人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講義第12講 向量在物理中的應(yīng)用舉例（含解析）

第課目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1.能用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題和其他實(shí)際問題.2.體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、分析和解決實(shí)際問題的能力．1.通過進(jìn)一步學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中能用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問題和其他實(shí)際問題.2.認(rèn)真體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和抽象出實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)問題作用，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算、分析和解決實(shí)際問題的能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)向量在物理中的應(yīng)用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解．(3)動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算．(4)功是力F與所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積．【即學(xué)即練1】當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，兩人用力方向的夾角為θ，用力大小都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30°B．60°C．90°D．120°答案D解析作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G(圖略)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，當(dāng)|F1|＝|F2|＝|G|時(shí)，△OAC為正三角形，所以∠AOC＝60°，從而∠AOB＝120°.能力拓展能力拓展考法向量在物理中的應(yīng)用【典例1】一條寬為eq\r(3)km的河，水流速度為2km/h，在河兩岸有兩個(gè)碼頭A，B，已知AB＝eq\r(3)km，船在水中的最大航速為4km/h，問該船怎樣安排航行速度可使它從A碼頭最快到達(dá)彼岸B碼頭？用時(shí)多少？解析如圖所示，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))為水流速度，eq\o(AD,\s\up6(→))為航行速度，以AC和AD為鄰邊作?ACED，且當(dāng)AE與AB重合時(shí)能最快到達(dá)彼岸，根據(jù)題意知AC⊥AE，在Rt△ADE和?ACED中，|eq\o(DE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4，∠AED＝90°，∴|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2－|\o(DE,\s\up6(→))|2)＝2eq\r(3)，又AB＝eq\r(3)，∴用時(shí)0.5h，易知sin∠EAD＝eq\f(1,2)，∴∠EAD＝30°.答該船實(shí)際航行速度大小為4km/h，與水流方向成120°角時(shí)能最快到達(dá)B碼頭，用時(shí)0.5h.反思感悟用向量解決物理問題的一般步驟(1)問題的轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．(2)模型的建立，即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型．(3)參數(shù)的獲得，即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值．(4)問題的答案，即回到問題的初始狀態(tài)，解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象．【變式訓(xùn)練】一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)的共同作用下從點(diǎn)A(1,1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0,5)．在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功為________．答案－40解析∵F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,4)，∴F·eq\o(AB,\s\up6(→))＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，即三個(gè)力的合力做的功等于－40.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知兩個(gè)力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，它們的合力大小為SKIPIF1<0，合力與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，它們的合力大小為SKIPIF1<0，合力與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，故選：B2．某人先向東走SKIPIF1<0，位移記為SKIPIF1<0，接著再向北走SKIPIF1<0，位移記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示（

）A．向東南走SKIPIF1<0 B．向東北走SKIPIF1<0C．向東南走SKIPIF1<0 D．向東北走SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意知：SKIPIF1<0，位移方向?yàn)闁|北方向，SKIPIF1<0表示向東北走SKIPIF1<0.故選：D.3．一物體在力F→的作用下，由點(diǎn)SKIPIF1<0移動(dòng)到點(diǎn)SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0，則F→對(duì)該物體所做的功為（

）A．SKIPIF1<0 B．15 C．28 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，設(shè)F→對(duì)該物體所做的功為：SKIPIF1<0故選：B4．一質(zhì)點(diǎn)在力SKIPIF1<0＝(﹣3，5)，SKIPIF1<0＝(2，﹣3)的共同作用下，由點(diǎn)A(10，﹣5)移動(dòng)到B(-4，0)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的合力F對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為（

