2021年遼寧省朝陽市中考數(shù)學試卷（解析版）

2021年遼寧省朝陽市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是正確的）

1.（3分）（2021?朝陽）在有理數(shù)2,-3,g,0中，最小的數(shù)是（）

A.2B.-3C.-D.0

3

2.（3分）（2021?朝陽）如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小立方塊搭成的，它的左視

圖是（）

ABlB1LJ11C「Fh口DB

3.（3分）（2021?朝陽）下列運算正確的是（）

A.a3+a3=a6B.a2-a}=a6C.（abf=ab，D.（a2）4=

4.（3分）（2021?朝陽）某校開展了以“愛我家鄉(xiāng)”為主題的藝術(shù)活動，從九年級5個班收

集到的藝術(shù)作品數(shù)量（單位：件）分別為48,50,47,44,50,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）

A.44B.47C.48D.50

5.（3分）（2021?朝陽）一個不透明的口袋中有4個紅球，6個綠球，這些球除顏色外無其

他差別，從口袋中隨機摸出1個球，則摸到綠球的概率是（）

1123

A.—B.-C.-D.-

10255

6.（3分）（2021?朝陽）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為（

）

A.45°B.65°C.75°D.85°

7.（3分）（2021?朝陽）不等式Tx-1...-2x+l的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.-2-101B.-2-101

C.-2-101D.-2-101

8.（3分）（2021?朝陽）如圖，O是坐標原點，點5在x軸上，在AOAB中，AO=AB=5,

08=6,點A在反比例函數(shù)y=K（心0）圖象上，則后的值（）

A.—12B.-15C.-20D.-30

9.（3分）（2021?朝陽）如圖，在菱形A8CD中，點E,F分別在4?,CD±.,S.BE=2AE,

DF=2CF,點、G,H分別是AC的三等分點，則近也絲?的值為（）

S菱形A8co

A.-B.-C.-D.-

9639

10.（3分）（2021?朝陽）如圖，在正方形A8CD中，AB=4,動點M從點A出發(fā)，以每秒

1個單位長度的速度沿射線43運動，同時動點N從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度

沿折線—OCfCB運動，當點N運動到點8時，點〃，N同時停止運動.設(shè)AAAW的

面積為y,運動時間為x（s）,則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）（2021?朝陽）2020年9月1日以來，教育部組織開展重點地區(qū)、重點行業(yè)、重

點單位、重點群體“校園招聘服務”專場招聘活動，提供就業(yè)崗位3420000個，促就業(yè)資源

精準對接.數(shù)據(jù)3420000用科學記數(shù)法表示為一.

12.（3分）（2021?朝陽）因式分解:—3am1+12an2—.

13.（3分）（2021?朝陽）如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小等邊三角形構(gòu)成，向游戲

板隨機投擲一枚飛鏢（飛鏢每次都落在游戲板上），則擊中黑色區(qū)域的概率是—.

14.（3分）（2021?朝陽）已知的半徑是7,他是OO的弦，且AB的長為7石，則弦他

所對的圓周角的度數(shù)為一.

15.（3分）（2021?朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（5,0）,點M的坐標為

（0,4）,過點M作MN//X軸，點P在射線上，若AA例P為等腰三角形，則點P的坐標

為—.

16.（3分）（2021?朝陽）如圖，在矩形ABCD中，AB=\,BC=2,連接AC,過點。作

0G_LAC于點G，以GA，CQ為鄰邊作矩形A41nG，連接AG，交4）于點過點。

作于點c?，交AC于點心，以C?A，G。為鄰邊作矩形Ad。。?，連接&。2，

交A。于點Q，過點。作￡>C3_LA2c2于點C3,交AG于點M”以C3A2，為鄰邊作矩

形A2A,DC,,連接4c3,交A2D于點O3,過點D作DC,14c3于點c,,交AC,于點M3...

