橢圓和雙曲線綜合

橢圓和雙曲線綜合練習(xí)卷1.設(shè)橢圓，雙曲線，（其中）的離心率分別為，則（）A．B．C．D．與1大小不確定【答案】，，所以，故選B.2.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【答案】C設(shè)在漸近線上，直線方程為，由，得，即，由，得，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，化簡(jiǎn)得，．故選C．3.已知，若圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A由圓及雙曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)，即時(shí)，圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則離心率，故選A．4.為雙曲線的漸近線位于第一象限上的一點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線左焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為（）A．B．C．D．【答案】A由題意，知，，，漸近線方程為，所以不妨令，則有，解得，所以，所以點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為，故選A．5.設(shè)分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值為（）A.B.C.D.【答案】B由橢圓與雙曲線的定理，可知，所以，，因?yàn)椋?，即，即，因?yàn)椋?，故選B．6.若圓與雙曲線的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（）A．B．C．2D．【答案】A由題意得，選A.7.已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【答案】C直線方程為，即，由題意，變形為，∵，∴，．故選C．8.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則的周長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】D易知，所以軸，，，又，所以周長(zhǎng)為．9.若點(diǎn)F1、F2分別為橢圓C:的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則△PF1F2的重心G的軌跡方程為（）A． B．C． D．【答案】C10.過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|＝4，則滿足條件的直線l有（）A．4條B．3條C．2條D．無(wú)數(shù)條【答案】B∵雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，∴過(guò)拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4，當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，有，∴，∴直線AB的長(zhǎng)度是4，綜上可知有三條直線滿足|AB|=4，故選B．11.在區(qū)間和內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為和，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為（）A．B．C．D．【答案】B因?yàn)榉匠瘫硎倦x心率小于的雙曲線，.它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為：,故選B.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線的離心率為，若雙曲線上一點(diǎn)使，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B由雙曲線方程得，由雙曲線定義得，因?yàn)?，所以由正弦定理得，可解得，由知，根?jù)余弦定理可知，，故選B.13.已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C設(shè)，則，由題意有，所以所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，故選C.14.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是 （）A． B． C． D．【答案】B15.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C16.過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（）A．10B．13C．16D．19【答案】B【解析】如圖所示，根據(jù)切線，可有，，所以最小值為.17.過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線（）A．存在一條,且方程為 B．存在無(wú)數(shù)條C．存在兩條,方程為 D．不存在答案：D18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是________．【答案】[2，＋∞)19.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【解析】設(shè)，則，所以20.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是圓與位于軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為______________．【答案】【解析】由雙曲線定義得，因?yàn)?，所以，再利用余弦定理得，化?jiǎn)得21.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為__________.【答案】【解析】由雙曲線定義可知，故，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為.22.如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足,設(shè),且,則該雙曲線離心率的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)是左焦點(diǎn)，由對(duì)稱性得，設(shè)，，則，又，因?yàn)?，，又，則．又，，∴，，再由，得，即．23.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為正常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；②雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④和定點(diǎn)及定直線的距離之比為的點(diǎn)的軌跡方程為．其中真命題的序號(hào)為_______【答案】②③【解析】①中需要對(duì)的取值范圍加以限定；②中有公式可知兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)分別是；③中方程的兩個(gè)根分別是和；④中直線的方程應(yīng)該是；故答案為②③.24.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為.設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，則該橢圓離心率的取值范圍為【答案】25.過(guò)點(diǎn)作一直線與橢圓相交于A．B兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為弦的中點(diǎn)，則所在直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)，分別代入橢圓的方程中，可得：①②，由①-②可得，，因?yàn)辄c(diǎn)是弦的中點(diǎn)，∴，∴=，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（1,1），所以直線的方程為，即.26.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2eq\r(3).（1）求橢圓C的焦距；（2）如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求橢圓C的方程．解：(1)設(shè)焦距為2c，則F1(－c,0)F2(c,0)∵kl＝tan60°＝eq\r(3)∴l(xiāng)的方程為y＝eq\r(3)(x－c)即：eq\r(3)x－y－eq\r(3)c＝0∵f1到直線l的距離為2eq\r(3)∴eq\f(|－\r(3)c－\r(3)c|,(\r(3))2＋(－1)2)＝eq\f(2\r(3)c,2)＝eq\r(3)c＝2eq\r(3)∴c＝2∴橢圓C的焦距為4(2)設(shè)A(x1，y1)B(x2，y)由題可知y1＜0，y2＞0直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)(x－2),\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b2(a2－4)＝0由韋達(dá)定理可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝\f(4\r(3)b2,3a＋b2)①,y1，y2＝\f(－3b2(a2－4),3a2＋b2)②))∵eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))∴－y1＝2y2，代入①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－y2＝－\f(4\r(3)b2,3a2＋b2)③,－2y\o\al(2,2)＝\f(－3b2(a2－4),3a2＋b2)④))eq\f(③2,④)得eq\f(1,2)＝eq\f(48b4,(3a2＋b2)2)·eq\f(3a2＋b2,3b2(a2－4))＝eq\f(16b2,(3a2＋b2)(a－4))⑤又a2＝b2＋4⑥由⑤⑥解得a2＝9b2＝5∴橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝127.已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,虛軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)（均異于左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn),求證：直線過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）試題解析：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知得又,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè),聯(lián)立,得,有,,以為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn),,即,,解得或.當(dāng)時(shí),的方程為,直線過(guò)定點(diǎn),與已知矛盾；當(dāng)時(shí),的方程為,直線過(guò)定點(diǎn),經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件,所以直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.28.已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋eq\f(1,2)對(duì)稱．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．解(1)由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為y＝－eq\f(1,m)x＋b.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1，,y＝－\f(1,m)x＋b，))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,m2)))x2－eq\f(2b,m)x＋b2－1＝0.因?yàn)橹本€y＝－eq\f(1,m)x＋b與橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ＝－2b2＋2＋eq\f(4,m2)>0，①設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2mb,m2＋2)，\f(m2b,m2＋2)))，代入直線方程y＝mx＋eq\f(1,2)解得b＝－eq\f(m2＋2,2m2).②由①②得m<－eq\f(\r(6),3)或m>eq\f(\r(6),3).(2)令t＝eq\f(1,m)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))，則|AB|＝eq\r(t2＋1)·eq\f(\r(－2t4＋2t2＋\f(3,2)),t2＋\f(1,2))，且O到直線AB的距離d＝eq\f(t2＋\f(1,2),\r(t2＋1)).設(shè)△AOB的面積為S(t)，所以S(t)＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(1,2)))2＋2)≤eq\f(\r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)t2＝eq\f(1,2)時(shí)，等號(hào)成立．故△AOB面積的最大值為eq\f(\r(2),2).29.已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.【答案】(I)；(II)；(=3\*ROMANIII).【解析】(I)由已知有，又由，可得，，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為(=3\*ROMANIII)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是30.已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為．（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)