2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷） 解板版

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)甲卷)

文科數(shù)學(xué)

一、選擇題

1.設(shè)集合〃={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},則McN=()

A.{759}

B.{5,7,9)

C.{3,5,7,9)

D.{1,3,5,7,9)

答案：

B

解析：

依題意可知N={x|x>3.5}，所以McN={5,7,9}.

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)

查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論不正確的是()

A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

答案：

c

解析：

A.低于4.5萬(wàn)元的比率估計(jì)為0.02x1+0.04x1=0.06=6%,正確.

B.不低于10.5萬(wàn)元的比率估計(jì)為(0.04+0.02X3)X1=0.1=10%,正確.

C.平均值為(3x().()2+4x().()4+5x().l+6x0.14+7x().2+8x0.2+9x().l+l()x0.1+

11x().04+12x0.02+13x0.02+14x().02)x1=7.68萬(wàn)元，不正確.

D.4.5萬(wàn)到&5萬(wàn)的比率為0.1x1+0.14x1+0.2x1+0.2x1=0.64,正確.

3.已知(1-i>z=3+2i,貝Uz=()

-l--z

2

答案：

B

解析：

3+2/3+2，-2+3/,3.

(1)2-萬(wàn)22

4.下列函數(shù)中是增函數(shù)的是()

A./(x)=-X

B./u)=(|r

c.f(x)=x2

D.f(x)=\/~x

答案：

D

解析：

2

Vf(x)=-x,f(x)=(-)r,在尺上單調(diào)遞減，/(為=/在(一8,0)上單調(diào)遞減，故A,

B,C錯(cuò)誤；/(x)=也在H上單調(diào)遞增，故D正確.

22

5?點(diǎn)(3,0)到雙曲線二一匕=1的一條漸近線的距離為()

169

答案：

A

解析：

fv232v2

雙曲線1=1的漸近線為y=±jx,則點(diǎn)(3,0)到雙曲線%竟一方=1的一條漸近線的

3x3+0_9

距離為

V32+42=5

6.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已

知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為

('Vio?1.259)()

A.1.5

B.1.2

c.0.8

D.0.6

答案:

c

解析:

代入L=5+lgV,知lgV=4.9—5=-O.l,故V=1(T°」

廂

7.在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G,該正方體截去三棱錐

A—EFG后,所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()

正視圖

C.

D.

答案：

D

解析：

由題可得直觀圖，如下圖.故選D.

8.在AABC中，已知3=120°,AC=M,AB=2,則3C=()

A.1

B.y/2

C.V5

D.3

答案：

D

解析：

由余弦定理可得AC?=他2+BC2-2AB-BCcosZABCBC2+2BC-15=0,解得

BC=3.

9.記S,為等比數(shù)列｛%｝的前/項(xiàng)和.若S?=4,S4=6,則S6=()

A.7

B.8

C.9

D.10

答案：

A

解析：

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：S2，S4_S2，S6—S4成等比數(shù)列，即4,2,成等比數(shù)列，所以

$6-6=1,即$6=7,故選A

10.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)。不相鄰的概率為（）

A.0.3

B.0.5

C.0.6

D.0.8

答案：

C

解析：

求出所有的排列數(shù)，先將3個(gè)1排成一排，有4個(gè)空位，當(dāng)每個(gè)空位排一個(gè)0,即從4個(gè)空

位中選2個(gè)，有6種排法，此時(shí)2個(gè)0不相鄰：當(dāng)兩個(gè)0相鄰時(shí)，即從4個(gè)空位中選出一個(gè)

來(lái)排兩個(gè)0,有4種選法，從而總的排法數(shù)有10個(gè)，再根據(jù)古典概型概率公式可得概率

—=0.6，故選C.

10

TTCOS(1

11.若。￡(0,々)，tan2a=,則tana=()

22-sina

V15

昱

5

苴

3

D.巫

3

答案：

A

解析：

cosa

tan2a=

2-sin(7

2tana_2sinacosa_cosa

tan2a二

1-tan12acos2a-sin2a2—sina

/.2sina(2-sina)=cos2a-sin2a

4sin6Z-2sin2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a

sina=一

4

又「aG(0,—).如圖，tana=」==」^

2,V1515

12.設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(l+x)=/(—x).若/(—?=；,則/(￡=()

答案：

C

解析：

v/(X)是定義在尺上的奇函數(shù),

/(l+x)=/(-x)=-/(x)

/./(l+x)=-/(x),

/(2+x)=-/(l+x)=/(x)

.??/(x)周期為2的周期函數(shù).

?心得2)T4

二、填空題

13.若向量滿足|a|=3,|。一萬(wàn)|=5,=貝”B|=.

答案：

372

解析：

|?-S|=5,：.a2-2ab+h2=25,A|a|2-2a&+1|2=25,，9-2+而=25,

??.歷『=18,：.\h\=372.

14.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30%,則該圓錐的側(cè)面積為

答案:

解析:

圓錐底面半徑r=6,體積丫=,仃2/?=30萬(wàn)，則圓錐的高/?=*,則母線長(zhǎng)

I=yj/r+r2=—,則圓錐的側(cè)面積S=,x2萬(wàn)〃=39萬(wàn).

n

15.已知函數(shù)/(X)=2COS(GX+0)的部分圖像如圖所示，則/(7)=.

