混沌運(yùn)動(dòng)中鑼鼓映射的非線性放大模型

混沌運(yùn)動(dòng)中鑼鼓映射的非線性放大模型

1.混沌控制和符號(hào)動(dòng)力學(xué)在信號(hào)檢測(cè)與放大方面的應(yīng)用所謂弱信號(hào)，是指有用信號(hào)的振幅相對(duì)于噪聲較小。在機(jī)械、電子、控制、醫(yī)學(xué)等各種工程實(shí)踐中，弱信號(hào)的檢測(cè)和處理已成為一個(gè)研究領(lǐng)域之一。同時(shí)，非線性理論在信號(hào)檢測(cè)方面的研究日益受到重視。在文獻(xiàn)中，我們研究了云映射噪聲變化的原理和性質(zhì)。在文獻(xiàn)中，我們提出了通過(guò)測(cè)量合并軌道的變化來(lái)測(cè)量參數(shù)變化的原理。在文獻(xiàn)中，模型類如何用于轉(zhuǎn)換a-d，并設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)電路。在文獻(xiàn)中，基于貝希映射和cpld的混合a-d檢測(cè)器。近年來(lái)，對(duì)于分散映射系統(tǒng)的混合控制和信號(hào)動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用進(jìn)行了許多研究[5-12]。文獻(xiàn)采用信號(hào)重建方法，研究了混音源對(duì)應(yīng)的路徑，實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的盲分離。文獻(xiàn)分析了波管模擬器中輻射場(chǎng)發(fā)展的極端環(huán)境噪聲和混沌狀態(tài)下的電流閾值。通過(guò)參數(shù)控制，可以在非點(diǎn)區(qū)域獲得高輸出。文獻(xiàn)提出了基于離散時(shí)間混合系統(tǒng)的混合通信方法。在文獻(xiàn)中，我們調(diào)查了基于符號(hào)動(dòng)態(tài)的一致色度圖像網(wǎng)格系統(tǒng)的初始估計(jì)。這些工作在評(píng)價(jià)和探索混淆理論方面發(fā)揮了重要作用。傳統(tǒng)的信號(hào)放大方法是建立在線性放大原理上的,在信號(hào)放大中發(fā)揮著十分重要的作用.線性放大原理在一定的線性范圍內(nèi)容易實(shí)現(xiàn)不失真放大,然而當(dāng)信號(hào)中含有噪聲時(shí),線性放大器在放大有用信號(hào)的同時(shí)噪聲以及測(cè)量誤差也會(huì)被成比例的放大,而且放大倍數(shù)常常受到系統(tǒng)線性工作范圍的限制.利用混沌理論進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)與放大,尤其是微弱信號(hào)的檢測(cè)與放大可以改善上述不足.混沌運(yùn)動(dòng)的最大特點(diǎn)之一就是對(duì)初值的敏感依賴性.即混沌系統(tǒng)中初值若有一個(gè)微小的變化就會(huì)引起運(yùn)動(dòng)軌道的巨大變化.利用這一特點(diǎn),可以設(shè)計(jì)出初值與混沌軌道具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型及測(cè)量放大系統(tǒng),只要能將被測(cè)信號(hào)轉(zhuǎn)換為混沌式測(cè)量系統(tǒng)的初值就可以實(shí)現(xiàn)在有限區(qū)間內(nèi)對(duì)微弱信號(hào)的放大,而且信號(hào)放大倍數(shù)不受限制,靈敏度高,抗干擾能力強(qiáng).因此,這一特點(diǎn)為微弱信號(hào)的檢測(cè)與處理提供了一種有應(yīng)用價(jià)值的前景.本文以帳篷映射為例,根據(jù)混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)初始值的敏感依賴性及初始值和混沌軌道的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,建立了微弱信號(hào)的非線性放大模型,并對(duì)常見信號(hào)進(jìn)行了模擬仿真.2.非線性信號(hào)放大原理2.1.