全國卷理科數(shù)學高三一輪復習資料、強化訓練、復習補習資料-11總復習：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

實用文檔PAGE指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【考綱要求】1.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實數(shù)集；3.掌握指數(shù)函數(shù)的概念，了解對底數(shù)的限制條件的合理性，明確指數(shù)函數(shù)的定義域；4.掌握指數(shù)函數(shù)圖象：5.通過對指數(shù)函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)的學習，培養(yǎng)觀察、分析歸納的能力，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；【知識網(wǎng)絡】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)指數(shù)運算性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)指數(shù)的概念【考點梳理】考點一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運算性質(zhì)(1)整數(shù)指數(shù)冪的概念(2)運算法則①；②；③；④.考點二、根式的概念和運算法則(1)n次方根的定義：若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，則x稱為y的n次方根.要點詮釋：n為奇數(shù)時，正數(shù)y的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負數(shù)y的奇次方根有一個，是負數(shù)，記為；零的奇次方根為零，記為；n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為；負數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.(2)根式的意義與運算法則考點三、分數(shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定a>0，n，mN*，且為既約分數(shù)，分數(shù)指數(shù)冪可如下定義：考點四、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)(2)(3)當a>0，p為無理數(shù)時，ap是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用.要點詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪運算；(2)根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如；(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如.考點五、指數(shù)函數(shù)(1)定義：函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域為R.(2)圖象及性質(zhì)：y=ax0<a<1時圖象a>1時圖象圖象性質(zhì)義域R，值域（0，+∞）②a0=1,即x=0時，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點③ax=a，即x=1時，y等于底數(shù)a④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤x<0時，ax>1x>0時，0<ax<1⑤x<0時，0<ax<1x>0時，ax>1⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【典型例題】類型一、指數(shù)運算、化簡、求值例1.已知，且，求的值?！窘馕觥俊究偨Y(jié)升華】運算順序(能否應用公式)；舉一反三：【變式】計算下列各式：(1)；(2)；(3).【解析】(1)原式；(2)原式=；(3)原式.類型二、函數(shù)的定義域、值域例2．求下列函數(shù)的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))【解析】(1)函數(shù)的定義域為R(∵對一切xR，2x≠-1).∵，又∵2x>0，1+2x>1，∴，∴，∴，∴值域為(0，1).(2)定義域為R，，∵2x>0，∴即x=-1時，y取最小值，同時y可以取一切大于的實數(shù)，∴值域為[).(3)定義域為R，∵|x|≥0，∴-|x|≤0，∴，∴值域為(0，1].(4)∵∴定義域為(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵，∴，∴值域為[1，a)∪(a，+∞).【總結(jié)升華】求值域時有時要用到函數(shù)單調(diào)性；第(3)小題中值域切記不要漏掉y>0的條件，第(4)小題中不能遺漏.舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的定義域：(1)(2)(3)【解析】(1)需滿足3-x≥0，即(3)為使得函數(shù)有意義，需滿足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0(4)a>1時，；0<a<1時，.類型三、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例3．（2017山東）判斷下列各數(shù)的大小關(guān)系：(1)(2)22.5，(2.5)0，(3)1.080.3與0.983.1(4)【解析】(1)(2)(3)1.080.3>1>0.983.1(4)a>1時，0<a<1時，【總結(jié)升華】(1)注意利用單調(diào)性解題的規(guī)范書寫；(2)不是同底的盡量化為同底數(shù)冪進行比較(因為同底才能用單調(diào)性)；(3)不能化為同底的，借助一個中間量來比較大小(常用的中間量是0和1).舉一反三：【變式1】（2017西安模擬）已知，，，則的大小關(guān)系為（）【答案】D【解析】解：因為函數(shù)是R上的增函數(shù),且所以即構(gòu)造函數(shù)則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.即又綜上.【變式2】求函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間.【解析】設u=-x2+3x-2，y=3u，其中y=3u為R上的單調(diào)增函數(shù)，u=-x2+3x-2在上單增，u=-x2+3x-2在上單減，則在上單增，在上單減.又u=-x2+3x-2，的值域為.例4.化簡：【解析】類型四、判斷函數(shù)的奇偶性例5．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(為奇函數(shù))【解析】f(x)定義域關(guān)于原點對稱(∵定義域關(guān)于原點對稱，且f(x)的定義域是定義域除掉0這個元素)，令，則∴g(x)為奇函數(shù)，又∵為奇函數(shù)，∴f(x)為偶函數(shù).舉一反三：【變式】判斷函數(shù)的奇偶性：.【解析】定義域{x|xR且x≠0}，又，∴f(-x)=f(x)，則f(x)偶函數(shù).類型五、指數(shù)函數(shù)的圖象問題例6.（2017貴陽二模）函數(shù)與的圖象如圖，則下列不等式一定成立的是（）【答案】D【解析】由圖像可知，a>1,b<0;所以故選D.【總結(jié)升華】用函數(shù)圖象解決問題是中學數(shù)學的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等．【鞏固練習】一、選擇題：1.若，且，則的值等于（）A.B.C.D.22.函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.3.(2018新課標全國Ⅲ)已知，，，則（A）（B）（C）（D）4.（2017天津）已知定義在R上的函數(shù)（為實數(shù)）為偶函數(shù)，記，則a，b，c的大小關(guān)系為（）5.(2017泉州模擬)函數(shù)（其中）的圖像如圖所示，則函數(shù)的大致圖像是（）6.已知，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限7.是偶函數(shù)，且不恒等于零，則()A.是奇函數(shù)B.可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)C.是偶函數(shù)D.不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)8.(2017河南二模)已知，記，，則的大小關(guān)系是（）二、填空題：9.設函數(shù)若，則的取值范圍是_________.10.函數(shù)的值域是_______________.11.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_______________.12.(2017福建高考)若函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值等于.三、解答題：13.已知，求的最小值與最大值.14.設，，試確定的值，使為奇函數(shù).15.已知函數(shù)，求其單調(diào)區(qū)間及值域.16.若函數(shù)的值域為，試確定的取值范圍.17.已知函數(shù)，(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求該函數(shù)的值域；(3)證明是上的增函數(shù).【參考答案與解析】一、選擇題題號12345678答案CDABAAAC3.A【解析】因為，，所以.故答案選A．4.B【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，得m=0.所以，當x>0時，f（x）為增函數(shù)，，故選B.5.A【解析】由的圖像可知，，則函數(shù)為減函數(shù)，且，故答案為A.8.C【解析】考查選項，不妨令，則，顯然，排除選項.若則整理得觀察可得，與矛盾，排除D.故選C.12.【答案】1【解析】，關(guān)于對稱，函數(shù)，為對稱軸，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,的最小值為1.二、填空題9.，當時，由可知，；當時，由可知，，∴或.10.，令，∵，又∵為減函數(shù)，∴.11.，令，∵為增函數(shù)，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.12.0，三、解答題：13.，∵，∴