2021年高考文數真題試卷（全國乙卷）含答案

2021年高考文數真題試卷（全國乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。（共12題；共51分）

［已知全集集合則

U={1,2,3,4,5},M={1,2},N={3,4},Cu(MUN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{123,4}

2.設iz=4+3i,則z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

3.已知命題p：AxGR,sinx<l；命題q：^xFR,e|x|>l,則下列命題中為真命題的是（）

A.pAqB.-p點.qC.pA-qD.~(pVq)

4.函數f（x）=sinf+cos專的最小正周期和最大值分別是（）

A.3證和B.3菰和2C.6的和D.缸和2

自小登4

5.若x,y滿足約束條件件一W望二，則z=3x+y的最小值為（）

!，型

A.18B.10C.6D.4

.W

6?資期*-￡期品/^?=()

IM&W

AiB.￡嵯嵯

7.在區(qū)間（0,*）隨機取1個數，則取到的數小于5的概率為（）

A.寺B.1C.1D.J

8.下列函數中最小值為4的是（）

/?

A.置，=.岸42%448.詈=日間+向彳=卜*

9.設函數￡束3=爸，則下列函數中為奇函數的是（）

A.f太一口一1B.f^-4-J-lC.1：1-1D.f&iihi

10.在正方體ABCD-AiBKiDi中,P為BiDi的中點,則直線PB與ADi所成的角為（）

A.亨B.套C.曾

DI

11.設B是橢圓C：去十臂；2=1的上頂點，點P在C上，則|PB|的最大值為（）

A-

而.因

A.|B.CD.2

12.設a*0,若x=a為函數￡加］=喊外—喊不衰—HI的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分（共4題；共17分）

13.已知向量a=（2,5）,b=（入,4）,若渚”W，則入=.

14.雙曲線苧_.1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為.

15.記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為西，B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

16.以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖,

則所選側視圖和俯視圖的編號依次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（共5題；共50分）

17.某廠研究了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和

一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：

舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

舊設備和新設備生產產品的該項指標的樣本平均數分別記為式和V,樣本方差分別記為SF和S2?

（1）求式,普，Si2,S22；

（2）判斷新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備是否有顯著提高（如果V-?承號，則認為新

設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PD.1.底面ABCD,M為BC的中點，且PB.一AM.

.4B

(1)證明：平面PAM.1.平面PBD；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-ADCD的體積.

19.設：曷是首項為1的等比數列，數列：港J：滿足瑜=嚕，己知明，3的，9他成等差數列.

(1)求bJ和法j的通項公式；

(2)記心和晶分別為和熱j的前n項和.證明：?“<拿.

-**

20.已知拋物線C：1科=2*式p>0)的焦點F到準線的距離為2.

(1)求C的方程.

(2)已知。為坐標原點，點P在C上，點Q滿足越=g^，求直線OQ斜率的最大值.

21.已知函數算成=分營一色.441.

(1)討論式的單調性；

(2)求曲線用=式心過坐標原點的切線與曲線卡=虱父的公共點的坐標.

四、［選修4-4：坐標系與參數方程］(共1題；共2分)

22.在直角坐標系xOy中，?端.C的圓心為C(2,1),半徑為1.

(1)寫出遨.C的一個參數方程；

(2)過點F(4,1)作?域C的兩條切線，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩

條直線的極坐標方程.

五、［選修4-5：不等式選講］(共1題；共2分)

23.已知函數f(x)=|x-a|+1x+31.

(1)當a=l時，求不等式f(x)26的解集；

(2)若f(x)>-a,求a的取值范圍.

答案解析部分

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，總共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.【解析】【解答】因為11={1,2,3,4,5},集合乂={1,2}川={3,4}則MUN={1,2,3,4),

于是二⑸。

Cu(MUN)

故答案為：A

【分析】先求再求

MUN,Cu(MUN)?

2.【解析】【解答】因為iz=4+3i,所以2=攀=，琴=豕斑3

故答案為：C

【分析】直接解方程，由復數的除法運算法則，得到結果。

3.【解析】【解答】因為命題P是真命題，命題q也是真命題，

故答案為：A

【分析】先判斷命題p，q的真假，然后判斷選項的真假。

.【解析】【解答】因為尹軍砧喈所以周期惠二《內花”值域［-收,至

4f(x)=sinJ+COSj1s.

故答案為：C。

【分析】先將f(x)解析式化成感城城繳為：#或的形式，再由正弦函數的周期公式計算周期，再由正弦函

數的性質，得到它的最大與最小值。

5.【解析】【解答】作出線性約束的可行域(如圖陰影部分所示區(qū)域)，

當直線z=3x+y經過點(1,3)時，z取得最小值。此時zmin=3xl+3=6.