軌道非線性分離由混沌動(dòng)力學(xué)理論可知,混沌運(yùn)動(dòng)具有對(duì)初值和參數(shù)的敏感依賴性和遍歷性,因此初值的細(xì)微變化,將導(dǎo)致不同的運(yùn)動(dòng)軌道,并出現(xiàn)非線性分離,這一特性啟發(fā)人們通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)幕煦缬成?可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)按非線性關(guān)系的快速放大;而且可以證明軌道與初始值是一一對(duì)應(yīng)的,這樣就可以設(shè)定軌道,使得非線性軌道變得有序,滿足輸入和輸出一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.在混沌映射中,最常見的有帳篷映射、鋸齒映射、拋物線映射等,下面以帳篷映射為例來(lái)研究混沌式放大的機(jī)理.2.2.帳篷映射及其模型的構(gòu)建2.2.1.比較兩組放大電路的建立帳篷映射可用如下方程式描述:這是一般形式,帳篷映射又稱人字映射.為方便模型計(jì)算,這里取參數(shù)μ=2,并把映射的變化范圍限制到區(qū)間上,(1)式可以寫為如下形式:帳篷映射如圖1所示.在所給定的區(qū)間上,對(duì)于參數(shù)μ=2時(shí)T2(xn)是混沌的.現(xiàn)在分別取x=0.0001,y=0.0001-0.000001=0.000099,二者相差10-6,觀察其計(jì)算結(jié)果.剛開始迭代值很相近,實(shí)線和虛線幾乎重疊,但是經(jīng)過(guò)有限次迭代后,從圖2(a)的后半部分可以看出其數(shù)值曲線明顯不同.由(4)式及數(shù)值計(jì)算結(jié)果可見,若按帳篷映射關(guān)系式(2)進(jìn)行放大系統(tǒng)設(shè)計(jì),在有界的區(qū)間內(nèi),一次迭代就可以把信號(hào)放大2倍,按映射關(guān)系進(jìn)行有限次(n次)迭代后,就可把信號(hào)按2n倍迅速放大到需要的水平,而且不受線性范圍和放大倍數(shù)的限制.而在線性放大中不但放大倍數(shù)是一個(gè)常數(shù),而且其工作量程也會(huì)受到線性范圍的限制.2.2.2.由實(shí)機(jī)關(guān)映射的x0x0式當(dāng)存在很多不同的有微小差別的初始值時(shí),是否存在軌道與初值一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系呢,答案是肯定的,下面給予證明.設(shè)帳篷映射的輸入值為對(duì)應(yīng)于帳篷映射這個(gè)離散非線性系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0,x0用二進(jìn)制表示為為得到離散帳篷映射的迭代輸出與初始值x0的關(guān)系,引入另一個(gè)非線性映射-移位映射,又稱鋸齒映射:這一映射的作用是每迭代一次,就將二進(jìn)制數(shù)a1,a2,a3,a4,…向左依次移出一個(gè)二進(jìn)制位,即y1=S2(y0)=0.a2a3a4,…;y2=S2(y1)=0.a3a4…;因?yàn)閍i不是0就是1,所以將x0乘以2,即相當(dāng)于(5)式的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位,即a1.a2a3a4….若x0<1/2,即a1=0,則移位后得到的就是所求結(jié)果;若x0≥1/2,即a1=1,那么減去1后的結(jié)果仍然是因此,鋸齒映射迭代一次就等價(jià)于每次小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位的移位映射.而帳篷映射中,若x0<1/2,則T2(x0)=S2(x0);若x0≥1/2,由于帳篷映射的2-2x0=1-(2x0-1)=1-S2(x0),則相當(dāng)于最后一位非零的數(shù)不變,其他的數(shù)字是1的變?yōu)?,是0的變?yōu)?.在實(shí)際研究中,一般取有限值,即假設(shè)數(shù)字總共為m個(gè),則y1=S2(y0)=0.a2a3a4…am-1am,am≠0,否則沒(méi)有意義.