若四邊形42。2M的面積為E，四邊形AQC3M2的面積為邑，四邊形人。3。4加3的面積為

馬…四邊形A-OCeM”的面積為s“，貝|JS“=—.（結(jié)果用含正整數(shù)〃的式子表示）

三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應寫出必要的步驟、文字說明或證明過程）

17.（5分）（2021?朝陽）先化簡，再求值：（上+1）+233,其中x=tan60。.

x-2x~-4

18.（6分）（2021?朝陽）為了進一步豐富校園文體活動，學校準備購進一批籃球和足球，

已知每個籃球的進價比每個足球的進價多25元,用2000元購進籃球的數(shù)量是用750元購進

足球數(shù)量的2倍，求：每個籃球和足球的進價各多少元？

19.（7分）（2021?朝陽）“賞中華詩詞，尋文化基因，品文學之美”，某校對全體學生進行

了古詩詞知識測試，將成績分為一般、良好、優(yōu)秀三個等級，從中隨機抽取部分學生的測試

成績，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）求本次抽樣調(diào)查的人數(shù)；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，陰影部分對應的扇形圓心角的度數(shù)是一；

（3）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）該校共有1500名學生，根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,請你估計測試成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù).

20.（7分）（2021?朝陽）為了迎接建黨100周年，學校舉辦了“感黨恩?跟黨走”主題社團

活動，小穎喜歡的社團有寫作社團、書畫社團、演講社團、舞蹈社團（分別用字母A,B,

C,。依次表示這四個社團），并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片正面,

然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.

（1）小穎從中隨機抽取一張卡片是舞蹈社團。的概率是一；

（2）小穎先從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母不放回，再從剩下的卡片中隨機

抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母，請用列表法或畫樹狀圖法求出小穎抽取的兩張卡片中

有一張是演講社團C的概率.

21.（7分）（2021?朝陽）一數(shù)學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處

放置一個小平面鏡，當一位同學站在F點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的

像，此時測得FG=3m,這位同學向古樹方向前進了9m后到達點D,在。處安置一高度為

所的測角儀CD,此時測得樹頂A的仰角為30。，已知這位同學的眼睛與地面的距離

EF=1.5/n,點B,D,G,尸在同一水平直線上，且AB,CD,EF均垂直于BF,求這

棵古樹45的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）

22.（8分）（2021?朝陽）如圖，Afi是OO的直徑，點。在°。上，且/4QD=90。，點C是

G）O外一點，分別連接C4,CB、CD,C4交OO于點交8于點N,CB的延長線

交。O于點E,連接AD,ME,且NACO=NE.

（I）求證：8是0。的切線；

（2）連接。M,若OO的半徑為6,tan￡=-,求ZM7的長.

3

23.（10分）（2021?朝陽）某商場以每件20元的價格購進一種商品，規(guī)定這種商品每件售

價不低于進價，又不高于38元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售

價x（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該商場銷售這種商品要想每天獲得600元的利潤，每件商品的售價應定為多少元？

（3）設(shè)商場銷售這種商品每天獲利卬（元），當每件商品的售價定為多少元時，每天銷售

利潤最大？最大利潤是多少？

24.（10分）（2021?朝陽）如圖，在RtAABC中，AC=BC,NACB=90。，點O在線段43

上（點O不與點A,8重合），且03=43,點M是AC延長線上的一點，作射線QW,

將射線繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，交射線C8于點N.

（1）如圖1,當人=1時，判斷線段。用與QV的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,當時，判斷線段與ON的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），并證明；

（3）點尸在射線8c上，若NBON=15。，=,且——，請直接寫出

AC2

—的值（用含

PC

々的式子表示）.

25.（12分）（2021?朝陽）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線、=-/+法+。與x軸分別

交于點4-1,0）和點3,與y軸交于點C（0,3）.

