四年級下數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程

四年級下期第一講加減混合運算的簡算例1計算：(1)3205＋8749－6749(2)9143－6287＋5287解：(1)觀察發(fā)現(xiàn),加數(shù)8749與減數(shù)6749的末三位數(shù)字相同,如果讓這兩個數(shù)先抵消一下,計算就會簡便。因為加數(shù)大減數(shù)小,抵消后的數(shù)還是加數(shù),所以3205＋8749－6749＝3205＋(8749－6749)＝3205＋2000＝5205(2)觀察發(fā)現(xiàn),減數(shù)6287與加數(shù)5287的末三位數(shù)字相同,如果讓這兩個數(shù)先抵消一下,計算就會簡便。因為減數(shù)大加數(shù)小,抵消后的數(shù)還是減數(shù),所以9143－6287＋5287＝9143－(6287－5287)＝6143－1000從上面兩題可以發(fā)現(xiàn)：加減混合運算,為了使計算簡便而需要添上括號時,如果在加號后面添上括號,括號里面的數(shù)不必改變運算符號；如果在減號后面添上括號,括號里面的數(shù)必須改變運算符號,由加變成減,由減變成加。簡單地說就是,在添上括號時：加號后面添括號,原來加減不變號；減號后面添括號,原來加減要變號。有時,為了使計算簡便,需要去掉括號,這條規(guī)那么可以反過來用。簡單地說就是,在去掉括號時：括號前面是加號,原來加減不變號；括號前面是減號,原來加減要變號。例2計算：(1)1524＋(3476－1584)(2)7369－(4369－1055)解：(1)1524＋(3476－1583)＝1524＋3476－1583＝5000－1583＝3417(2)7369－(4369－1055)＝7369－4369＋1055＝3000＋1055＝4055上面的例題，再一次印證了認(rèn)真觀察、善于思考的重要性，希望同學(xué)們能有意識、有目的地養(yǎng)成這種好習(xí)慣。練習(xí)一1.在○里填運算符號,在橫線上填數(shù)。(1)564－496＋196＝564－(○)(2)397＋748－548＝397＋(○)(3)843－567＋967＝843＋(○)(4)638＋293－593＝638－(○)2.用簡便方法計算下面各題。(1)9043－5678＋1678(2)5867＋4492－3492(3)6138－5476＋8476(4)3264＋2259－42593.在○里填運算符號,在橫線上填數(shù)。(1)374＋(526－312)＝374○○(2)824－(324＋158)＝824○○(3)579－(279－108)＝579○○(4)384＋(495＋216)＝384○○(5)607－(514－293)＝607○○4.用簡便方法計算下面各題。(1)9473－(6473－2815)(2)3642＋(5307－1642)(3)6382－(4143－2618)(4)4068＋(2932－1657)(5)9364－(5364＋2989)(6)1625＋(4268＋2375)第二講乘除混合運算的簡算例1計算：(1)312×56÷7(2)9600÷25÷4解：(1)算式的意義是把312先擴(kuò)大56倍再縮小7倍。如果把擴(kuò)大和縮小的倍數(shù)抵消一下,就相當(dāng)于把312直接擴(kuò)大56÷7＝8倍。312×56÷7＝312×(56÷7)＝312×8＝2496(2)算式的意義是把9600先縮小25倍,再縮小4倍。如果把縮小的過程合并成一次,相當(dāng)于縮小25×4倍,因為25×4＝100,一個數(shù)縮小100倍,只需從末尾去掉兩個0,計算就非常簡便。9600÷25÷4＝9600÷(25÷4)＝9600÷100＝96從上面兩題可以發(fā)現(xiàn),乘除混合運算,為了使計算簡便而需要添上括號時,如果在乘號后面添上括號,括號里面的數(shù)不必改變運算符號；如果在除號后面添上括號,括號里面的數(shù)必須改變運算符號,由乘變除,由除變乘。簡單地說就是,在添上括號時：乘號后面添括號,原來乘除不變號；除號后面添括號,原來乘除要變號。有時,為了使計算簡便,需要去掉括號,這條規(guī)那么可以反過來用。簡單地說就是,在去掉括號時：括號前面是乘號,原來乘除不變號；括號前面是除號,原來乘除要變號。例2計算。(1)25×(120÷75)(2)512÷(32÷15)解：(1)25×(120÷75)＝25×120÷75＝3000÷75＝40(2)512÷(32÷15)＝512÷32×15＝16×15＝240同學(xué)們一定會發(fā)現(xiàn),乘除混合運算添上或去掉括號的規(guī)那么,與加減混合運算的情況非常相似。只要稍作改變就可以一起記住。例3用簡便方法計算下面各題。68×269÷17(3)125÷16×8解：(1)算式的意義可以理解為,把68先擴(kuò)大269倍再縮小17倍。經(jīng)驗告訴我們:把一個數(shù)先擴(kuò)大再縮小或者先縮小再擴(kuò)大,結(jié)果是一樣的。但是,一般地說,把一個數(shù)先縮小再擴(kuò)大要比先擴(kuò)大再縮小好算一些。于是68×269÷17＝68÷17×269＝4×269＝1076(2)這道題雖然是把125先縮小再擴(kuò)大,符合計算方便的要求,但是125÷16有余數(shù),往下無法進(jìn)行。所以只好先擴(kuò)大再縮小。于是125÷16×80＝125×80÷16＝10000÷16＝625于是,我們得到一個非常有用的結(jié)論：乘、除連在一起,乘數(shù)和除數(shù)可以帶著運算符號交換位置。