由于是二進(jìn)制,所以am=1,此時(shí),x1=T2(x0)=0.(1-a2)(1-a3)…(1-am-1)am,即若yn-1≥1/2,則這就是輸出xn與輸入x0之間的二進(jìn)制對(duì)應(yīng)關(guān)系.由(8)式和(9)式可見,混沌系統(tǒng)雖然敏感的依賴于初始條件,但是每個(gè)初始值都對(duì)應(yīng)一個(gè)軌道,并且可以根據(jù)初值,在有限的范圍內(nèi)找到輸出與輸入之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.在一般的工程實(shí)際中,常見的信號(hào)大都是中低頻信號(hào),針對(duì)中低頻信號(hào)設(shè)計(jì)的混沌式放大系統(tǒng),其輸入與輸出一一對(duì)應(yīng)的迭代關(guān)系可以選在中低頻有界帶寬內(nèi),類似于低通濾波器,噪聲及干擾信號(hào)一般都具有高頻特征,因而在輸入端就會(huì)遭受有效的阻隔,起到抑制噪聲的作用.另外,由帳篷映射方程式(2)可見,式中第一部分是將原有長(zhǎng)度伸長(zhǎng)2倍,第二部分是將伸長(zhǎng)的間隔折疊回來(lái),使其狀態(tài)不至于演化到無(wú)窮.其中的折疊映射是受大周期輸入信號(hào)xn控制的,而對(duì)進(jìn)入混沌系統(tǒng)的噪聲則會(huì)在迭代過(guò)程中因方向相反的折疊映射得到相消,從而也削弱了噪聲的輸出.3.數(shù)值模擬根據(jù)以上理論分析,分別選擇正弦信號(hào)、帶有噪聲的正弦信號(hào)為例,用Matlab6.5進(jìn)行數(shù)值仿真.3.1.非線性迭代問(wèn)題的解決在利用帳篷映射放大之前,還有兩個(gè)技術(shù)問(wèn)題需要解決,一是在映射過(guò)程中如何保證非線性意義上的放大;二是如何保證放大過(guò)程中數(shù)值迭代的精確性.從混沌及其應(yīng)用中關(guān)于解序列的可能形態(tài)可知,當(dāng)初值x0是用真分?jǐn)?shù)表示的有理數(shù),且分母有非2的因子時(shí),通過(guò)帳篷映射的非線性軌道是周期的,由于在實(shí)際取值時(shí)采用小數(shù)制,所以分母中含有非2因子,故可以有周期序列解.根據(jù)解序列可以是周期性的前提,接下來(lái)對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題逐一解決.第一個(gè)問(wèn)題是要求迭代值超過(guò)中間點(diǎn)0.5,迭代從帳篷圖像的左半支進(jìn)入右半支,才能實(shí)現(xiàn)非線性映射.例如,取初值x0=0.001,要求放大64倍,即26倍,若只迭代六次,使得x6=x5×2=(x4×2)×2=…=x0×26=0.064(由于x6<1/2),這時(shí)雖然達(dá)到了設(shè)計(jì)的倍數(shù),但是仍然處在線性迭代區(qū)間,沒(méi)有實(shí)現(xiàn)非線性迭代.所以只有使得迭代值大于0.5,才會(huì)產(chǎn)生折疊,進(jìn)入非線性迭代.實(shí)現(xiàn)非線性迭代的流程圖如圖3所示,令迭代次數(shù)大于一個(gè)周期,當(dāng)?shù)翟俅蔚扔?.064時(shí),就可以得出所求數(shù)值.圖4是利用MATLAB編程,迭代出兩個(gè)周期的結(jié)果對(duì)比,中間的直線為區(qū)分第一個(gè)周期和第二個(gè)周期的分界線,左半部為第一個(gè)周期,右半部為第二個(gè)周期,由此可見,實(shí)現(xiàn)了非線性迭代.第二個(gè)問(wèn)題是在實(shí)際編程中如何處理浮點(diǎn)值的問(wèn)題.由于微弱信號(hào)的頻率較低,經(jīng)過(guò)多次迭代會(huì)導(dǎo)致誤差增大,無(wú)法得到精確值.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題采用了整數(shù)迭代方法.首先乘以一個(gè)倍數(shù),讓初始值x0變?yōu)閤0B,使要迭代的值成為整數(shù),在帳篷映射函數(shù)中也乘以相同的倍數(shù),最后令迭代輸出的值再除以B,即為xn/B.