）A．24 B．﹣24 C．110 D．﹣110【答案】A【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的合力SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，SKIPIF1<0，則由共點(diǎn)力平衡得合力SKIPIF1<0對(duì)該質(zhì)點(diǎn)所做的功為SKIPIF1<0.故選：A.5．一質(zhì)點(diǎn)受到同一平面上的三個(gè)力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成120°角，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小都為6牛頓，則SKIPIF1<0的大小為______牛頓.【答案】6【詳解】設(shè)三個(gè)力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別對(duì)于的向量為：SKIPIF1<0則由題知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的大小為：6故答案為：66．已知力SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0三個(gè)力的合力為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．如圖，作用于同一點(diǎn)SKIPIF1<0的三個(gè)力SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處于平衡狀態(tài)，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小為______.【答案】1【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三個(gè)力處于平衡狀態(tài)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故答案為：18．高一學(xué)生將質(zhì)量為20kg的物體用兩根繩子懸掛起來，如圖（1）（2），兩根繩子與鉛垂線的夾角分別為45°和30°，則拉力SKIPIF1<0與SKIPIF1<0大小的比值為___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0N，SKIPIF1<0N，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<09．如圖，一個(gè)力SKIPIF1<0作用于小車SKIPIF1<0，使小車SKIPIF1<0發(fā)生了40米的位移，SKIPIF1<0的大小為50牛，且與小車的位移方向（SKIPIF1<0的方向）的夾角為SKIPIF1<0，則力SKIPIF1<0做的功為___________?！っ?【答案】1000【詳解】解：小車位移方向力的大小為SKIPIF1<0牛，所以力SKIPIF1<0做的功為SKIPIF1<0?！っ?故答案為：1000.10．如圖所示，一力作用在小車上，其中力SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，方向與水平面成SKIPIF1<0角，當(dāng)小車向前運(yùn)動(dòng)SKIPIF1<0時(shí)，力SKIPIF1<0做的功為__________SKIPIF1<0.【答案】50【詳解】解：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.11．力SKIPIF1<0作用于質(zhì)點(diǎn)P，使P產(chǎn)生的位移為SKIPIF1<0,則力SKIPIF1<0對(duì)質(zhì)點(diǎn)P做的功是________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解:由題易得，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．12．一條河兩岸平行，河的寬度為SKIPIF1<0米，一個(gè)人從岸邊游向?qū)Π?已知他在靜水中游泳時(shí)，速度大小為每分鐘SKIPIF1<0米，水流速度大小為每分鐘12米.①當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘___________米；②當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的需要________分鐘.【答案】

24；

20.【詳解】解：（1）如圖所示，當(dāng)此人垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小為SKIPIF1<0，他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘24米.（2）如圖所示，當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對(duì)岸的速度為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以他游到河對(duì)岸的需要SKIPIF1<0分鐘.故答案為：24；20.題組B能力提升練1．若平面上的三個(gè)力SKIPIF1<0作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則力SKIPIF1<0的大小為（

）．A．7 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】D【詳解】根據(jù)三力平衡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，兩邊同平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故選：D.2．加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為SKIPIF1<0，每只胳膊的拉力大小均為SKIPIF1<0，則該學(xué)生的體重（單位：SKIPIF1<0）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．61 C．75 D．60【答案】D【詳解】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作平行四邊形SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此該學(xué)生體重為SKIPIF1<0（kg）.故選：D．3．長(zhǎng)江流域內(nèi)某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，水流的速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.4．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬SKIPIF1<0，河水的速度為向正東SKIPIF1<0．一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸碼頭P處出發(fā)，航行到河對(duì)岸Q（SKIPIF1<0與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距SKIPIF1<0的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為SKIPIF1<0，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行速度的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段SKIPIF1<0，設(shè)小貨船航行速度為SKIPIF1<0，水流的速度為SKIPIF1<0，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為SKIPIF1<0，作出示意圖如下：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以小貨船航行速度的大小為SKIPIF1<0，故選：C.5．長(zhǎng)江某地南北兩岸平行，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中的航行速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，水流的速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，北岸的點(diǎn)SKIPIF1<0在A的正北方向，則游船正好到達(dá)SKIPIF1<0處時(shí)，SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在A的正北方向，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.6．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，即2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)，是由中國(guó)舉辦的國(guó)際性?shī)W林匹克賽事．冰球運(yùn)動(dòng)是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進(jìn)行的相互對(duì)抗的集體性競(jìng)技運(yùn)動(dòng)，在冰球運(yùn)動(dòng)中，冰球運(yùn)動(dòng)員腳穿冰鞋，身著防護(hù)裝備，以球桿擊球，球入對(duì)方球門，多者為勝．小趙同學(xué)在練習(xí)冰球的過程中，以力SKIPIF1<0=(6，24)作用于冰球，使冰球從點(diǎn)A(1，1)移動(dòng)到點(diǎn)B(6，11)，則SKIPIF1<0對(duì)冰球所做的功為（