練習(xí)二帶“*〞的是選作題。1.在○里填運算符號,在橫線上填數(shù)。(1)564×36÷9＝564×(○)(2)427×63÷7＝427×(○)(3)320÷8÷4＝320÷(○)(4)248÷6×3＝248÷(○)2.用簡便方法計算下面各題。(1)423×18÷6(2)301×54÷9(3)840÷21÷2(4)656÷41÷83.在○里填運算符號,在橫線上填數(shù)。(1)16×(25÷4)＝16○○(2)96÷(16×2)＝96○○(3)79÷(79÷8)＝79○○(4)25×(4×37)＝25○○4.用簡便方法計算下面各題。(1)256÷(64÷15)(2)125×(32÷25)(3)780÷(26÷18)(4)375×(40÷75)(5)936÷(36×13)(6)625×(16×87)5.用簡便方法計算下面各題。51×399÷172700÷25÷2728×56÷7900÷36×4910×86÷137800×92÷269600÷25÷24225×56÷75800÷72×9011100÷25÷37800÷72×9011100÷25÷37*6.計算1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷(7÷8)。第三講求等差數(shù)的和例1計算123＋234＋345＋456＋567＋678。解：觀察發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個加數(shù)的差相等,都是111。這就啟發(fā)我們，如果根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律,先求出第一個加數(shù)與倒數(shù)第一個加數(shù)的和,第二個加數(shù)與倒數(shù)第二個加數(shù)的和,第三個加數(shù)與倒數(shù)第三個加數(shù)的和,那么3個和都相等。這樣一來,就可以用乘法代替加法,使計算簡便。123＋234＋345＋456＋567＋678＝(123＋678)＋(234＋567)＋(345＋456)＝801×3＝2403例2計算1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075。解：觀察發(fā)現(xiàn),相鄰兩個加數(shù)的差相等,都是5,一共有7個加數(shù)。中間的第四個加數(shù)1060,不僅是第三個加數(shù)與第五個加數(shù)的平均數(shù),也是第二個加數(shù)與第六個加數(shù)的平均數(shù),也是第一個加數(shù)與第七個加數(shù)的平均數(shù)。換句話說,所有7個加數(shù)的和等于第四個加數(shù)的7倍。于是,可以用乘法代替加法,使計算簡便。1045＋1050＋1055＋1060＋1065＋1070＋1075＝1060×7＝7420總結(jié)以上兩種情況,幾個數(shù)相加,當(dāng)相鄰兩個加數(shù)的差相等時,就可以用乘法代替加法,使計算簡便：(1)如果加數(shù)的個數(shù)是雙數(shù),可以用首尾兩個加數(shù)相加的和乘以加數(shù)個數(shù)的一半；(2)如果加數(shù)的個數(shù)是單數(shù),可以用中間那個加數(shù)乘以加數(shù)的個數(shù)。試試看：(1)1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＋22＝?(2)310＋320＋330＋340＋350＋360＋370＋380＋390＝?練習(xí)三1.用簡便方法計算下面各題。(1)1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17(2)992＋993＋994＋995＋996＋997＋998＋999(3)1960＋1970＋1980＋1990＋2000＋2023(4)111＋222＋333＋444＋555＋666＋777＋888＋999(5)987＋876＋765＋654＋543＋432＋3212.下面是一個“乘法三角形〞,第一行表示:一一得一；第二行表示:一二得二,二二得四；……認(rèn)真觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律,把每一橫行、從右上方到左下方每一斜行各數(shù)的和,填在相應(yīng)的括號里。1()24()369()481216()510152025()61218243036()7142128354248()816243240485664()91827364554637281()()()()()()()()()()3.游樂園有一座13層寶塔,每層檐角上都掛了一些風(fēng)鈴。從上到下分別是6只、12只、18只、……、72只、78只。這座寶塔一共有多少只風(fēng)鈴?4.小華看一本故事書。第一天看了10頁,從第二天起越看越快，每天都比前一天多看2頁,結(jié)果,只用5天就把這本書看完了。這本故事書有多少頁?*5.小明放學(xué)路過一條小巷,走著走著，他想檢驗一下自己的口算能力,于是，把一連10家的門牌號碼(從小到大)加了起來,得105。你知道他是從幾號開始加起的嗎?第四講解決問題(一)例1光華紡織廠,女職工的人數(shù)比男職工的3倍多102人,比男職工的4倍少75人,這個廠有男女職工各多少人?