2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國通用）：專題01 雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型（原卷版）

專題01.雙中點(diǎn)（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發(fā)，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東七年級期中）如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D，線段，長度為2的線段在線段上運(yùn)動，分別取線段、的中點(diǎn)、，則．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，現(xiàn)給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號是．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類推……，線段的長為．例5．（2022秋·山東青島·七年級?？计谀┲本€l上有三點(diǎn)A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點(diǎn)則的長是．例6．（2023·河南周口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)．(1)若，求的長；(2)若，，求的長；(3)若，求的長．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)在線段上，，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．(1)求線段的長；(2)若點(diǎn)在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．例8．（2022春·湖南株洲·七年級統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時，我們稱為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時，則，記作；反過來，當(dāng)時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，相向而行，運(yùn)動速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，點(diǎn)、同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時，點(diǎn)、同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為．則當(dāng)為何值時，等式成立．例9．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動點(diǎn)P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時，直接寫出時間t．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例1．（2022秋·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，是內(nèi)部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知射線在內(nèi)部，平分平分平分，以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論有（填序號）．

例3．（2023·河南·七年級校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

例4．（2022秋·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內(nèi)部，OC在∠BOD的內(nèi)部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．A．當(dāng)∠BOC＝30°時，∠EOD的度數(shù)為．B．當(dāng)∠BOC＝α°時，∠EOD的度數(shù)為（用含α的代數(shù)式表示）．例5．（2023·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）例6．（2022秋·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為__________．(2)如圖2，已知，過點(diǎn)O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．例9．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取，再截取，則的中點(diǎn)與的中點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·海南·七年級統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或3．（2023秋·江西上饒·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④4．（2023秋·江蘇徐州·七年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個中點(diǎn)所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．5．（2023秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動，且．下列說法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，若P是線段延長線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動過程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作直角，以點(diǎn)為端點(diǎn)作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．7．（2023秋·山西大同·七年級統(tǒng)考期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或8．（2023秋·廣西崇左·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)的一條射線，平分，平分，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．9．（2023吉林七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（

）A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補(bǔ)角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個10．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022秋·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖：數(shù)軸上點(diǎn)、、表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．、為數(shù)軸上兩個動點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)從點(diǎn)向左運(yùn)動，速度為每秒3個單位長度，、同時運(yùn)動，運(yùn)動時間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時，；④當(dāng)時，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．（填序號）12．（2023秋·安徽六安·七年級校考期末）如圖，已知、是內(nèi)部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數(shù)為度；②若，，則的度數(shù)為度(用含x的代數(shù)式表示)．13．（2023春·四川達(dá)州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長度之和為91，則．14．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．15．（2023秋·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段上，P，Q分別是的中點(diǎn)，若，則．16．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎欣頂?shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時，；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動過程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變．所有結(jié)論正確的序號是．17．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數(shù)a，b滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)是a，線段在直線上運(yùn)動（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），．下列結(jié)論：①；②當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時，；③當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時，若點(diǎn)P是線段BC延長線上的點(diǎn)，則；④在線段運(yùn)動過程中，若M為線段的中點(diǎn)，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長度不變．所有結(jié)論正確的序號是．18．（2023秋·湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在直線上，線段，動點(diǎn)從出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度在直線上運(yùn)動，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時間為秒．(1)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)時，；(2)若點(diǎn)在射線上運(yùn)動，當(dāng)時，求點(diǎn)的運(yùn)動時間的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長線上運(yùn)動時，線段、、有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．19．（2023秋·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時，即，則；反之，當(dāng)時，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應(yīng)用】如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動．同時，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動時，的值是個定值，求m的值；②t為何值時，．20．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長短時對下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)在線段上，，分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長．(1)根據(jù)題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)的長度具有一個特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設(shè)，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點(diǎn)，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長．③若，分別是，的等分點(diǎn)，即，，則______．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習(xí)）已知：射線在內(nèi)部，平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時，作射線的反向延長線，在的下方，且，反向延長射線得到射線，射線在內(nèi)部，是的平分線，若，，求的度數(shù)．22．（2023秋·安徽池州·七年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，已知內(nèi)部有三條射線，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數(shù)；（3）如圖2，若、在的外部時，平分，平分，當(dāng)，時，猜想：與的大小有關(guān)系嗎？如果沒有，指出結(jié)論并說明理由．23．（2023秋·河北邢臺·七年級校聯(lián)考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當(dāng)，重合時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)在內(nèi)部時，若，求的度數(shù)；(3)當(dāng)和的位置如圖3時，求的度數(shù)．24．（2023·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究【背景知識】如圖甲，已知線段，，線段在線段上運(yùn)動，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．(1)若，則

；(2)當(dāng)線段在線段上運(yùn)動時，試判斷的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出的長度，如果變化，請說明理由；【類比探究】(3)對于角，也有和線段類似的規(guī)律．如圖乙，已知在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，，分別平分和，若度，度，求．25．（2023·江蘇七年級課時練習(xí)）（理解新知）如圖①，點(diǎn)M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“奇妙點(diǎn)”，（1）線段的中點(diǎn)這條線段的“奇妙點(diǎn)”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若，點(diǎn)N是線段CD的“奇妙點(diǎn)”，則