類型十二、三大常用公式因式分解（解析版）

類型十二、三大常用公式因式分解【解惑】提公因式法：平方差公式法：完全平方公式法：【融會(huì)貫通】1．下列因式分解正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：、，分解錯(cuò)誤，不符合題意；B、，分解錯(cuò)誤，不符合題意；C、，分解正確，符合題意；D、，分解錯(cuò)誤，不符合題意；2．已知，那么代數(shù)式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴，3．將下列多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x【答案】D【詳解】解：A．原式＝x（x+2），故此選項(xiàng)不符合題意；B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此選項(xiàng)不符合題意；C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此選項(xiàng)不符合題意；D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此選項(xiàng)符合題意；4．在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種利用“因式分解”法生成的密碼，方便記憶．如：對(duì)于多項(xiàng)式，因式分解的結(jié)果是，若取，時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，，，于是就可以把“”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式，取，時(shí)，用上述方法生成的密碼可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，，，，∴上述方法生成的密碼可以是．5．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式一定是下面哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【詳解】解：==8n，6．將進(jìn)行因式分解，正確的是(

)A． B．C． D．【答案】C【詳解】，7．計(jì)算：的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：原式====．8．若三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、，滿足，則這個(gè)三角形是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【答案】D【詳解】∵，∴，∴，即，∴或或(舍去)，∴或，∴△ABC是等腰三角形．9．已知、、是一個(gè)三角形的三邊，則的值是（

）A．恒正 B．恒負(fù) C．可正可負(fù) D．非負(fù)【答案】B【詳解】解：∵是一個(gè)三角形的三邊，∴，∴原式10．對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：11．已知，則代數(shù)式的值為（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【詳解】解：，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值、利用完全平方公式分解因式，熟練掌握利用完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵．12．已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2020 B．2024 C．2021 D．2034【答案】D【詳解】解：，，【知不足】13．已知，，，那么代數(shù)式的值是______．【答案】【詳解】，又由，，，得：，同理得：，，原．14．如果，那么的值是______．【答案】【詳解】解：將代入，得到．15．已知，滿足等式，則的值為___．【答案】4【詳解】解：∵，∴∴∴∴∵則∴則∴16．分解因式：=___________【答案】【詳解】17．分解因式：______．【答案】【詳解】解：，18．已知，則______．【答案】24【詳解】解：，，，19．因式分解：__．【答案】【詳解】解：原式．20．若且，則_____．【答案】【詳解】∵，∴，∵，∴，∴=，∴==，21．多項(xiàng)式能用完全平方公式分解因式，則______．【答案】【詳解】解：∵多項(xiàng)式能用完全平方公式分解因式，∴，解得，22．已知，，，則多項(xiàng)式的值為______．【答案】3【詳解】解：∵，，，∴，，，∴23．若a，b都是有理數(shù)，且滿足，則_____________．【答案】1【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，∴24．分解因式：__________．【答案】##（x-y+2）（x+y-2）【詳解】解：25．分解因式：________．【答案】【詳解】解：===；26．已知實(shí)數(shù)a和b適合a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，則a＋b＝___．【答案】2或－2##-2或2【詳解】解：∵a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，∴a2b2－2ab＋1＋a2－2ab＋b2＝0，∴(ab－1)2＋(a－b)2＝0，又∵(ab－1)2≥0，(a－b)2≥0，∴ab－1＝0，a－b＝0，∴ab＝1，a＝b，∴a2＝1，∴a＝±1，∴a＝b＝1或a＝b＝－1，當(dāng)a＝b＝1時(shí)，a＋b＝2；當(dāng)a＝b＝－1時(shí)，a＋b＝－2，【一覽眾山小】27．因式分解(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：（2）解：；（3）解：．28．閱讀材料，解答問(wèn)題：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)多項(xiàng)式的因式分解還有別的方法．下面再介紹一種方法：“添（拆）項(xiàng)分組分解法”．例題：（添上，再減去使多項(xiàng)式的值不變）（分成兩組）（兩組分別因式分解）＝________（兩組有公因式，再提公因式）(1)請(qǐng)將上面的例題補(bǔ)充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：；(3)若是三邊長(zhǎng)，滿足，且c為整數(shù)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：．（2）解：；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，．∵是三邊長(zhǎng)，∴，∴．又∵c為整數(shù)，∴，∴，∴是等腰三角形．29．閱讀下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱為“換元法”下面是小涵同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程解：設(shè)①，將①帶入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）請(qǐng)根據(jù)上述材料回答下列問(wèn)題：(1)小涵同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______方法；(2)老師說(shuō)，小涵因式分解的結(jié)果不徹底，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算得出該因式分解的最后結(jié)果；(3)請(qǐng)你用“換元法”對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【詳解】（1）解：由題意得：從到運(yùn)用了因式分解中的提取公因式法（2）解：由題意得：（3）解：設(shè)，將代入中得：原式30．下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程解：設(shè)，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______（填序號(hào)）．A．提取公因式