（1）求拋物線的解析式及對稱軸；

（2）如圖1,點。與點C關(guān)于對稱軸對稱，點P在對稱軸上，若NBPD=90。,求點P的坐

標；

（3）點M是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的點，點N在拋物線的對稱軸上，當為等邊

三角形時，請直接寫出點M的橫坐標.

2021年遼寧省朝陽市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分。每小題給出的四個選項中，只

有一個選項是正確的）

1.（3分）（2021?朝陽）在有理數(shù)2,-3,0中，最小的數(shù)是（）

A.2B.-3C.-D.0

3

【解答】解：

3

.?.在有理數(shù)2,-3,0中，最小的數(shù)是-3.

3

故選：B.

2.（3分）（2021?朝陽）如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小立方塊搭成的，它的左視

圖是（）

A.Rirn~n

B.I—B

【解答】解：從左邊看，底層是兩個小正方形，上層的左邊是一個小正方形,

故選：A.

3.（3分）（2021?朝陽）下列運算正確的是（）

A.a3+tz5=a6B.a2-a3=o'C.(ab)2=ah2D.(a2)4=as

【解答】解：A.?3+a3=24/3,故本選項不符合題意;

B.a2-a3=a5,故本選項不符合題意；

C.（ab）2=a2b2,故本選項不符合題意；

D.（a2）4=a\故本選項符合題意；

故選：D.

4.（3分）（2021?朝陽）某校開展了以“愛我家鄉(xiāng)”為主題的藝術(shù)活動，從九年級5個班收

集到的藝術(shù)作品數(shù)量（單位：件）分別為48,50,47,44,50,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（

）

A.44B.47C.48D.50

【解答】解：將這五個數(shù)據(jù)從小到大排列后處在第3位的數(shù)是48,因此中位數(shù)是48；

故選：C.

5.（3分）（2021?朝陽）一個不透明的口袋中有4個紅球，6個綠球，這些球除顏色外無其

他差別，從口袋中隨機摸出1個球，則摸到綠球的概率是（）

1123

A.—B.-C.-D.-

10255

【解答】解：?.?袋中裝有4個紅球，6個綠球，

二共有10個球,

摸到綠球的概率為：-=-；

105

故選：D.

6.（3分）（2021?朝陽）將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則N1的度數(shù)為（

）

A.45°B.65°C.75°D.85°

【解答】解：?.?/2+60。+45。=180。，

.-.Z2=75°.

?.?直尺的上下兩邊平行，

.-.Z1=Z2=75°.

故選：C.

7.（3分）（2021?朝陽）不等式Y(jié)x-l...-2x+l的解集，在數(shù)軸上表示正確的是（）

【解答】解：不等式Tx—1...—2x+l,

移項得：-4x+2x..l+l,

合并得：-2x..2,

解得：蒼，-1,

數(shù)軸表示，如圖所示：

故選：D.

8.（3分）（2021?朝陽）如圖，O是坐標原點，點3在x軸上，在AOAB中，AO=AB=5,

08=6,點A在反比例函數(shù)尸々已0）圖象上，則左的值（）

X

A.-12B.-15C.-20D.-30

【解答】解：過A點作AC,08,

\AO=AB,AC±OB,03=6,

/.OC=BC=3，

在RtAAOC中，OA=5,

AC=y/OA2-AC2=452-32=4,

A（—3,4）,

把A（-3,4）代入y=4,可得％=T2,

X

故選：A.

9.（3分）（2021?朝陽）如圖，在菱形ABCD中，點￡,尸分別在AB,CD±,^BE=2AE,

DF=2CF,點、G,〃分別是AC的三等分點，則四邊形切口的值為（）

S菱形人次"）

1112

a

A.9-B.-63-9-

【解答】解：???3石=2AE,DF=2FC,

AECF_1

BE_21DF-2

?.?G、”分別是AC的三等分點，

AG1CH1

---=-，=—，

GC2AH2

,AEAG

~BE~'GC'

EGAE1

二.---=——=-，

BCAB3

HF1

同理可得—=一，

AD3

.S四邊形尸G_1v?

