高中數(shù)學(xué)排列組合的應(yīng)用-課件

排列組合的應(yīng)用2021/5/91一、掌握優(yōu)先處理元素（位置）法二、掌握捆綁法三、掌握插空法四、隔板法五、分組分配問題：1、是否均勻；2、是否有組別。學(xué)習(xí)目標(biāo):2021/5/92復(fù)習(xí)引入：1、什么叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列？從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.從n個不同的元素中取出m（m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù).用符號表示2、什么叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)？3、排列數(shù)的兩個公式是什么？（n，m∈N*，m≤n）2021/5/93組合定義：一般地說，從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。組合數(shù)公式：組合數(shù)的兩個性質(zhì):（1）（2）2021/5/94例1：（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？分析：問題可以看作7個元素的全排列.（2）7位同學(xué)站成兩排(前3后4)，共有多少種不同的排法？分析:根據(jù)分步計數(shù)原理（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？分析:可看作甲固定,其余全排列2021/5/95（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解:將問題分步第一步:甲乙站兩端有種第二步:其余5名同學(xué)全排列有種答：共有2400種不同的排列方法。2021/5/96（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一:(特殊位置法)第一步:從其余5位同學(xué)中找2人站排頭和排尾,有種;第二步:剩下的全排列,有種;答：共有2400種不同的排列方法。2021/5/97解法二:(特殊元素法)第一步:將甲乙安排在除排頭和排尾的5個位置中的兩個位置上,有種;第二步:其余同學(xué)全排列,有種;答：共有2400種不同的排列方法。2021/5/98解法三:(排除法)先全排列有種,其中甲或乙站排頭有種,甲或乙站排尾的有種,甲乙分別站在排頭和排尾的有種.答：共有2400種不同的排列方法。2021/5/99優(yōu)限法:對于“在”與“不在”等類似有限制條件的排列問題,常常使用“直接法”(主要為“特殊位置法”和“特殊元素法”)或者“排除法”,即優(yōu)先考慮限制條件.這種方法就是優(yōu)限法.2021/5/910【總結(jié)歸納】一般地，對于有限制條件的排列問題，有以下兩種方法：⑴直接計算法排列的限制條件一般是：某些特殊位置和特殊元素.解決的辦法是“特事特辦”，對于這些特殊位置和元素，實行優(yōu)先考慮，即特殊元素預(yù)置法、特殊位置預(yù)置法.

⑵間接計算法先拋開限制條件，計算出所有可能的排列數(shù)，再從中減去不合題意的排列數(shù)，特別要注意：不能遺漏，也不能重復(fù).即排除法.搞清限制條件的真正含義，做針對性文章！2021/5/911例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。若三個女孩要站在一起，有多少種不同的排法？解：將三個女孩看作一人與四個男孩排隊，有種排法，而三個女孩之間有種排法，所以不同的排法共有：（種）。捆綁法2021/5/912若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？不同的排法有：（種）說一說捆綁法一般適用于問題的處理。相鄰例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。2021/5/913捆綁法:對于相鄰問題,常常先將要相鄰的元素捆綁在一起,視作為一個元素,與其余元素全排列,再松綁后它們之間進(jìn)行全排列.這種方法就是捆綁法.2021/5/914若三個女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。2021/5/915男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？解：先把四個男孩排成一排有種排法，在每一排列中有五個空檔（包括兩端），再把三個女孩插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。2021/5/916甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不同的排法？解：先把其余五人排成一排有種排法，在每一排列中有四個空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有種方法，所以共有：（種）排法。插空法例2：七個家庭一起外出旅游，若其中四家是一個男孩，三家是一個女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。2021/5/917插空法:對于不相鄰問題,先將其余元素全排列,再將這些不相鄰的元素插入空擋中,這種方法就是插空法.2021/5/918例3.1、將四個不同的小球分成兩組，每組兩個，有多少分法？3種2021/5/9192、將四個不同的小球分給兩人，每人兩個，有多少分法？甲甲乙乙6種2021/5/9203、將四個不同的小球分成兩組，一組三個，一組一個，有多少分法？4種2021/5/9214、將四個小球分給兩人，一人三個，一人一個，有多少分法？甲乙甲乙8種2021/5/922是否均勻有無組別注意分組問題2021/5/923若分成的m組是有組別的，只需在原來的分組基礎(chǔ)上再有組別問題2021/5/924例3:有6本不同的書，分成3堆.

（1）如果每堆2本，有多少種分法？

（2）如果分成一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種分法？

分析:這與例2不同，區(qū)別在于把6本不同的書分給甲、乙、丙3人，每人2本，相當(dāng)于把6本不同的書先分成3堆，再把分得的3堆分給甲、乙、丙3人.2021/5/925總結(jié)：分組分配問題主要有分組后有分配對象(即組本身有序)的均分與不均分問題及分組后無分配對象(即組本身無序)的均分與不均分問題四種類型，常見的情形有以下幾種:(2)均勻、有序分組:

把n個不同的元素分成有序的m組，每組r個元素，則共有種分法.(其中mr=n)(1)均勻、無序分組:

把n個不同的元素分成無序的m組，每組r個元素，則共有種分法.(其中mr=n)2021/5/926(3)非均勻、無序分組:把n個不同的元素分成m組，第1組r1個元素，第2組r2個元素，第3組r3個元素，……第m組rm個元素，則共有種分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)(4)非均勻、有序分組:把n個不同的元素分成m組，第1組r1個元素，第2組r2個元素，第3組r3個元素，……第m組rm個元素，再分給m個人，則共有種分法.(其中r1+r2+r3+…+rm=n)2021/5/927(5)局部均勻分組:把n個不同的元素分成m組，其中m1個組有r1個元素，m2個組有r2個元素，……mk個組有rk個元素，則共有種分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+…+mkrk=n)2021/5/928例4:有6本不同的書，分成4堆.

（3）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少種分法？

（4）如果每堆至多2本，至少1本，有多少種分法？

2021/5/929例5:從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問題相當(dāng)于把30個相同的球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問題可用“隔板法”處理.小結(jié)：把n個相同元素分成m份，每份至少1個元素，問有多少種不同分法的問題可以采用“隔板法”.共有：2021/5/930變式1:將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒至少1球的放法有多少種？變式2:將7只相同的小球全部放入4個不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？2021/5/931課堂練習(xí)：1、4個學(xué)生和3個老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（）A.B.C.D.D2、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有（）B3、在7名運(yùn)動員中選出4名組成接力隊，參加4×100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？2021/5/932練習(xí)2:將5個人分成4個組，每組至少1人，則分組的種數(shù)是多少？練習(xí)1:將12個人分成2，2，2，3，3的5個組，則分組的種數(shù)是多少？2021/5/933練習(xí)3:9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少種分法？2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少種分法？3.每人3件，有多少種分法？4.平均分成三堆，有多少種分法？5.分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？解：①②③④⑤2021/5/934課堂小結(jié)：1、對限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干個簡單的基本問題后再用兩個計數(shù)原理來解決；2、一般情況下應(yīng)遵循先取元素，后排列的原則；3、對于某些特殊問題要能熟練使用相應(yīng)方法解決，如：隔板法、均勻分組（局部均勻分組）等問題.2021/5/935課堂小結(jié)：基本的解題方法：⑴有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)先法）；⑵