解：這里是把男職工的人數(shù)當(dāng)作一倍量,畫出線段圖男職工人數(shù)102人75人女職工人數(shù)男職工的3倍男職工的4倍可以看出102＋75＝177(人)就是男職工人數(shù)，女職工有177×3＋102＝633(人)，或，177×4－75＝633(人)。例2一個養(yǎng)羊?qū)I(yè)戶,飼養(yǎng)山羊65只,養(yǎng)的綿羊比山羊多130只,綿羊的只數(shù)是山羊的多少倍?解法一：先求出綿羊的只數(shù),再與山羊的只數(shù)比擬。把山羊的只數(shù)作為一倍,綿羊的只數(shù)里包含多少個山羊的只數(shù),綿羊就是山羊的多少倍。(65＋130)÷65＝195÷65＝3解法二：先求出綿羊比山羊多的那一局部是山羊的多少倍,再加上與山羊同樣多的那一倍,就是綿羊的只數(shù)是山羊的多少倍。130÷65＋1＝2＋1＝3練習(xí)四1.選擇算式填在括號里。(1)業(yè)余體校有籃球23個,排球比籃球的2倍多5個,排球比籃球多多少個?()(2)業(yè)余體校有籃球23個,排球比籃球的3倍多5個,再買多少個排球,排球就是籃球的4倍?()(3)業(yè)余體校有籃球23個,排球比籃球的3倍少5個,排球比籃球的2倍多多少個?()(4)業(yè)余體校有籃球23個,排球比籃球的3倍少2個,又買來5個排球,排球比籃球的3倍多多少個?()(23＋523－55＋35－35＋25＋2)2.同學(xué)們到游泳館學(xué)游泳。游泳池里男同學(xué)的人數(shù)比女同學(xué)的3倍多24人,比女同學(xué)的4倍少8人。游泳池里有男、女同學(xué)各多少人?3.一艘木船4小時航行76千米,一艘氣墊船2小時航行114千米,氣墊船的速度是木船的幾倍?4.時鮮果品店運來一批水果,其中,香蕉120千克,橘子的重量是香蕉的3倍。香蕉賣出了一些以后,橘子的重量變成了香蕉的5倍。賣出香蕉多少千克?5.公園里養(yǎng)了9只大猴子,比小猴子的只數(shù)少27只,小猴子的只數(shù)是大猴子的多少倍?(用兩種方法解)6.新華小學(xué)組織四年級同學(xué)，對學(xué)校附近居民擁有家電的情況進(jìn)行了一次調(diào)查,結(jié)果如下：252戶有彩電,36戶沒有彩電；72戶沒有洗衣機(jī),比有洗衣機(jī)的少144戶。(1)有彩電的戶數(shù)比沒有彩電的戶數(shù)多多少倍?(2)有洗衣機(jī)的戶數(shù)是沒有洗衣機(jī)的戶數(shù)的多少倍?第五講解決問題(二)例1一臺黑白電視機(jī)468元,彩色電視機(jī)的價錢比黑白電視機(jī)的5倍還貴180元。買一臺黑白電視機(jī)比買彩色電視機(jī)廉價多少元?解法一：先求出一臺彩色電視機(jī)的價錢，再拿黑白電視機(jī)的價錢和彩色電視機(jī)相比擬。468×5＋180－468＝2340＋180－468＝2052(元)解法二：畫出線段圖468元黑白電視機(jī)的價錢180元彩色電視機(jī)的價錢從圖上可以看出：彩色電視機(jī)的價錢比黑白電視機(jī)貴的局部,相當(dāng)于黑白電視機(jī)價錢的5－1＝4倍多180元。因此,不必求出彩色電視機(jī)的價錢,也能求出黑白電視機(jī)比彩色電視廉價多少元。468×(5－1)＋180＝468×4＋180＝2052(元)例2新華書店四月份售出兒童讀物12800本,比三月份多售出2200本。五月份售出的等于三、四兩個月售出總和的一半,五月份售出多少本?解法一：先求出三月份售出多少本，三、四兩個月一共售出多少本，再求五月份售出多少本。(12800－2200＋12800)÷2＝23400÷2＝11700(本)解法二：用線段圖表示出三、四月份售書本數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系12800本四月份售書本數(shù)三月份售書本數(shù)2200本從圖上可以看出：三、四月份售出的總數(shù)比四月份的2倍少2200本。因此,不必求出三月份售出多少本,可以先直接求出三、四月份售出的總數(shù),再求出五月份售出多少本。(12800×2－2200)÷2＝23400÷2＝11700(本)練習(xí)五1.畜牧場養(yǎng)了兩種羊,黑羊1048只,白羊的只數(shù)比黑羊的3倍少59只。白羊比黑羊多多少只?(用兩種方法解)2.服裝廠去年上半年生產(chǎn)童裝1054箱,下半年生產(chǎn)的童裝比上半年的2倍還多98箱,下半年比上半年多生產(chǎn)多少箱?3.果園里有桃樹204棵,梨樹的棵數(shù)比桃樹的3倍少57棵,兩種果數(shù)共有多少棵?4.學(xué)校圖書室有科技書430本,故事書的本數(shù)是科技書的3倍,但是比連環(huán)畫還少79本。連環(huán)畫比科技書多多少本?5.水果店上午賣出桔子15筐,下午賣出的比上午的2倍少4筐。每筐桔子25千克,每千克售價2元,一共賣了多少錢?6.和平路小學(xué)有學(xué)生1250人,幸福路小學(xué)的學(xué)生人數(shù)比和平路小學(xué)多548人,健康路小學(xué)的學(xué)生人數(shù)等于這兩所小學(xué)總?cè)藬?shù)的一半,健康路小學(xué)有學(xué)生多少人?(用兩種方法解)第六講雞免同籠問題例1籠子里關(guān)著雞和兔子一共36只,一共100只腳,雞和兔子各多少只?解：這就是有名的“雞兔同籠問題〞,解答這類問題，通常采用“假設(shè)法〞。解法一：假設(shè)全都是雞,應(yīng)該有2×36＝72(只)腳,比實際少了100－72＝28(只)腳。用一只兔子換一只雞,可以增加4－2＝2(只)腳。