2,r--------------八

13乃

~VL

答案:

-V3

解析：

由圖可知-T=—K--=-7r^T=7r=—^a）=2,由

41234

/（—乃）=2n2cos（^—+夕）=2n+*=2〃n夕=—,

所以/(1)=2cos(2x|-^)=-V3.

16.已知耳，F(xiàn)?為橢圓C:荒+千=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩

點(diǎn)，且1尸。1=1耳61，則四邊形尸耳。鳥(niǎo)的面積為.

答案：

解析：

答案：

8

解析：

如圖，由|PQR耳瑪|及橢圓對(duì)稱性可知，四邊形P4QE為矩形.

設(shè)|尸耳|=機(jī)，|PF,|=〃，貝IJ[”:"二0工上①得2,加=16.所以，四邊形

■=”外『=48②2'

面積為run=8.

17.甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)

品的質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

n(ad-be)2

附：K2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

答案:

見(jiàn)解析

解析：

(1)由表格數(shù)據(jù)得：

甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為空=3；

2004

乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為9=3；

2005

400x(150x80-120x50)2

(2)?10.256>6.635.

由題意心而緇潦扁200x200x270x30

所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

18.記5?為數(shù)列｛為｝的前幾項(xiàng)和，已知〉0,%=3q，且數(shù)歹U｛瘋｝是等差數(shù)列，證明：

｛為｝是等差數(shù)列.

答案：

見(jiàn)解析

解析：

；｛1｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.：.國(guó)-JS=d,即國(guó)一向=△?

??Jq—cl—JS],??JS“—JS]+(〃-l)d—nd.

S“=//，.../=S?-S吁i=n2d2-(?-l)2d2=(2〃-1)d2(n>2),

即a,,=2d??〃-4/2(〃22),又同樣滿足通項(xiàng)公式，所以｛q｝是等差數(shù)列.

19.已知直三棱柱4BC-481C1中，側(cè)面44出8為正方形.4B=BC=2,E,F分別為4C和

CG的中點(diǎn)，BFJ.4B1.

⑴求三棱錐F-EBC的體積；

(2)已知。為棱為當(dāng)上的點(diǎn)，證明：BF1DE.

答案：

見(jiàn)解析；

解析；

(1)BF±-則=A/7?=5R2+AB2=%

又A/2=代2+AC2nAe2=8則.J_BC.

AC=2后，匕Tsc=；/_A8c=；x；x；x2x2xl=g.

(2)連Ag,取BC中點(diǎn)M連旦M,EM,

由石M為AC,8c的中點(diǎn)，則EM//45,

又ABIIA、B\,%BJIEM,則人用腔共面，故OEu面AqME.

又在側(cè)面BCCE中^FCB=AMBB,,則BF1MB,

BFLA.B,

又MgnA4=81面4MME，則3b，z)￡.

u面4旦ME

20.設(shè)函數(shù)/(x)=a2x2+℃-31nx+1,其中a>0.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

答案：

見(jiàn)解析

解析：

-232a2x2+ar-3(2ax+3}(ax-l)

(1)f(x)=2a'x+a——=------------=--------------

XXX

,：a>0,x>0,2"+3>0,...當(dāng)無(wú)€(0,')時(shí)/'(x)<0函數(shù)單調(diào)遞減，

a

當(dāng)xe(',+8)時(shí)，/'(幻>(),函數(shù)單調(diào)遞增.

a

.../(對(duì)在(0,工)上遞減，在(，,+8)上遞增，

aa

(2)當(dāng)Xf。時(shí)/(X)>0,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可知若/(%)與X無(wú)交點(diǎn)時(shí)/(X)min>0

即/(—)=?2x^-+?x—-31n—+1>0.

aa~aa

化簡(jiǎn)可得ln,<l即L<en1<a.所以參數(shù)a的取值范圍為d,+oo)

aaee

21.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，直線/:x=l交。于P,。兩點(diǎn)，且

OPLOQ,已知點(diǎn)M(2,0),且0M與/相切.

(1)求C,0M的方程；

(2)設(shè)4,A,4是c上的三個(gè)點(diǎn)，直線AA?,4A3均與0M相切，判斷直線與

0M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

答案：

見(jiàn)解析

解析：

(1)C'.y2=x,0M:(x-2)2+y2=\.

2

(2)設(shè)A(/,a),A2sI/?),A3(C,C).

I,

l:y-a--------(x—a)=>x-(Q+/7)y+ah=O,所以

A々A2a+b

J2+"l=]①

Jl+(a+Z?)2

19

------(X-Q)=>x-(Q+c)y+ac=O,所以

a+c

.12+ac|

d=—T---------U==]②.

Jl+(a+c『

\2+ax\

所以6,c是方程=1n(/_I)/+2改一。2+3=0的兩根

Jl+(a+xf

又/4為：入一S+c)y+A=O，所以

in.3~^2I

,12+尻|?/片|/+“

a———=————=———].

J]+S+c)-J]?(2a,Ja*+2cr+1

所以。=r,即直線A2A3與0M相切.

22.在直角坐標(biāo)系xO)，中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的

極坐標(biāo)方程為夕=2&cos6.

(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；