B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式

D．兩數(shù)差的完全平方公式(2)該同學(xué)在第四步將用所設(shè)中的的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果．這個(gè)結(jié)果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接寫出最后的結(jié)果______．(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)C(2)否，(3)【詳解】（1）解：該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，（2）同學(xué)在第四步將用所設(shè)中的的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果沒(méi)有分解到最后，原式；（3）設(shè)，原式．31．教你一招：把因式分解．解：原式請(qǐng)你仔細(xì)閱讀上述解法后，把下列多項(xiàng)式因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【詳解】（1）解：，，；（2）解：；（3）解：；32．兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若在圖1中大正方形的右下角和右上角各擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．(1)用含a，b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)若圖1中的，圖3中，則的值為__________．（用含x、y的代數(shù)式表示）【答案】(1)，(2)40(3)【詳解】（1）解：由圖1可得，；（2）∵，∴，∵，，∴；（3）∵圖1中的，圖3中，∴，，∴．33．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝＝；（4）原式＝＝．34．【閱讀材料】若，求，的值．解：，∴，∴．(1)【解決問(wèn)題】已知，求的值；(2)【拓展應(yīng)用】已知，，是的三邊長(zhǎng)，且，滿足，是中最長(zhǎng)的邊，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【詳解】（1），將拆分成和，可得，根據(jù)完全平方公式得：，∴，，∴，（2）∵，根據(jù)完全平方公式得：，，∴，，∴，，∵是中最長(zhǎng)的邊，∴，即的取值范圍．35．先仔細(xì)閱讀材料，再嘗試解決問(wèn)題：通過(guò)對(duì)實(shí)數(shù)的學(xué)習(xí)，我們知道，根據(jù)完全平方公式：，所以完全平方公式的值為非負(fù)數(shù)，這一性質(zhì)在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，比如探求多項(xiàng)式的最小值時(shí)，我們可以這樣處理：解：原式，且時(shí)，的值最小，為；請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路，解答下列問(wèn)題：(1)求多項(xiàng)式的最小值是多少，并寫出對(duì)應(yīng)的x的值；(2)多項(xiàng)式的最大值；(3)求多項(xiàng)式的最小值．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是(2)的最大值為5(3)多項(xiàng)式的最小值為4【詳解】（1）解：，無(wú)論取什么數(shù)，都有的值為非負(fù)數(shù)，的最小值為0，此時(shí)，的最小值為；則當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最小值是；（2）同（1）得：，無(wú)論取什么數(shù)，都有的值為非負(fù)數(shù)，的最小值為0，此時(shí)，的最大值為：，則當(dāng)時(shí)，原多項(xiàng)式的最大值是5．（3）同（1）得：，當(dāng)，時(shí)，多項(xiàng)式的最小值為4．36．先閱讀下列材料，再解答下列問(wèn)題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“A”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)因式分解：．(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：＝；（2）解：令，則原式變?yōu)?，故?7．閱讀材料：若，求、的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：(1)，則______；______；(2)已知的三邊長(zhǎng)、、，其中，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)；；(2)的周長(zhǎng)為．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．∵，∴的周長(zhǎng)為．38．把下列各式分解因式：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(