增加28只腳，需要換28÷2＝14(只)兔子，也就是說實際有12只兔子,其余的36－14＝22(只)是雞。解法二：假設(shè)全都是兔子,應(yīng)該有4×36＝144(只)腳,比實際多了144－100＝44(只)腳。用一只雞換一只兔子,可以減少4－2＝2(只)腳。減少44只腳，需要換44÷2＝22(只)雞，也就是說實際有22只雞,其余的36－22＝14(只)是兔子。在我國古代，解這類雞兔同籠問題，采用一種非常特殊的方法，它的特別之處在于，腳不用“只〞而用“雙〞做單位。古人是這樣想的：免子有2雙腳,雞有1雙腳，1只兔子比1只雞多1雙腳?，F(xiàn)在共有50雙腳,比頭數(shù)多14,說明有14只兔子,其余的36－14＝22(只)自然是雞。這種方法真是妙不可言。瞧，咱們的老祖宗有多聰明！例2一次考試共有10道題,評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一題得3分；答錯一題扣2分；不能不答。小明得了15分,他一共答對了幾道題?解：可以這樣想：假設(shè)10道題全都答對了,應(yīng)該得3×10＝30(分),答錯一題不僅不能得分還要扣分,等于少得3＋2＝5(分),小明少得了30－15＝15(分),說明答錯了15÷5＝3(道),答對了10－3＝7(道)。練習(xí)六1．籠子里共有雞和兔子51只，共有腳172只，雞和兔子各多少只？2.廣場上停了16輛自行車和三輪車,兩種車共有38個輪子,有幾輛自行車,幾兩三輪車?3.張老師帶同學(xué)們到游樂場去玩,買了20張門票，一共用了76元。門票有兩種,甲種票每張5元,乙種票每張3元,兩種票各買了多少張?4.搬運站給客戶運250箱玻璃,商定每箱運費20元,如果損壞一箱,不僅不付運費,還要賠償100元。結(jié)果共得運費4400元,損壞了幾箱?5.一次知識競賽,共20題,答對一題得10分,答錯一題扣5分,不答不得分也不扣分。小英得了155分,她答對了幾題?答錯了幾題?*6.松鼠媽媽采松子,晴天每天采20個,雨天每天采12個,它一共采了112個松子,平均每天采14個,這些天當(dāng)中有幾天下雨?第七講找規(guī)律例1先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。(1)2，5,11,23,47，()，〔〕；(2)13，16,18,31,23,46，()，()；(3)8,15，11,13，15,10，20，6，()，()；(4)8,3，9,4，10,5，()，()。解：(1)觀察發(fā)現(xiàn)：后項＝前項×2＋1。應(yīng)該填47×2＋1＝95，95×2＋1＝191。(2)觀察發(fā)現(xiàn)：單數(shù)項依次加5，應(yīng)該填23＋5＝28；雙數(shù)項依次加15，46＋15＝61。(3)觀察發(fā)現(xiàn)：單數(shù)項依次加3、4、5，應(yīng)該填20＋6＝26；雙數(shù)項依次減2、3、4，應(yīng)該填6－5＝1。(4)觀察發(fā)現(xiàn)：逐項依次減5，加6，應(yīng)該填5＋6＝11,11－5＝6，例2下面的數(shù)是由自然數(shù)1、2、3、……排列而成的，第10行最左邊的數(shù)是多少？最右邊的數(shù)是多少？1345678910111213141516171819202122232425……解：這道題實際上是求數(shù)列1,2，5,10,17，…和數(shù)列1,4，9,16,25，…的第10個數(shù)分別是多少。在數(shù)列1,2，5,10,17，…中，相鄰兩個數(shù)的差依次為1,3，5,7，…第10個數(shù)是1＋1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＝1＋(1＋17)×9÷2＝82。在數(shù)列1,4,9,16,25，…中，第幾個數(shù)等于幾自乘的積，第10個數(shù)是10×10＝100。練習(xí)七帶“☆〞的是往屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題。1．找出下面各數(shù)列的規(guī)律，并按所找到的規(guī)律在括號里填上適宜的數(shù)。(1)25,3，22,3，19,3，()，()；(2)8,1，10,2，12,3，()，()；(3)12,14,17,21,26，()，()；(4)1,3，9,27,81，()，()；(5)1,2，5,4，9,6，13,8，()，()；(6)8，15,29,57，()，()；(7)2,3，5,9，17，()，()；(8)2,3，8,8，14,13,20，()，()。2．找出下面數(shù)表的規(guī)律，然后再接下去寫兩行，并把每行各數(shù)的和填在右邊的括號里。1()11()121()1331()14641()()()3．找出下面算式的規(guī)律，再計算1＋2＋3＋…＋1999＋2000＋1999＋…＋3＋2＋1＝()1＋2＋1＝41＋2＋3＋2＋1＝91＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝161＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝254．找出下面算式的規(guī)律，再求出1＋3＋5＋…＋99＝()1＝11＋3＝41＋3＋5＝91＋3＋5＋7＝165．一只母雞生蛋很有規(guī)律，總是連著兩天每天生一個蛋，然后就要歇一天?！拔濉ひ花暪?jié)這天沒有生蛋，那么五月份一共生了()個蛋。