??-X——,

S娜ABCD339

故選：A.

10.（3分）（2021?朝陽）如圖，在正方形ABCD中，AB=4,動點M從點A出發(fā)，以每秒

1個單位長度的速度沿射線43運動，同時動點N從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度

沿折線f運動，當點N運動到點8時，點M,N同時停止運動.設(shè)AAMV的

面積為y,運動時間為x（s）,則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【解答】解：當點N在4）上時，即0<x<2

AM=x，AN=2x，

1c、

y=—x2x=x~,

2

此時二次項系數(shù)大于0,

該部分函數(shù)圖象開口向上，

當點N在ZX?上時，即2,X<4,

此時底邊高4）=4,

1,汽

y=—x4x=2x>

2

該部分圖象為直線段，

當點N在C3上時，即4,,x<6時，

此時底邊4W=x,高BN=V2—2x,

.1.y=_x（l2_2x）="x"+6x,

-.--1<0,

該部分函數(shù)圖象開口向下，

故選：B.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

II.（3分）（2021?朝陽）2020年9月1日以來，教育部組織開展重點地區(qū)、重點行業(yè)、重

點單位、重點群體“校園招聘服務”專場招聘活動，提供就業(yè)崗位3420000個，促就業(yè)資源

精準對接.數(shù)據(jù)3420000用科學記數(shù)法表示為_3.42xl()6_.

【解答】解：數(shù)據(jù)3420000用科學記數(shù)法表示為3.42x106.

故答案為：3.42xlO6.

12.(3分)(2021?朝陽)因式分解：一3“加2+1_-3a(m+2n){m-2ri)_.

【解答】解：原式=-3〃(>-41)

=-3a(m+2n)(m-2n).

故答案為：-3a(m+2n)(m-2n).

13.(3分)(2021?朝陽)如圖，一塊飛鏢游戲板由大小相等的小等邊三角形構(gòu)成，向游戲

板隨機投擲一枚飛鏢(飛鏢每次都落在游戲板上)，則擊中黑色區(qū)域的概率是-.

一3一

【解答】解：???總面積為9個小三角形的面積，其中黑色部分面積為3個小三角形的面積，

.??飛鏢落在黑色部分的概率是3=4，

93

故答案為：1.

3

14.(3分)(2021?朝陽)已知OO的半徑是7,AB是OO的弦，且AB的長為76，則弦AB

所對的圓周角的度數(shù)為_60?；?20。_.

【解答】解：NACB和ZM應為弦43所對的圓周角，連接04、OB,如圖，

過O點作于H,貝==迪，

22

7.

在RtAOAH中，*.*cosZOAH==—^―=—，

OA72

.?.NQA〃=30。，

\OA=OB,

,\ZOBH=ZOAH=30°,

ZAOB=120°,

/.ZACB=-ZAOB=60°,

2

???NAD3+NACB=180。，

.*.ZADB=180°-60°=120°,

即弦AB所對的圓周角的度數(shù)為60?；?20。.

故答案為60?；?20。.

15.(3分)(2021?朝陽)如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(5,0),點〃的坐標為

(0,4),過點〃作MN//x軸，點尸在射線MN上，若AM4P為等腰三角形，則點P的坐標

為-4)或溝—4)或(10,4)_.

【解答】解：設(shè)點P的坐標為(x,4),

分三種情況：①=

?.?點A的坐標為(5,0),點M的坐標為(0,4),

22

:.PM=x,M=A/4+(5-X),

?：PM=PA,

.,.%=742+(5-x)2,解得：A*，

.?.點P的坐標為卷，4)；

②MP=MA,

?.?點A的坐標為(5,0),點M的坐標為(0,4),

/.MP=x,MA=A/42+52=,

?;MP=MA,

.?.點P的坐標為("I,4)；

;點A的坐標為(5,0),點M的坐標為(0,4),

.-.AP=yl42+(x-5)2,MA="2+52二向,

-.■AM=AP,

2

+(x—5)=J石，解得：5=10,x2=0(舍去)，

.,.點P的坐標為(10,4)；

綜上，點P的坐標為(￡，4)或(a，4)或(10,4).

