平面向量中三點(diǎn)共線

平面對量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用知識梳理(一）、對平面內(nèi)任意的兩個(gè)向量的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使由該定理能夠得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理：(二）、三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得：且。特別地有：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之外時(shí)，典例剖析已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是分析：點(diǎn)P落在的邊BC上B，P,C三點(diǎn)共線由基本不等式可知：，取等號時(shí)，符合因此的最小值為9點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起，較綜合考察了學(xué)生基本功.例2、在△ABC中，，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．B.C.D.分析：三點(diǎn)共線，又，故選C例3、在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為．：由于O是BC的中點(diǎn)，故連接AO，如圖4，由向量加法的平行四邊形法則可知：，圖4又三點(diǎn)共線，圖4由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：變式、直線l過ABCD的兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)O，與AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長線交于點(diǎn)M。又知＝m，＝n，則m＋n=分析：由于點(diǎn)O兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)，因此點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)＝m，＝n又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可得：例4、點(diǎn)是△的重心，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且、、三點(diǎn)共線．設(shè)，，證明：是定值；證明：由于G是的重心，分析：又三點(diǎn)共線，為定值3例5、如圖所示,在平行四邊形ABCD中，,,CE與BF相交于G點(diǎn)，記，，則_______分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，因此我們很容易聯(lián)想到點(diǎn)F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上，可用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理求解。解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x使得,,…①又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)使得，，……………②由①②兩式可得：PABCMN點(diǎn)評：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線（F、GPABCMN變式2、在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN與CM相交于點(diǎn)P，且，，試用、表達(dá)解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得,AN﹕AC=1﹕4,……①又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù),使得∵AM﹕AB=1﹕3∴，，……………②由①②兩式可得：練習(xí)：1.，點(diǎn)在邊上，，設(shè)，則（）2、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x,y)滿足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，則x,y所滿足的關(guān)系式為（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=03.已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是4、在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F。已知,則（）A．B．C．D．5、(東江中學(xué)高三年級理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a、b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A．eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b D．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b6、（廣東卷）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)．若，，則（）A．B．C． D