè)有線性方程組,問(wèn)l取何值時(shí)，此方程組有惟一解、無(wú)解或有無(wú)窮多個(gè)解？并在有無(wú)窮多解時(shí)求出其通解。（15分）2、設(shè)三階陣有三個(gè)實(shí)特征值，且滿足，如果對(duì)應(yīng)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量和,對(duì)應(yīng)一個(gè)特征向量，證明線性無(wú)關(guān)。（10分）3、設(shè)，為實(shí)數(shù)，試討論為何值時(shí)，矩陣可與對(duì)角陣相似？（15分）線性代數(shù)D（即工科36學(xué)時(shí)）參考解答：一、計(jì)算下列各題：1、解：由及，則知即為一極大無(wú)關(guān)組。2、解：，，所以：。3、解：令得，取即可。4、解：的矩陣，順序主子式為，，，根據(jù)正定性的判定定理知為正定二次型。5、解：，則=。二、解答下列各題：1、解：(1)由，得，而因此矩陣可逆，且，所以由，得，故。（2）注意且＝＝＝，即。再注意＝，，則。2、解：（1），的特征多項(xiàng)式為令，得對(duì)解線性方程組基礎(chǔ)解系為：，正交規(guī)范化得：對(duì)解線性方程組，得基礎(chǔ)解系為：，規(guī)范化得：，則所求之一正交變換矩陣，變換之下的標(biāo)準(zhǔn)形為：。（2）由于正交變換保持向量的長(zhǎng)度不變，則，，注意：，則，即的最大值為1，最小值為。比如令，有令，有。三、證明題與討論題：1、解：通過(guò)對(duì)增廣陣的討論可得如下結(jié)論：(1)當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解；(2)當(dāng)時(shí)，，，該情形方程組無(wú)解；(3)當(dāng)時(shí),,此時(shí)方程組有無(wú)限多個(gè)解。而,，由此得，即，。2、證明：考慮使得（＊），則，即（＊＊），用乘以（＊）式，然后與（＊＊）式相減得，注意，有。再由（＊）式得，由于