故答案為：(：，4)或(標，4)或(10,4).

16.(3分)(2021?朝陽)如圖，在矩形中，AB=\,BC=2,連接AC,過點。作

￡>G"LAC于點a,以GA，CQ為鄰邊作矩形A410G,連接4C，交AD于點0,過點。

作。c?"LAG于點c?，交AC于點心，以C?A，為鄰邊作矩形A&OG,連接&c?，

交A。于點。2,過點。作0c3_LAC?于點a，交AG于點〃2；以a4，C3。為鄰邊作矩

形&&OC3,連接A《3,交A/于點O「過點￡＞作￡＞gJ.4C3于點c,,交于點A/,…

若四邊形AOtC2M,的面積為5,,四邊形AQC3M2的面積為s2＞四邊形4QC1M3的面積為

/,-1

s,…四邊形AiQC,M,的面積為S,,則S,=_號Qx4一一（結(jié)果用含正整數(shù)”的式子表示）

【解答】解：?.?四邊形MCD是矩形，

.?4=90。，AD//BC,AD=BC=2,CD=AB=\,

AC=-JAB2+BC2=Vl2+22=75,

DCtAC=ABBC,

vABBC1x22石

PC.=------------=—尸-=—，

AC455

同理，DC?=當DQ=（半）2,

比3=（竽）3,

3=（憐，

v^=tanZACD=—=2,

CC,CD

CC}=-DC1=—f

c0GCD1

AC,AD2

4J5

:.A.D=ACl=2DC1=g,

13ofc

?.M=AC|-GM=2DC,--DC.=-xDC,==-

3

同理，^M2=-XDC2,

3

A2M=—xDCy,

3

<M=axDC”,

?.?四邊形AAQG是矩形,

qA=OQ=aA=<?|Cj=i,

同理：KAG=AO￡）G，

475275

---V----

一明55J,

2AG25

在RtADOC中，℃2={0何―DC：=-($2=|=|DCj

a

同理，02c3=］。。3，

3

O,CA=-DC4,

3

DC

Q,Q+i=-，^'

11/33A99

x

S|=S四邊形AQQ%=SAADM、-SQg=3XAMXxDCX~~℃2xDC?=匕—歷JOC；=—DC~=—

同理，s=s.-S

Z2△Zl|LD/IMV12MAUD?LCzV^

9x42

5"

9x4'-'

故答案為:

三、解答題（本大題共9小題，共72分.解答應寫出必要的步驟、文字說明或證明過程）

17（5分）（2⑼?朝陽）先化簡，再求值：（號+其中x=tan600.

【解答】解：原式二丁十號事

x+2

x

x=tan60°=V3,代入得：原式=且*=1+述.

63

18.（6分）（2021?朝陽）為了進一步豐富校園文體活動，學校準備購進一批籃球和足球，

已知每個籃球的進價比每個足球的進價多25元,用2000元購進籃球的數(shù)量是用750元購進

足球數(shù)量的2倍，求：每個籃球和足球的進價各多少元？

【解答】解：設(shè)每個足球的進價是x元，則每個籃球的進價是（x+25）元，

依題意得：衛(wèi)=2x國，

x+25x

解得：x=75,

經(jīng)檢驗，x=75是原方程的解，且符合題意，

.-.x+25=75+25=100.

答：每個足球的進價是75元，每個籃球的進價是100元.

19.（7分）（2021?朝陽）“賞中華詩詞，尋文化基因，品文學之美”，某校對全體學生進行

了古詩詞知識測試，將成績分為一般、良好、優(yōu)秀三個等級，從中隨機抽取部分學生的測試

成績，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）求本次抽樣調(diào)查的人數(shù)；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，陰影部分對應的扇形圓心角的度數(shù)是_90。_；

（3）將條形統(tǒng)計圖補充完整；

（4）該校共有1500名學生，根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果,請你估計測試成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù).