☆6.下面三個方框內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律,請你找出它們的規(guī)律,先確定B、C,再確定A,那么A是多少？91202A32334BC第八講數(shù)正方形例1圖中有多少個正方形？解：圖中有許多大大小小的正方形。為了在數(shù)的時候做到既不重復(fù)又不遺漏，最好先分類，再一類一類地數(shù)。(1)由兩個小三角形組成的最小的正方形有8個；(2)由4個小三角形組成的稍大一些的正方形有4個；(3)由4個小正方形組成的更大一些的正方形有3個；(4)由16個小三角形組成的最大的正方形只有1個。所以，圖中共有8＋4＋3＋1＝16(個)正方形。例2圖中有多少個正方形?解：圖中的小正方形共有4行，每行有4個。這些小正方形可以組成許多更大的正方形，仍然按照從小到大的順序來數(shù)：(1)小正方形有4×4個；(2)由4個小正方形組成的正方形有3×3個；(3)由9個小正方形組成的正方形有2×2個；(4)由16個小正方形組成的正方形有1個。共有16＋9＋4＋1＝30(個)。由此猜測：假設(shè)中的小正方形共有5行，每行5個，是不是總共有5×5＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1個正方形呢？小正方形共有6行，每行6個，是不是總共有6×6＋5×5＋4×4＋3×3＋2×2＋1×1個正方形呢？要是7行，每行7個呢？……請你驗證一下好嗎？你是否發(fā)現(xiàn)了這樣一個規(guī)律：如果圖中的小正方形共有n行，每行有n個，計算正方形的總數(shù)，可以從n×n開始，然后每個因數(shù)都逐次減1，直到1×1為止，再把這些積相加。例3圖中有多少個正方形？解：圖中的小正方形共有4行，每行7個。這些正方形可以分為4類：1×1的、2×2的、3×3的、4×4的。分別有：(1)1×1的正方形有4×7＝28(個)；(2)2×2的正方形有3×6＝18(個)；(3)3×3的正方形有2×5＝10(個)；(4)4×4的正方形有1×4＝4(個)。共有4×7＋3×6＋2×5＋1×4＝28＋18＋10＋4＝70(個)。這就再次觸發(fā)我們的猜測：如果圖中的小正方形共有m行，每行n個，計算正方形的總數(shù)，是不是可以從m×n開始，然后每個因數(shù)都逐次減1，直到有一個因數(shù)出現(xiàn)1為止，再把這些積相加就行了呢？請你給m、n設(shè)一些不同的數(shù)，驗證一下好嗎？練習(xí)八1.下面3個圖形中各有多少個正方形？2．左下列圖中有多少個正方形？3．右上圖中有多少個正方形？4．右圖是一個黑白相間的8×8國際象棋盤，其中有許多正方形，在這些正方形中,黑白格子各占一半的正方形有多少個？第九講乘法分配律的妙用運用乘法分配律有時會使復(fù)雜的計算變得非常簡單。乘法分配律的運用巧妙、靈活,處處閃耀著智慧的光輝。例1計算72×126＝？解：我們以前做過72×125這樣的題目,是把72變成9×8,然后讓8和125相乘。這就啟發(fā)我們,可以把126先變成125＋1。于是72×126＝72×(125＋1)＝72×125＋72＝8×9×125＋72＝9×(8×125)＋72＝9×1000＋72＝9000＋72＝9072。當(dāng)然，上面寫的是全部思考過程，其中許多步驟都是可以省略的。例2計算999×999＋1999＝？解：算式中999×999是求999個999的和,觀察發(fā)現(xiàn),還有1個999隱藏在后面的加數(shù)1999里面。于是999×999＋1999＝999×999＋999＋1000＝999×(999＋1)＋1000＝999×1000＋1000＝(999＋1)×1000＝1000×1000＝1000000。例3計算49×16＋17×48＝？解：運用乘法分配律的條件是：兩個積必須有一個相同的因數(shù)。這里的兩個積中,49和17不可能成為相同的因數(shù),只有寄希望于16和48。觀察發(fā)現(xiàn),48＝16×3,其中有一個因數(shù)是16，這正是我們所要找的。于是49×16＋17×48＝49×16＋17×(16×3)＝49×16＋(17×3)×16＝49×16＋51×16＝(49＋51)×16＝100×16＝1600。練習(xí)九1.用乘法分配律使下面的計算變得簡便。(1)172×108－172×873×26＋73×75－73(2)125×88404×25(3)48×2548×2648×24(4)56×12556×12656×1242.用簡便方法計算下面各題。4×(25×26＋25×174)(2)264×97＋264×4(3)37×15＋21×45(4)94×18－21×72(5)72×24＋15×28＋9×28(6)11×9×11＋11×11(7)235×27＋86×235－235×13(8)99＋11×11－11×19☆3.計算：19961997×19971996－19961996×19971997＝___________。第十講除法各局部的關(guān)系在四那么運算中，除法的計算最為復(fù)雜，并且，除法還與分?jǐn)?shù)的關(guān)系非常密切，因此，為了給以后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)打好根底，弄去除法各局部之間的關(guān)系就顯得十分必要。被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之間存在以下關(guān)系：在沒有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝商×除數(shù)。