福建省廈門(mén)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校海滄附屬學(xué)校高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

福建省廈門(mén)市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校海滄附屬學(xué)校高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2++=，=t，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】平行向量與共線向量．【分析】以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．2++=，可得=﹣2==2，因此點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．可得B，O，D三點(diǎn)共線，=t，∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．利用平行線的性質(zhì)即可得出．【解答】解：以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形OBFC，連接OF與BC相交于點(diǎn)E，E為BC的中點(diǎn)．∵2++=，∴=﹣2==2，∴點(diǎn)O是直線AE的中點(diǎn)．∵B，O，D三點(diǎn)共線，=t，∴點(diǎn)D是BO與AC的交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O作OM∥BC交AC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)．則OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．故選：B．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則復(fù)數(shù)z可取（

）A.2 B.－1 C.i D.參考答案：B【分析】由題意首先分析復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的關(guān)系，然后考查所給的選項(xiàng)即可確定z的值.【詳解】不妨設(shè)，則，結(jié)合題意可知：，逐一考查所給的選項(xiàng)：對(duì)于選項(xiàng)A：，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)B：，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C：，不合題意；對(duì)于選項(xiàng)D：，不合題意；故選：B.3.設(shè)滿足約條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為12，則的最小值為（

）A. B. C. D.4

參考答案：A略4.已知sin（）=則cos（x）等于(

) A．﹣ B．﹣ C． D．參考答案：D考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析：由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后即可求值．解答： 解：cos（x）=sin[﹣（x）]=sin（﹣x）=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知點(diǎn)A(1,2)，過(guò)點(diǎn)(5,-2)的直線與拋物線y2=4x交于另外兩點(diǎn)B,C，那么，△ABC是(

)

(A)銳角三角形

(B)鈍角三角形

(C)直角三角形

(D)答案不確定參考答案：C設(shè)B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，則直線BC的方程為，化得2x-(s+t)y+2st=0．

由于直線BC過(guò)點(diǎn)(5，-2)，故2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即(s+1)(t+1)=-4．

因此，.

所以，∠BAC=90°，從而△ABC是直角三角形．6.設(shè)向量，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③與垂直；④，其中真命題的序號(hào)是

(

)A.①

B.③

C.①④

D.②③參考答案：B7.已知，有解，，，則下列選項(xiàng)中是假命題的為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i，則|z|=（）A．1 B． C． D．2參考答案：A【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求模即可．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故選：A．9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，）（n∈N*）均在函數(shù)y＝x＋的圖象上，則a2014＝（

）A．2014

B．2013

C．1012

D．1011參考答案：A試題分析：點(diǎn)（n，）（n∈N*）均在函數(shù)y＝x＋的圖象上，所以，即，考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差關(guān)系的確定10.設(shè)變量x、y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為

A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z=3x+y的最大值為．參考答案：48【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)已知的約束條件畫(huà)出滿足約束條件的可行域，再用角點(diǎn)法，求出目標(biāo)函數(shù)的最大值．【解答】解：滿足約束條件實(shí)數(shù)x，y滿足可行域如下圖中陰影部分所示：則z=3x+y，經(jīng)過(guò)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由，解得A（14，6）∴ZA=42+6=48，故Z=3x+y的最大值是48，故答案為：48．【點(diǎn)評(píng)】用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類(lèi)、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．12.已知