【解答】解：（1）總?cè)藬?shù)=50+當=120（人）；

360

（2）陰影部分扇形的圓心角=360。*理.=90。，

120

故答案為：90°；

（3）優(yōu)秀的人數(shù)為：120-30—50=40（人），

條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（4）測試成績達到優(yōu)秀的學生人數(shù)有：1500x32=500（人），

120

答：該校1500名學生中測試成績達到優(yōu)秀的學生有500人.

20.（7分）（2021?朝陽）為了迎接建黨100周年，學校舉辦了“感黨恩?跟黨走”主題社團

活動，小穎喜歡的社團有寫作社團、書畫社團、演講社團、舞蹈社團（分別用字母A,B,

C,。依次表示這四個社團），并把這四個字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片正面,

然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.

（1）小穎從中隨機抽取一張卡片是舞蹈社團。的概率是

（2）小穎先從中隨機抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母不放回，再從剩下的卡片中隨機

抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母，請用列表法或畫樹狀圖法求出小穎抽取的兩張卡片中

有一張是演講社團C的概率.

【解答】解：（1）?.?共有4種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中是舞蹈社團。的有1種，

，小穎從中隨機抽取一張卡片是舞蹈社團D的概率是工，

4

故答案為：—;

4

（2）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中有一張是演講社團C的有6

種，

小穎抽取的兩張卡片中有一張是演講社團C的概率是色=1.

122

21.（7分）（2021?朝陽）一數(shù)學興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處

放置一個小平面鏡，當一位同學站在F點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的

像，此時測得尸G=3m,這位同學向古樹方向前進了9m后到達點。，在。處安置一高度為

加的測角儀CD,此時測得樹頂A的仰角為30。，已知這位同學的眼睛與地面的距離

EF=1.5m,點B,D,G,尸在同一水平直線上，且A3,CD,EF均垂直于所，求這

棵古樹43的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）

【解答】解：如圖，過點C作SLAB于點H,

則CH=8D,BH=CD=lm,

由題意得：DF=9m,

:.DG=DF-FG=6（m）,

在RtAACH中，NAS=30。，

-.-tanZACH=—=tan30°=—,

CH3

:.BD=CH=y/3AH,

?;EF1FB,ABVFB,

:.NEFG=ZABG=90°.

由反射角等于入射角得ZEGF=ZAGB,

.-.AEFG^AABG,

,EF_FG

,,花一法’

即—^―=——，

AH+l6AH+6

解得：4//=(8+46)機，

AB=AH+BH=(9+4揚〃?，

即這棵古樹的高他為(9+4百)〃?.

22.(8分)(2021?朝陽)如圖，43是OO的直徑，點。在OO上，且NA8=90。，點C是

OO外一點，分別連接C4,CB、CD,C4交0。于點交8于點N,C8的延長線

交OO于點E,連接4),ME,且NAC￡>=NE.

(1)求證：C?)是0O的切線；

(2)連接。W,若0。的半徑為6,tanE=-,求O0的長.

3

【解答】解：(1)?;ZACD=NE,ZE=ZBAC,

:.ZBAC=ZACD,

:.AB//CD,

NODC=ZA8=90°,

即OD_LCr>,

.?.CD是oo的切線；

(2)過點。作。尸J_AC于f,

1.■OO的半徑為6,tanE=-=tanZACD=tanZOAN,

3

：.ON=-OA=-x6=2,

33

:.DN=OD-ON=6-2=4,

:.CD=3DN=12,

在RtACDN中，

CN=sjDN2+CD2="2+12?=4A/10,

由三角形的面積公式可得，

CNDF=DNCD,

即4V10DF=4xl2,

:3=強,

5

又ZAMD=-ZAOD=-x90°=45°,

22

在RtADFM中，

DM=y/2DF=y/2x^^-=^^-.