在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)。例1兩個數(shù)相除,商8余16,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是463。被除數(shù)和除數(shù)各是多少?解：先從463里面減去商8和余數(shù)16,得463－8－16＝439,439就是被除數(shù)與除數(shù)的和。而“被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)〞,也就是說,被除數(shù)等于“除數(shù)的8倍〞與“余數(shù)〞的和,所以,如果從439里面再減去一次余數(shù)16,剩下的439－16＝423里面就只有“除數(shù)的8倍〞和“除數(shù)〞,也就是除數(shù)的8＋1＝9倍,于是,除數(shù)是423÷9＝47。被除數(shù)是8×47＋16＝392。答：被除數(shù)是392，除數(shù)是47。例2兩個數(shù)相除，商9余4。如果被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大3倍，那么被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和等于2583。原來的被除數(shù)、除數(shù)各是多少？解：被除數(shù)、除數(shù)都擴(kuò)大3倍以后，商不變?nèi)匀皇?，而余數(shù)相應(yīng)地也擴(kuò)大了3倍，變成4×3＝12，所以，擴(kuò)大后的被除數(shù)、除數(shù)之和是2583－9－12＝2562，于是，原來的被除數(shù)、除數(shù)之和是2562÷3＝854。因為原來的商是9，余數(shù)是4，說明原來的被除數(shù)比除數(shù)的9倍多4，所以，原來的除數(shù)是(854－4)÷(9＋1)＝85，被除數(shù)是854－85＝769。答：被除數(shù)是796，除數(shù)是85。因為除法和乘法是互逆關(guān)系，所以，有些由乘法產(chǎn)生的問題也要用除法來解決。例3小馬在計算兩個整數(shù)相乘時，錯把一個因數(shù)個位上的5看成了8，算出的積是5632；小虎錯把同一個因數(shù)十位上的8看成了6，算出的積是4160。這道題正確的積應(yīng)該是多少？解：對于同一個因數(shù)，小虎比小馬少算了(80－60)＋(8－5)＝23，因此積少算了5632－4160＝1472，說明那個正確的因數(shù)是1472÷23＝64。所以小馬把另一個因數(shù)錯當(dāng)成5632÷64＝88，可見，另一個因數(shù)是85，這道題正確的積應(yīng)該是64×85＝5440。答：這道題正確的積應(yīng)該是5440。練習(xí)十1．一個數(shù)除以最大的三位數(shù),商比除數(shù)多1,余數(shù)比除數(shù)少1，這個數(shù)是多少？2．一個整數(shù)除法算式的商是236,余數(shù)是47,被除數(shù)最小是多少?3.兩個數(shù)相除,商9余24,被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是787。被除數(shù)是多少?4.一個數(shù)除以10，商比被除數(shù)小567沒有余數(shù)。這個數(shù)是多少？*5.小明在計算一道加法式題時,沒有認(rèn)真審題，把加號當(dāng)成除號了,結(jié)果，除得的商和余數(shù)都是18。如果這道題的正確得數(shù)是531,那么這兩個加數(shù)各是多少?☆6.兩數(shù)相除，商4余8，被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)、余數(shù)四數(shù)等于415，那么被除數(shù)是多少？第十一講三角形與角(一)例1我們偉大祖國的國旗是五星紅旗。在中國少年先鋒隊隊旗上也有一顆耀眼的五角星。如果不用量角器，你能算出五角星的一個角是多少度嗎？解：觀察發(fā)現(xiàn)，五角星的中心是一個正五邊形。我們知道，一個n邊形可以分成n－2個三角形，而無論什么樣的三角形，內(nèi)角和都是180°，所以，n邊形的內(nèi)角和等于180×(n－2)度。通常，把邊和角分別相等的多邊形叫做正多邊形。因為正n邊形的內(nèi)角和等于180×(n－2)度，所以，它的一個內(nèi)角等于180×(n－2)÷n度。五角星的中心是一個正五邊形，于是它的一個內(nèi)角是180×(5－2)÷5＝108度。五角星的每個角都是一個等腰三角形的頂角，而這個等腰三角形的一個底角是180o－108o＝72o，所以五角星的一個角是180o－72o×2＝36o。例2如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACD＝120o，∠AEB＝()o。解：通常，把∠ACD這樣的角稱為三角形的外角。因為∠ACD與∠ACB的和等于180o，而三角形ABC的三個內(nèi)角的和也等于180o，所以∠ACD＝∠BAC＋∠ABC，也就是是說，三角形的一個外角，等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。這是三角形中一個非常重要的數(shù)量關(guān)系。因此，∠BAC＋∠ABC＝∠ACD＝120o。