復數(shù)的加減運算及其幾何意義（教學設計）

§一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：復數(shù)的加減運算及其幾何意義．內(nèi)容解析：本節(jié)課選自《普通高中課程標準數(shù)學教科書必修第二冊》（人教A版）第七章第2節(jié)第一課時的內(nèi)容．復數(shù)四則運算是本章的重點，復數(shù)代數(shù)形式的加法的運算法則是一種規(guī)定，復數(shù)的減法運算法則是通過轉(zhuǎn)化為加法運算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，使學生體會數(shù)學思想的素材.通過實例，明確復數(shù)的加減運算法則，發(fā)展數(shù)學運算素養(yǎng).經(jīng)歷復數(shù)加減運算的幾何意義的形成過程，提高直觀想象的核心素養(yǎng)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).二、目標和目標解析目標：（1）通過對定義復數(shù)加法法則的背景的分析，體會規(guī)定復數(shù)加法法則的合理性.（2）明確復數(shù)加法法則和減法法則的具體內(nèi)容，經(jīng)歷應用法則解決復數(shù)加、減運算問題的過程，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng).（3）經(jīng)歷復數(shù)代數(shù)形式的減法定義和復數(shù)加、減法幾何意義的形成過程，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).目標解析：（1）復數(shù)的加法法則是直接規(guī)定的，教學中可以引導學生結(jié)合引入復數(shù)集的過程，即在將實數(shù)集擴充到復數(shù)集時，希望數(shù)集擴充后，在復數(shù)集中規(guī)定的加法、乘法運算，與實數(shù)集中規(guī)定的加法運算、乘法運算協(xié)調(diào)一致，并且運算律也滿足．（2）+bi中的實部和虛部a,b看作常數(shù)，i看作“變元”，從而將復數(shù)a+bi看成是“一次二項式”，進而可以得到兩個復數(shù)相加與兩個多項式相加類似，可以看成是“合并同類項”.基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：熟練掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則．三、教學問題診斷分析教學問題一：在知識儲備上，學生已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系擴充的過程，學習了復數(shù)的概念及其幾何意義，知道復數(shù)a+bi和平面上的點Z(a，b)以及向量OZ一一對應；但探究復數(shù)加法的幾何意義有一定難度.解決方案：在講解本節(jié)前，可在課上先復習平面向量和復數(shù)的幾何意義等相關(guān)知識，再進行新課的學習和探究，這是突破難點的一個重要舉措.教學問題二：復數(shù)加法的幾何意義是本節(jié)課的第二個教學問題．這不僅是本節(jié)課的重點，也是教學難點．解決方案：通過類比向量加法的幾何意義得到復數(shù)加法的幾何意義．教學問題三：如何得到復數(shù)的減法是第三個教學問題．學生很容易把類比向量的減法得到復數(shù)的減法．其實，類比多項式的加減我們既可以得到復數(shù)的加法法則，也可以得到復數(shù)的減法法則．基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：理解復數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到復數(shù)的加減運算及其幾何意義，應該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺．可以讓學生從被動學習狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動學習狀態(tài)中來．在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視加減法法則的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學生體會到類比思想的重要性．五、教學過程與設計教學環(huán)節(jié)問題或任務師生活動設計意圖復習回顧，溫故知新[問題1]試判斷下列復數(shù)SKIPIF1<0在復平面中落在哪象限？并畫出其對應的向量。[問題2]同時用坐標和幾何形式表示復數(shù)SKIPIF1<0所對應的向量，并計算SKIPIF1<0[問題3]向量的加減運算滿足何種法則？教師1：提出問題1．學生1：學生思考,完成.教師2：提出問題2．學生2：學生思考,完成.教師3：提出問題3．學生3：學生思考,完成.通過復習，為引入本節(jié)新課做好鋪墊。建立知識間的聯(lián)系，提高學生概括、類比推理的能力。探索交流，解決問題[問題4]設向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))分別與復數(shù)a＋bi，c＋di對應，那么eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))的坐標如何呢？[問題5]向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是什么？[問題6]按照平面向量減法的幾何意義，你能得出復數(shù)減法的幾何意義嗎？[問題7]類比絕對值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？教師4：提出問題4．學生4：eq\o(OZ1,\s\up6(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d)．教師5：提出問題5．學生5：向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.教師6：提出問題6．學生6：復數(shù)z1－z2的幾何意義就是向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)．教師7：小結(jié)一下：1.加、減法的運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．2.加法運算律對任意z1，z2，z3∈C，有①交換律：z1＋z2＝z2＋z1．②結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3.復數(shù)加、減法的幾何意義如圖所示，設復數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)對應的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對應的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))，與z1－z2對應的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up6(→)).教師8：提出問題7．學生7：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內(nèi)點Z到點Z0的距離．通過思考，類比向量的運算引入復數(shù)的加減運算，提高學生分析問題、概括能力。典例分析，舉一反三1.復數(shù)的加減運算例1計算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．2.復數(shù)加、減運算幾何意義例2已知平行四邊形OABC的三個頂點O，A，C對應的復數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i.(1)求eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數(shù)；(2)求eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復數(shù)．3.復數(shù)加、減運算幾何意義的應用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值與最小值．[課堂練習1]在復平面內(nèi)，A，B，C，三點分別對應復數(shù)1，2＋i，－1＋2i.(1)求eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數(shù)；(2)判斷△ABC的形狀．[課堂練習2]設z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.教師9：完成例題1．學生8：(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.教師10：完成例題2．學生9：(1)因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))表示的復數(shù)為－(3＋2i)，即－3－2i.(2)因為eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.教師11：完成例題3．學生10：由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在復平面上，復數(shù)z對應的點Z與復數(shù)－3＋4i對應的點C之間的距離等于1，故復數(shù)z對應的點Z的軌跡是以C(－3,4)為圓心，半徑等于1的圓．而|z|表示復數(shù)z對應的點Z到原點O的距離，又|OC|＝5，所以點Z到原點O的最大距離為5＋1＝6，最小距離為5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.教師12：布置課堂練習1、2．學生11：完成課堂練習，并核對答案．通過例題進一步鞏固復數(shù)的加減運算，提高學生的概括問題的能力、解決問題的能力。[課堂練習1]鞏固復數(shù)加減法的幾何意義．[課堂練習2]能用復數(shù)的幾何意義解決綜合問題.課堂小結(jié)升華認知[問題7]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的結(jié)果為()A．5－3iB．3＋5iC．7－8i D．7－2i2．已知復數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為____________．3.若|z－1|＝|z＋1|，則復數(shù)z對應的點在()A．實軸上B．虛軸上C．