55

23.（10分）（2021?朝陽）某商場以每件20元的價格購進一種商品，規(guī)定這種商品每件售

價不低于進價，又不高于38元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售

價》（元）之間符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該商場銷售這種商品要想每天獲得600元的利潤，每件商品的售價應定為多少元？

（3）設(shè)商場銷售這種商品每天獲利卬（元），當每件商品的售價定為多少元時，每天銷售

利潤最大？最大利潤是多少？

【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為、=履+〃（％/0）,

25k+b=10

由所給函數(shù)圖象可知:

354+/?=50

k=-2

解得

8=120'

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+120；

(2)根據(jù)題意，得：(x-20)(-2x+120)=600,

整理，得：X2-80X+1500=0,

解得：x=30或x=50（不合題意，舍去）,

答：每件商品的銷售價應定為30元;

(3)y=-2x+120,

=-2(x-40f+800,

.,.當x=38時，卬最大=792,

售價定為38元/件時，每天最大利潤卬=792元.

24.（10分）（2021?朝陽）如圖，在RtAABC中，AC=BC,NACB=9O。，點O在線段4?

上（點O不與點A,8重合），且03=點M是AC延長線上的一點，作射線OM,

將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。，交射線CB于點N.

（1）如圖I,當％=1時，判斷線段與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,當A>1時，判斷線段。0與ON的數(shù)量關(guān)系（用含％的式子表示），并證明;

（3）點P在射線5c上，若N3ON=15。，PN=kAM（kw\）,且也<避二1,請直接寫出

AC2

好的值（用含

PC

女的式子表示）.

【解答】解：（1）OM=ON,

如圖1,

作于。，OE工CB于E,

/.ZADO=ZMDO=Z.CEO=ZOEN=90°,

:.ZDOE=90°,

?.AC=BC,ZACB=90°,

.\ZA=ZABC=45°,

在RtAAOD中，

OD=OA.sinZA=OA.sin45°=—OA,

2

同理：OE=^OB,

2

\OA=OB,

OD=OE9

?.?NZX?E=90。，

/.ZDOM+ZMOE=90°,

???NMON=90。，

；.ZEON+ZMOE=90°,

.\ZDOM=ZEON,

在RtADOM和RtAEON中，

Z.MD0=乙NEO

<OD=OE,

NDOM=NEON

\DOM=AEON（ASA）,

：.OM=ON.

（2）如圖2,

作于。，。石_L3C于石，

5萬

由(1)知：OD=—OA,OE=—OB

22f

.ODOAi

'OE~'dB~'kf

由(1)知：

ZDOM=AEON,ZMDO=ZNEO=90°,

/.MX)MS^EON，

.OMODT

一~ON~^E~lcf

:.ON=k?OM.

(3)如圖3,

設(shè)AC=BC=a,

AB=yfla>

?；OB=kOA,

L上

OB=V2------a，OA=C?——a,

k+\k+\

：°E與B=￡a

vZN=ZABC-ZBtW=45o-15o=30°,

EN=°E=8OE=54-a,

tanNNk+\

-/CE=OD=—OA=-^—a,

2攵+1

1「k

.\NC=CE+EN=——a+y/3------a，

k+\k+\

由(2)知：—=—=1,XDOMsbEON,

ONOBk

AM1

：~PN=~k"

.OMAM

~ON~yNf

APONSAAQM,

.\ZP=ZA=45°,ZAMO=ZN=3U,

k

：.PE=OE=——a,

k+1

.-.PN=PE+EN=-^-a+y/3--^-a,

4+14+1

設(shè)AD=OD=x，

DM=&x,

由AZ>+DW=AC+CM得，

(6+l)x=AC+CM,

:.x=^-^(AC+CM)<^^-(AC+^::^-AC)=-AC,