）A．-210 B．210 C．-270 D．270【答案】D【詳解】由題意得SKIPIF1<0=(5，10)，故力SKIPIF1<0對(duì)冰球所做的功為SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=5×6+24×10=270．故選：D.7．（多選）如圖所示，小船被繩子拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中（

）A．船受到的拉力不斷增大 B．船受到的拉力不斷變小C．船受到的浮力不斷變小 D．船受到的浮力保持不變【答案】AC【詳解】設(shè)水的阻力為SKIPIF1<0，船受到的拉力為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與水平方向的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0不斷增大，所以SKIPIF1<0不斷減小，故SKIPIF1<0不斷增大.因?yàn)镾KIPIF1<0不斷增大，所以船受到的浮力不斷減??；故選：AC.8．（多選）一物體受到3個(gè)力的作用，其中重力SKIPIF1<0的大小為4N，水平拉力SKIPIF1<0的大小為3N，另一力SKIPIF1<0未知，則（

）A．當(dāng)該物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0方向相反，且SKIPIF1<0時(shí)，物體所受合力大小為SKIPIF1<0C．當(dāng)物體所受合力為SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)：由題知，SKIPIF1<0的大小等于重力SKIPIF1<0與水平拉力SKIPIF1<0的合力大小，由圖知SKIPIF1<0，故A正確；B選項(xiàng)：如圖，物體所受合力應(yīng)等于向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和向量的大小，顯然B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)；當(dāng)物體所受合力為SKIPIF1<0時(shí)，說明SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的合力為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；D選項(xiàng)：由上知，重力SKIPIF1<0與水平拉力SKIPIF1<0的合力為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0N，易知當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向時(shí)合力最大，最大值為7N，反向時(shí)合力最小，最小值為3N，即SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD9．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬SKIPIF1<0，河水的速度為向東2SKIPIF1<0.一艘小貨船準(zhǔn)備從河南岸的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距250SKIPIF1<0的碼頭C處卸貨.若流水的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6SKIPIF1<0，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，小貨船航行的速度大小是___________SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航線路線為線段SKIPIF1<0，設(shè)小貨船航行速度為SKIPIF1<0，水流的速度為SKIPIF1<0，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為SKIPIF1<0，作出示意圖如下：因?yàn)橐粭l東西方向的河流兩岸平行，河寬SKIPIF1<0，河水的速度為向正東SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以小貨船航行速度的大小為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<010．在水流速度為SKIPIF1<0的河中，要使船以SKIPIF1<0的速度與河岸成直角橫渡，則船行駛速度的大小為______SKIPIF1<0，與水流方向所成的角為______．【答案】

20

SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0表示水流方向，SKIPIF1<0表示垂直于對(duì)岸橫渡的方向，SKIPIF1<0表示船實(shí)際航行的方向，則SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以船行駛速度的大小為SKIPIF1<0，與水流方向所成的角為SKIPIF1<0．故答案為：①20②SKIPIF1<0．11．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東SKIPIF1<0km/h．一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于對(duì)岸B（AB與河岸的方向垂直）的正西方向并且與B相距SKIPIF1<0m的碼頭C處卸貨．若水流的速度與小貨船的速度（自身動(dòng)力產(chǎn)生的速度）的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，航行的合速度方向與正西方向的夾角為_________，小貨船的速度大小為_________km/h．【答案】