故答案為：C

【分析】先作出可行域，再通過目標函數以及可行域，確定最優(yōu)解，進一步得到答案。

【分析】由降基公式，可以化成特殊角的三角函數求值。

7.【解析】【解答】由幾何概型得:

故答案為：B

【分析】由幾何概型概率公式即可得到結果。

8.【解析】【解答】對于A：因為y=(x+l)2+3,則ymm=3；故A不符合題意；

對于B：因為歲=題/不意空設t=|sinx|(隹?J)，則y=g(tM-瓠雙莖0由雙溝函數知，

函數y=g(t)=/4■決0豕［：章：1］是減函數，所以ymir^l)=5,所以B選項不符合；

對于C：因為第=?y=歲4$:竺率*’=/當且僅當手=!0?*=1時?'成立，

即ymin=4,故C選項正確；

對于D：當嵬吏［Q也時，4=111瞇4亮y。，故D選項不符合，

故答案為：C.

【分析】A,用配方法求出干凈函數的最小值，判斷不符合；B.換元利用雙溝函數的單調性，求出最小值,

判斷不適合；C.變形后用基本不等式計算出最小值，判斷符合；D舉反列說明其不符合。

9.【解析】【解答】對于A：因為h(x)=f(x；)-l,=當空17=4=■1-之則11")/h(X),

.A'■"7

所以h(X)不是奇函數，故A不符合;

對于B：因為h(x)=f(x-l)+l,=*，'?.J4bI=卷.W-:*j=-e...則h卜X)=h(X),所以h(X)是奇函數，故B符

合;

h(x)=f(xi)-i,-1=備-44T=靠弋則(-x)

對于c：+h黃h(X),所以C不符

合；對于D：h(x)=f(x+l)+l,=「廠，#1=與.W-J=W??則h(-X)#(X),故D不符合.

明,針1濟口"飛.?4針2”

故答案為：B.

【分析】設選項的各個函數是h(x),分別計算h(-x),與h(x)比較，就可以得到正確選項是B。

10.【解析】【解答】如圖，連接AC,設AC與BD交于。，連接OD1,AD1,BP,設正方體的棱長為X,

因為DiP||OB||BD,且DiP=BO==BD,所以四邊形ODiPB是平行四邊形，所以BP||?？?,所以￡且冷??僧

又.4◎=$?3察=艮*皤；，所以￡*&杷◎=含.

即為所求的角,易證.髓LL平面BDDiBi，故衛(wèi).ODi,

<1,二.*@

故答案為：D

【分析】在正方體中，作輔助線，通過平移線，作出所要求的角。

11.【解析】【解答】由題意知B(0,l),設P(x,y)則|PB|2=(x-0)2+(y-l)2=x2+y2-2y+l=5(l-y2)+y2-2y+l

=?4y2?2y+6=?4(y+4)2+：<2^,因為-1笑T,莖:L所以當y=-當時，|PB|2max=：青:，此時>|PBImax

善,

」，

故答案為：A

【分析】先寫出B的坐標，然后設任意點P(x,y),再用兩點間的距離公式，表示出|PB|,再用本文法計算

|PB|的最大值即可。

12.【解析】【解答】當a>0時，若a為極大值點，則(如圖1),必有a<b,ab<a2.故B,C項錯；

當a<0時，若a為極大值點，則(如圖2),必有a>b>a2,故A錯。

故答案為：D.

【分析】對a的正負進行討論，根據極值點的意義，作圖分析，得到正確選項。

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.【解析】【解答】因為本=(2,5),加入,4),且好蕩，則彌:-Q,則"日。

【分析】根據向量平行的條件即可得到結果。

14.【解析】【解答】由題意得，a2=4,b2=5,所以c2=a2+b2=9,所以c=3(c>0),所以橢圓的右焦點是(3,0),則右焦

點(3,0)到直線x+2y-8的距離為冰日7一』守

d『+平

【分析】先求出橢圓的右焦點坐標，然后用點到直線的距離公式求焦點到直線的距離即可。

15.【解.析】【解令】鼠"癖；=&掰就螭=$例疝巡即:卒購二第Q四=4

于是玄=瓢+嬉--期儂:驟序'=而曰點嬴=擊戒.=24

【分析】根據面積的值，計算出ac,再由余弦定理求解。

16.【解析】【解答】當俯視圖為④時，右側棱在左側，不可觀測到，所以為虛線，故選擇③為側視圖；

當俯視圖為⑤時，左側棱在左側可觀測到，所以為實線，故選擇②為側視圖，

故答案為：②⑤或③④

【分析】分情況討論各種視圖的位置關系。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

".【解析】【分析】（1）先計算新舊樣本平均數*,.*再直接用公式計算S?,S22；

J3f!＞■3J3?wr3

⑵由⑴中的數據，計算得：缺a；=0.3,2卷占M=0.34,顯然*32益巴；，可得到答案。

18.【解析】【分析】（1）由PD垂直平面ABCD,及PB垂直AM,可以證明總場」.平面冷湃必從而

可能證明

平面步溫戴」.平面覆潺?;

（2）由連接BD（1）可得.康盛八玉證明宮蕊盤龍%△且鼠