又因為∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以，∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即，∠1與∠3的和等于∠BAC與∠ABC的和的一半，是120o÷2＝60o。在三角形AEB中，∠AEB＋∠1＋∠3＝180o，所以，∠AEB＝180o－(∠1＋∠3)＝180o－60o＝120o。練習(xí)十一1．菱形(圖1)的內(nèi)角和是多少度？常見的六角形螺絲帽(圖2)的一個角是多少度？正十邊形的一個角是多少度？(圖1)(圖2)2.左下列圖中∠1、∠2、∠3一共是多少度?125213433．右上圖中∠1、∠2、∠3、∠4、∠5一共是多少度?4．如圖，∠BAC＝20°,∠BDE＝60°,∠DEC＝25°,求∠ACE。ABCDE5.圖中∠ADE＝90°,∠A＝45°,∠C＝25°,∠AFB＝？ADEBFC6．如圖，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝100°，那么∠A＝？第十二講三角形與角(二)例1下列圖是一個五角星形。連接A、B、C、D、E,得到一個正五邊形,這個正五邊形中，一共有多少個三角形?其中銳角三角形、鈍角三角形、等腰三角形各有多少個?解：(1)與△ABE相同的有5個；(2)與△ABG相同的有5個；(3)與△AGF相同的有5個；(4)與△ABF相同的有5個；(5)與△AGE相同的有5個；(6)與△ACD相同的有5個；(7)與△BIE相同的有5個?？偣灿?×7＝35(個)三角形。其中：(1)與△ABE、△ABG、△BIE相同的15個是鈍角三角形；(2)與△AGF、△ABF、△AGE、△ACD相同的20個是銳角三角形。在這35個三角形中,除了與△ABF、△AGE相同的10個不是等腰三角形以外,其余25個都是等腰三角形。答：圖中一共有35個三角形，其中有20個銳角三角形，15個鈍角三角形，25個等腰三角形?例2圖中ABCD是正方形，EBC是正三角形，∠EAD＝？ADEBC解：因為EBC是正三角形，所以∠EBC＝60°，∠ABE＝90D°－60°＝30°。因為AB＝BE，ABE是等腰三角形，所以∠BEA＝(180°－30°)÷2＝75°，于是，∠EAD＝90°－75°＝15°。練習(xí)十二1．一個等腰三角形,頂角是70°,它的一個底角是多少度？2．一個直角三角形，兩個銳角相差12°，這兩個銳角分別是多少度？3．下列圖是由一個正方形ABCD和一個正三角形CDF組成的，那么，∠AFB是多少度？ADFBC4．如圖，在三角形ABC中，BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠BAC＝。ABDEC5．圖中有兩個三角形?！?＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝50°，∠D是多少度？(第十屆“中原之星〞數(shù)學(xué)競賽題)6．圖中的∠1是多少度？(第七屆“中原之星〞數(shù)學(xué)競賽題)第十三講小數(shù)和小數(shù)加減法例1計算5.5＋5.6＋5.7＋…＋7.3＋7.4。解：觀察發(fā)現(xiàn)：相鄰兩個加數(shù)的差都是0.1，因此，這些加數(shù)是等差數(shù)。因為首尾兩個加數(shù)相差7.4－5.5＝1.9，而1.9里面含有19個0.1，所以總共有19＋1＝20個加數(shù)。根據(jù)求等差數(shù)的和的方法，5.5＋5.6＋5.7＋…＝(5.5＋7.4)×10×10(根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)，只需把小數(shù)點向右移動一位。)＝129。例2小華儲蓄了元,買練習(xí)本用去元,爸爸又給他10元,他現(xiàn)在有多少錢?解法一：買練習(xí)本以后還有－＝20.6(元),爸爸給他錢以后他總共有＋10＝30.6(元)。解法二：如果爸爸先把錢給他,他總共有＋10＝38.5(元),買練習(xí)本以后還剩－＝30.6(元)。解法三：如果買練習(xí)本用的是爸爸給的錢,能剩10－＝2.1(元),連原有的儲蓄總共有＋＝30.6(元)。你喜歡用哪種解法?練習(xí)十三1.在○里填運算符號,在橫線上填適當(dāng)?shù)臄?shù),使等式成立。7.8○＝78010.78○＝0.47○＝6.4○＝＝41.5○100＝0.01○○100＝○10＝2.小數(shù)加減法的運算性質(zhì)與整數(shù)加減法完全相同。你能像計算整數(shù)加減法那樣，用簡便方法計算下面各題嗎？(1)＋－(3)－＋－＋－(5)＋－－＋15.3)(7)＋＋3.28)＋－5.04)3.一只籃球元,足球比籃球廉價元,比排球貴元,一只排球多少元?4.甲乙二人買同一種雜志,甲買一本差2.80元,乙買一本差2.60元,而他們的錢合起來買一本還剩2.60元。這種雜志每本多少元?5.媽媽買來一塊布，給小明做褲子用了米,做上衣比褲子少用6米,還剩下米,這塊布全長多少米?6.計算1991＋＋＋＝？第十四講趣味數(shù)學(xué)題1．圖中有11個小黑點和1個大黑點。如果從一個小黑點開始，按順時針方向數(shù)到200，正好是大黑點，你能指出是從哪個小黑點數(shù)起的嗎？2．下列圖是用火柴擺成的圖形。要求：拿掉2根火柴，使圖形變成兩個正方形；移動3根火柴，使圖形變成3個正方形；移動4根火柴，使圖形變成3個正方形。你能做到嗎？畫圖表示出來。3．