30°

SKIPIF1<0【詳解】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴合速度的方向與水流的方向成150°的角，與正西方向的夾角為30°，設(shè)小貨船的速度為SKIPIF1<0，水流速度為SKIPIF1<0，合速度為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴小船航行速度的大小為SKIPIF1<0.故答案為：①30°；②SKIPIF1<012．在靜水中船的速度為SKIPIF1<0，水流的速度為SKIPIF1<0，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，則經(jīng)過SKIPIF1<0小時(shí)，該船的實(shí)際航程是多少SKIPIF1<0?【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：如圖：設(shè)水流的速度為SKIPIF1<0，船航行的速度為SKIPIF1<0，則這SKIPIF1<0個(gè)速度的和速度為SKIPIF1<0，則由題意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直角三角形SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以船的合速度的大小為SKIPIF1<0，故船行駛的方向與水流的方向成SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0．所以經(jīng)過SKIPIF1<0小時(shí)，該船的實(shí)際航程是SKIPIF1<0千米．13．平面上三個(gè)力SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，求：(1)SKIPIF1<0的大??；(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角的大?。敬鸢浮?1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.解析：SKIPIF1<0三個(gè)力平衡，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2）解：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角可由余弦定理求得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0．題組C培優(yōu)拔尖練1．（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是銳角SKIPIF1<0內(nèi)的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.則（

）A．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的垂心，故A錯(cuò)誤；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確．故選：BCD．2．如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為___________【答案】SKIPIF1<0.【詳解】以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在的直線為SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由題意令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得其對(duì)稱軸為SKIPIF1<0，且開口向上，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，今有動(dòng)點(diǎn)P從SKIPIF1<0開始，沿著與向量SKIPIF1<0相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為SKIPIF1<0；另一動(dòng)點(diǎn)Q從SKIPIF1<0開始，沿著與向量SKIPIF1<0相同的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為SKIPIF1<0，設(shè)P，Q在SKIPIF1<0s時(shí)分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)所需的時(shí)間t為多少秒?【答案】2秒.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其單位向量為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其單位向量為SKIPIF1<0，依題意知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)所需的時(shí)間為2秒.4．長(zhǎng)江某地南北兩岸平行.如圖所示，江面寬度SKIPIF1<0，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，水流的速度SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，北岸的點(diǎn)SKIPIF1<0在A的正北方向.回答下面的問題.（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，判斷游船航行到達(dá)北岸的位置在SKIPIF1<0的左側(cè)還是右側(cè)，并說明理由.（2）當(dāng)SKIPIF1<0為多大時(shí)，游船能到達(dá)SKIPIF1<0處？需要航行多長(zhǎng)時(shí)間？【答案】（1）左側(cè)，理由見解析

（2）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【詳解】（1）左側(cè)，理由如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.∵游船航行到達(dá)北岸的位置在點(diǎn)SKIPIF1<0的左側(cè)（如圖（1））

（2）如圖（2），要使游船航行到達(dá)北岸的SKIPIF1<0處，必須SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.需要航行的時(shí)間SKIPIF1<0.5．如圖所示，一根繩穿過兩個(gè)定滑輪，且兩端分別掛有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的重物，現(xiàn)在兩個(gè)滑輪之間的繩上掛一個(gè)重量為SKIPIF1<0的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖建立坐標(biāo)系，記OB、OA與SKIPIF1<0軸的正半軸的夾角分別為SKIPIF1<0，則由三角函數(shù)定義得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，【方法一】移項(xiàng)，（1）、（2）平方相加得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而存在正數(shù)SKIPIF1<0使得系統(tǒng)平衡，∴△＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（因滑輪大小忽略，寫成SKIPIF1<0亦可，不扣分．這時(shí)SKIPIF1<0均為0）由（*）解得SKIPIF1<0，由（2）式知SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，這