迭代方程為3.2.線性放大和帳射放大的誤差首先,設(shè)未含噪聲的微弱周期信號(hào)為y=asin(8x),取a=0.001mV,放大26倍,即64倍.a的選取直接影響到y(tǒng)的取值范圍,由于是微弱信號(hào),y的值比較小,一般取在0.1V以下,達(dá)到可觀測(cè)水平即可.仿真結(jié)果如圖5所示.由圖5可見,由于無(wú)噪聲影響,經(jīng)過(guò)線性放大和帳篷映射放大后的曲線形狀是完全一樣的.然后對(duì)圖5中的正弦信號(hào)加白噪聲,即設(shè)y=0.001(sin(8x)+0.07nl),這里nl是白噪聲,0.07是噪聲干擾系數(shù).對(duì)該信號(hào)分別進(jìn)行線性放大和帳篷映射放大64倍.計(jì)算結(jié)果如圖6所示,從圖中可見,線性放大把誤差也成比例的放大了,從而影響測(cè)量精度,表現(xiàn)為圖6(b)中含有較多的毛刺,光滑性比較差;而利用非線性原理放大后,使得圖形的光滑性變得更好,減小了誤差的影響如圖6(c)所示.可見在非線性迭代放大過(guò)程中,對(duì)于設(shè)定的混沌軌道,噪聲對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)并無(wú)影響,或者說(shuō)抑制了噪聲,所以與線性放大結(jié)果比較可以改善放大的結(jié)果.可見,對(duì)于含有噪聲的微弱信號(hào),相對(duì)于線性放大而言,混沌式非線性放大具有抑制噪聲和快速放大的優(yōu)點(diǎn).4.圖像擴(kuò)展時(shí)延與放大電路根據(jù)理論模型(2)式和數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)可設(shè)計(jì)出帳篷映射放大電路如圖8所示.下面說(shuō)明其設(shè)計(jì)思路.先將輸入信號(hào)離散化,為此將輸入信號(hào)看成是若干個(gè)小矩形脈沖信號(hào)隨時(shí)間排列的序列,我們稱為脈沖采樣序列信號(hào).然后再對(duì)每個(gè)脈沖采樣序列信號(hào),用時(shí)序波形控制輸入和迭代的切換.對(duì)于每個(gè)脈沖采樣序列信號(hào)總有一個(gè)周期的時(shí)序波形與之對(duì)應(yīng),用時(shí)序的上邊沿控制脈沖采樣序列信號(hào)的輸入,而下邊沿實(shí)現(xiàn)脈沖采樣序列信號(hào)的迭代.為了保證輸出信號(hào)的不失真,必須控制每個(gè)脈沖采樣序列信號(hào)的放大倍數(shù)相同,而每一點(diǎn)的迭代次數(shù)可由程序計(jì)算出來(lái).每點(diǎn)的迭代次數(shù)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間即是該點(diǎn)放大一定倍數(shù)所需要的時(shí)間,也即為下邊沿的長(zhǎng)度.這樣,只要預(yù)先通過(guò)計(jì)算出每個(gè)采樣點(diǎn)迭代的次數(shù)從而設(shè)計(jì)出相應(yīng)的時(shí)序,就能巧妙的控制信號(hào)不失真的放大.在實(shí)現(xiàn)該思路的過(guò)程中,有兩點(diǎn)問(wèn)題需要注意:1)放大精度如何控制,可以根據(jù)需要確定.例如,對(duì)于每一點(diǎn),都希望其放大128倍,設(shè)迭代后的值為y,初始值為x,采用的控制語(yǔ)句為.2)負(fù)數(shù)部分的映射放大如何處理,本文采用了擴(kuò)展帳篷映射方法.對(duì)于負(fù)數(shù),為了保持原有的圖像形狀,把帳篷映射原有的右半部分圖形相對(duì)于原點(diǎn)作反對(duì)稱處理,如圖7所示,相當(dāng)于對(duì)原有的帳篷映射做了擴(kuò)展,稱為擴(kuò)展帳篷映射.擴(kuò)展的帳篷映射不僅可以對(duì)區(qū)間上的正數(shù)初始值進(jìn)行非線性放大,也可以對(duì)區(qū)間[-1,0]上的負(fù)數(shù)初始值進(jìn)行非線性放大.電路設(shè)計(jì)如圖8所示.