你能用只1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)字和一些加號，使計算結(jié)果等于100嗎？4．把下面這張方格圖，沿格子線分成形狀相同大小相等的兩塊。據(jù)說，德國著名數(shù)學(xué)家高斯，七歲的時候就找到了6種不同的分法。你也來分分試試好嗎？把你找到的分法畫在下面：5．啤酒店規(guī)定3個空啤酒瓶可以換1瓶啤酒。如果買10瓶啤酒，按照這個規(guī)定最多可以喝到多少瓶啤酒？6．在一個正方體木塊的六個面上，分別寫著1、2、3、4、5、6六個數(shù)，并且相對的兩個面上的數(shù)之和都是7。如圖，按箭頭方向翻動木塊，當(dāng)翻動到最后一格時，木塊上面的數(shù)是幾？第十五講考考你自己填空。(1)2.08是由()個百分之一組成的。2.填空。(1)兩條直線相交形成四個角,其中一個角是30°,另外三個角分別是(°)、(°)、(°)。(2)4:00的時候,鐘面上時針與分針?biāo)傻慕鞘?°)。在圓圈里填上適當(dāng)?shù)倪\算符號,使計算簡便。5384－3196＋2196＝5384○(3196○2196)4.在圓圈里填上適當(dāng)?shù)倪\算符號,在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使計算簡便。7200×49÷36＝7200○○5.在圓圈里填上適當(dāng)?shù)倪\算符號,在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù),使計算簡便。－－＋＝(○)○(○)6.用12除24與36的積,商比50多多少？7.體育用品商店有一種運動服,上衣48.5元,比褲子貴8.5元。買一套這樣的運動服,付給售貨員100元,應(yīng)該找回多少元?8.一個數(shù)分別與18和15相乘,所得的兩個積相差36,這個數(shù)是多少?9.有一批畫片,平均分給10個同學(xué),每人可以分6張,后來又增加了幾個同學(xué),這樣一來,每人只能分5張,增加了幾個同學(xué)?10.有一盒火柴,從中取出了10次,分別是1根、3根、5根、7根、9根、11根、13根、15根、17根、19根,恰好取完。這盒火柴共有多少根?參考答案第一講加減混合式題的簡算(略)第二講乘除混合式題的簡算1．至5.(略)。*6.原式＝1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8＝1÷2×8＝1×8÷2＝4第三講求等差數(shù)的和1．2.(略)。3.總層數(shù)13是單數(shù)，中間的那層是第7層，有7×6＝42(個)風(fēng)鈴。4．第三天看了10＋2×2＝14(頁)，這本故事書有14×5＝70(頁)。*5.10是雙數(shù)，第1家與第10家門牌號數(shù)的和是105÷(10÷2)＝21。第10家的門牌號數(shù)比第1家大9，如果把第10家的門牌號數(shù)減9，這兩家的門牌號數(shù)的和21－9＝12，就是第1家門牌號數(shù)的2倍，所以他是從12÷2＝6號加起的。第四講解決問題(一)1.(1)23＋5。(2)23－5。(3)23－5。(4)5－2。2.女同學(xué)24＋8＝32(人)，男同學(xué)32×3＋24＝120(人)。3.114÷2÷(76÷4)＝3倍。4.120－120×3÷5＝48(千克)。5．解法一：(9＋27)÷9＝4倍。解法二：27÷9＋1＝4倍。6.(1)252÷36－1＝6倍。(2)144÷72＋1＝3倍。第五講解決問題(二)1．解法一：1048×3－59－1048＝2037(只)。解法二：1048×(3－1)－59＝2037(只)。2.1054＋98＝1152(箱)。3.204×(3＋1)－57＝759(棵)。4.430×(3－1)＋79＝939(本)。5.2×25×[15×(1＋2)－4]＝2050(元)。6.解法一：(1250＋1250＋548)÷2＝1524(人)。解法二：(1250×2＋548)÷2＝1524(人)。第六講雞兔同籠問題1．雞16只，兔子35只。2．自行車：(3×16－38)÷(3－2)＝10(輛)。三輪車：(38－2×16)÷(3－2)＝6(輛)。3．甲種票：(76－3×20)÷(5－3)＝8(張)。乙種票：(5×20－76)÷(5－3)＝12(張)。4．(250×20－4400)÷(20＋100)＝5(箱)。5、錯了(20×10－155)÷(10＋5)＝3(題)，對了20－3＝17(題)。*6.112÷14＝8(天)，如果這8天全是晴天，應(yīng)該采20×8＝160(個)，實際少采160－112＝48(個)，雨天比晴天少采20－12＝8(個)，這些天中有48÷8＝6(天)下雨。第七講找規(guī)律1．(1)16,3；(2)14,4；(3)32,37；(4)243,729；(5)17,10；(6)113,225；(7)33,65；(8)18,26。2．(略)。3.2000×2000＝4000000。4.50×50＝2500。5.2007年是平年，365÷3＝121……2，前3×121＝363(天)生2×121＝242(個)蛋，最后兩天，第一天不生蛋，第二天生1個蛋，全年一共生242＋1＝243(個)蛋。☆6.前兩個方框中,右上角、左下角、右下角三個數(shù)都是連續(xù)自然數(shù),所以B是4,C是5。前兩個方框中,左上角的數(shù)都等于右上角與左下角兩個數(shù)的和乘右下角的數(shù)所得的積,所以C＝(3＋4)×5＝60。第八講數(shù)正方形1．10、18、15。2．385個。3．130個。4．邊