.參考答案：

13.若f（x）=xa是冪函數(shù)，且滿足=3，則f（）=．參考答案：【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．【分析】可設(shè)f（x）=xα，由=3可求得α，從而可求得f（）的值．【解答】解析：設(shè)f（x）=xα，則有=3，解得2α=3，α=log23，∴f（）=====．故答案為：14.函數(shù)是定義在R上以3為周期的奇函數(shù),若,.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.參考答案：15.若偶函數(shù)y＝f(x)為R上的周期為6的周期函數(shù)，且滿足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，則f(－6)等于______．參考答案：－1略16.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為_(kāi)_______．參考答案：20π17.已知兩條直線，互相垂直，則m=__________.參考答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=BC，E是底邊BC上的一點(diǎn)，且EC=3BE．現(xiàn)將△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到如圖2所示的四棱錐C1﹣ABED，且C1A=AB．（1）求證：C1A⊥平面ABED；（2）若M是棱C1E的中點(diǎn)，求直線BM與平面C1DE所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【專題】空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)AD=AB==1，利用勾股定理的逆定理可以判斷C1A⊥AD，C1A⊥AE；（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分別以AB，AD，AC1為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，明確平面的法向量的坐標(biāo)和的坐標(biāo)，利用直線與平面的法向量的夾角的余弦值等于線面角的正弦值解答．【解答】解：（1）設(shè)AD=AB==1，則C1A=1，C1D=，∴，∴C1A⊥AD，…又∵BE=，C1E=∴AE2=AB2+BE2=∴∴C1A⊥AE…又AD∩AE=E∴C1A⊥平面ABED；…（2）由（1）知：C1A⊥平面ABED；且AB⊥AD，分別以AB，AD，AC1為x，y，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，…則B（1，0，0），C1（0，0，1），E（1，，0），D（0，1，0），∵M(jìn)是C1E的中點(diǎn)，∴M（），∴=（），…設(shè)平面C1DE的法向量為=（x，y，z），，由即，令y=2，得=（1，2，2）…設(shè)直線BM與平面C1DE所成角為θ，則sinθ=||=∴直線BM與平面C1DE所成角的正弦值為．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的判定定理的運(yùn)用以及利用空間向量解決線面角的問(wèn)題，屬于中檔題．19.二階矩陣M有特征值λ=8，其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（﹣1，2）變換成點(diǎn)（﹣2，4），求矩陣M2．參考答案：解：設(shè)，則由，得，即a+b=8，c+d=8．由，得，從而﹣a+2b=﹣2，﹣c+2d=4．由a+b=8，﹣a+2b=﹣2，c+d=8，﹣c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4∴，．略20.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），（1,0），過(guò)垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3，(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)過(guò)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解：(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為=1（a>b>0）,由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1

………………1分

由PQ|=3，可得=3，

……………2分解得a=2，b=，

………………３分故橢圓方程為=1

……………4分(Ⅱ)設(shè)M，N,不妨>0,<0,設(shè)△MN的內(nèi)切圓的徑R，則△MN的周長(zhǎng)=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，

………6分，由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由得+6my-9=0，

由題意顯然成立

………８分得，，則（）==，

……………9分令t=,則t≥1,則,

………10分令f（t）=3t+，則f′(t)=3-，當(dāng)t≥1時(shí)，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上單調(diào)遞增，有f(t)≥f(1)=4,≤=3,即當(dāng)t=1,m=0時(shí)，≤=3,=4R，∴=，

………11分這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為π.故存在直線l:x=1，使△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π……12分21.已知拋物線G的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，點(diǎn)P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5．（1）求拋物線G的方程；（2）如圖，過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)的直線依次與拋物線G及圓x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四點(diǎn)，試證明|AC|?|BD|為定值；（3）過(guò)A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點(diǎn)M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．參考答案：（1）x2＝4y；（2）詳見(jiàn)解析；（3）2.【分析】（1）利用拋物線的焦半徑公式求P；（2）設(shè)直線AB方y(tǒng)＝kx+1，與拋物線聯(lián)立消去，結(jié)合焦半徑公式化簡(jiǎn)從而得到定值；（3）欲求面積之和的最小值，利用直線AB的斜率作為自變量，建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問(wèn)題．【詳解】（1）由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y+1＝0，故1所以拋物線C的方程為x2＝4y．（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，故直線AB的斜率一定存在，設(shè)直線AB方y(tǒng)＝kx+1交拋物線C于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線定義知|AF|＝y(tǒng)1+1，|BF|＝y(tǒng)2+1，所以|AC|＝y(tǒng)1，|BD|＝y(tǒng)2，由得x2﹣4kx﹣4＝0，顯然△＞0，則x1+x2＝4k，x1?x2＝﹣4，所以y1?y21，所以|AC|?|BD|為定值1．（3）由x2＝4y，yx2，x，得直線AM方程yx1（x﹣x1）（1），直線BM方程yx2（x﹣x2）（2），由（2）﹣（1）得（x1﹣x2）x，所以x（x1+x2）＝2k，∴y＝﹣1所以點(diǎn)M坐標(biāo)為（2k，﹣1），點(diǎn)M到直線AB距離d2，弦AB長(zhǎng)為|AB|4（1+k2），△ACM與△BDM面積之和，S（|AB|﹣2）?d（2+4k2）×22（1+2k2），當(dāng)k＝0時(shí)，即AB方程為y＝1時(shí)，△ACM與△BDM面積之和最小值為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查直