該電路包括:一個(gè)采樣信號(hào)源(sinewave),4個(gè)時(shí)鐘信號(hào)發(fā)生器(clock),4個(gè)模擬開關(guān)(switch1-4),3個(gè)比較器(relationaoperator),3個(gè)D觸發(fā)器(Dlatch),2個(gè)加法器(add),1個(gè)采樣保持器(unitdelay),兩個(gè)2倍增益放大器(gain3,gain4),兩個(gè)-2倍增益放大器(gain2,gain5).仍以正弦信號(hào)為例說(shuō)明實(shí)現(xiàn)放大的過(guò)程.正弦信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣后(設(shè)采樣時(shí)間間隔為t)由周期為的時(shí)鐘信號(hào)控制輸入該系統(tǒng)(由于時(shí)鐘信號(hào)前半個(gè)周期為1,后半個(gè)周期為0),當(dāng)時(shí)鐘信號(hào)為1時(shí)控制模擬開關(guān)switch1接通上面支路,輸入為采樣后的正弦信號(hào),輸入時(shí)長(zhǎng)為t/2;當(dāng)時(shí)鐘信號(hào)為0時(shí)模擬開關(guān)受控制自動(dòng)接通下面支路,即此時(shí)輸入switch1的信號(hào)為一次迭代后的信號(hào),時(shí)間長(zhǎng)度為t/2(通過(guò)程序求出迭代指定放大倍數(shù)所需要的時(shí)間后即設(shè)置其為t/2時(shí)長(zhǎng)),這樣對(duì)于前半周期輸入的一個(gè)采樣點(diǎn)的正弦信號(hào),迭代t/2的時(shí)間后即放大了指定的放大倍數(shù).信號(hào)通過(guò)switch1后,每個(gè)采樣點(diǎn)的值與0比較,比較的結(jié)果控制模擬開關(guān)switch2的擺動(dòng):若大于0,上面支路導(dǎo)通,輸入信號(hào)再與0.5比較,經(jīng)過(guò)比較器relationaloperator后,輸出信號(hào)為1或0(大于0.5輸出為1;小于0.5輸出為0).1,0信號(hào)接入D觸發(fā)器的一端,另外一個(gè)輸入端接周期也為t的脈沖信號(hào)(D觸發(fā)器為上跳沿觸發(fā)),經(jīng)過(guò)觸發(fā)器的1,0信號(hào)再控制模擬開關(guān)switch3(若為0,則switch3接通下面支路,輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)2倍增益;若為1,開關(guān)接通上面支路,完成2—2n的運(yùn)算).同理,若小于0,下面支路導(dǎo)通,輸入信號(hào)與-0.5比較的結(jié)果控制模擬開關(guān)switch4,完成類似的比較運(yùn)算.如對(duì)該電路輸入信號(hào)幅值為0.001,ω=1rad/s的正弦信號(hào)如圖9所示,取采樣間隔為0.01s,采樣點(diǎn)數(shù)為100點(diǎn).通過(guò)編程得到其每個(gè)采樣點(diǎn)的迭代次數(shù)為6.因此每個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)序波形低電平長(zhǎng)度為(0.01/2)s,迭代6次,每次需時(shí)(1/1200)s.即設(shè)置采樣保持(unitdelay)時(shí)間為(1/1200)s.從而可構(gòu)造出控制開關(guān)擺動(dòng)的時(shí)序脈沖波形.經(jīng)電路放大后的波形如圖10所示.可以看到,經(jīng)過(guò)放大后的波形幅值為0.128,即為原信號(hào)的128倍,依然為正弦波,沒(méi)有失真.而且由圖11和圖12可見,正弦信號(hào)加白噪聲,經(jīng)過(guò)線性放大器放大后噪聲也被同樣放大,而經(jīng)過(guò)非線性放大器放大后噪聲得到了明顯的抑制.通過(guò)電路模擬試驗(yàn)驗(yàn)證了非線性放大對(duì)噪聲的抑制作用.5.重噪聲背景下的熱誤差在混沌理論的基礎(chǔ)上,根據(jù)符號(hào)動(dòng)力學(xué)原理,提出了微弱信號(hào)的非線