2022屆中考數(shù)學壓軸題押題及答案

2022年中考數(shù)學壓軸題

1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=%2+以+c交工軸正半軸于點A、點8,交y軸于

(2)點。在x軸下方的拋物線上，連接。8、OC,點。的橫坐標為f,△BC。的面積為

5,求S與f的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量，的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，點E在x軸上方的拋物線上，過點E作軸，垂足為點尸，

連接QE,將射線沿直線EF折疊，得到對應射線EG,直線。F交射線EG于點4,

當S=12,EF=時,求點E的坐標.

解：(1)在y=-x+6中，令x=0,得y=6,：.C(0,6),

令y=0,得x=6,：.B(6,0)

將B(6,0),C(0,6)代入y=#+fov+c中，得.2'6?+6b+c=0,解得

拋物線的解析式為：—4x+6；

(2)如圖1,過點。作ZU_L2C于L作。K〃y軸交3c于K,則NDLK=N8OC=90°,

：OK〃)，軸

:.NDKL=NBCO

:./DKLs/BCO

.DLOB

??DK~BC

:.DL?BC=DK，OB

1

VD(6-t27-4什6),K(6-r+6)

2

1i

：.DK=-t+6-(-r9-4r+6)=一打2+31

22

ii11q

:.S=*L*BC=*K?OB=/(一＞2+3力X6=-|t2+9t,

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i1

在y=2%2-4%+6中，令y=0,得59/—4%+6=0,解得：xi=2,應=6,

丁點。在x軸下方的拋物線上，???2V/V6,

；.S=-^t2+9t(2<Z<6)；

(3)當S=12時，一］/+9亡=12,解得：力=2,Z2=4,V2<r<6,?1=4,：.D(4,

-2)

如圖2,點E在x軸上方對稱軸左側(cè)時，過。作QG〃工軸交射線EG于G,交EF于R,

/12、

設ECm,-m—4〃?+6),m<2,

2

則尸(相，0),G(2"-4,-2)

?,.直線DE解析式為y=*(m-4)/+6-2m,直線GE解析式為y=(4-加x+川-6m+6

直線OH解析式為)，=備一恐

12

V-(4-勿7)x------7=—1

2m—4

：.GE.LDH

:./EHG=/ERD=9C

?:/REG=NRED

:?△EFHsXEDR

DRFH「

：.—=—,?：EF=遍FH,：.EH=2FH

EREH

12

即

:.ER=2DR,2一-4加+6+2=2(4-m\解得：機1=0,加2=4(舍去)

AE1(0,6)；

如圖3,點E在x軸上方對稱軸右側(cè)時，過。作OG〃/軸交射線EG于G,交EF于R,

1

設E(tn,-m2—4/w+6),m>6.

2

與上述方法相同可得：ER=2DR,gp-zn2-4/?+6+2=2(m-4),解得：？m=4(舍去),

團2=8,

：.E2(8,6)；

綜上所述，點E的坐標為：E\(0,6),Ei(8,6).

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2.已知，在平面直角坐標系中，拋物線產(chǎn)一#+2r-1與直線y=-X-1相交于A,B兩

點，點C為頂點，連接4C.

(1)如圖1,連接BC,點P為線段上一動點，過點P作軸于點E,PF1BC

于點F,過點P作PQ〃x軸交拋物線于點。(點。在點P左側(cè))，當PE-PF取得最大值

時，在y軸上取一點R,連接QR,求PQ+2QR+&R0的最小值；

(2)如圖2,將拋物線沿射線AC方向平移，記平移后的拋物線為<,頂點為K,當

AC=CK時，點N為平移后的拋物線<上一點，其橫坐標為8.點M為線段A3上一點，

連接CM,且將△ACM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)a度(0<a<180),旋轉(zhuǎn)后的三角

形為AA'C'M',記直線A'C與直線A8相交于點S,直線C'M'與直線AB相交

于點T,連接NS,NT.是否存在點S和點T,使△(?'S7為等腰三角形，若存在，請直

接寫出△NST的面積：若不存在，請說明理由.

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解：（1）由拋物線y=-1?+法-1=一^（x-2）2+1得：c（2,1）,

解方程組忙上丁一,得:通仁…—

過C作C51y軸于S,過B作BKLy軸于K,則/ASC=ZAKB=90°

；CS=2,A5=l-(-1)=2,BK=6,AK=-1-(-7)=6

：.AS=CS,AK=BK

...AAC5和△A8K均為等腰直角三角形，

：.ZCAS^ZBAK=45°,AC=2&,AB=6&

ZBAC=90°,BC=y/AC2+AB2=4>/5

設P(nz,-m-1),0W/nW6,則PE--(-in-1)=m+\,PB=V2(6-m),

'：PF±BC

：.ZBFP^ZBAC=90°

△BPFs^BCA

.PFAC2V2

PF=(6-m')

''BP~BC~475,

：.PE'PF=(zn+1)x爭(6-zn)=一雪2+^^,

?.?一修VO,.?.當m=|時，取得最大值，此時，P一。?.7?！üぽS

3，2/

在x正半軸上截取OG=OR,連接RG,過。作OTLRG于T,則RT=^RO,V

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PQ+2QR+V2RO=PQ+2（QR+孝RO）

求PQ+2QR+V2RO的最小值，即求QR+辱RO的最小值，當Q,R,T三點共線時,

QR+苧RO的值最??；

：NORG=45°

；.NPQR=NQRK=45°

：.QR=V2,RO=I，

.?.P。+2。穴+&/?。的最小值=|一(-1)+2(V24-^x1)=7+/；

(2)：AC=CK,：.K(4,3)

平移后的拋物線為y'=(x-4)2+3,

：.N(8,-5)

過點N作NZLAB于Z,作NN'〃x軸交AB于N',則NMV'Z=45°,N'(4,-5)

:.NN'=8-4=4,NZ=x4=2V2

:點M為線段AS上一點，且CM=BM,設1)

?*.(/-2)，(-/-1-1)2=(/-6)2+(-t-1+7)2,解得：/=9

：.M-號)

：.CM=BM=^^,AM=A3-8M=挈

/.AC：AM：CN=3：4：5,

△Csr為等腰三角形，可以分三種情形：

①C'T=S7,如圖2,作7Z_LSC'于L,則/75C'=NC'=NACM,SL=LC'=

：.sinZTSC'=sin/ACM=*'：BA'=BA=6迎，

.*BA'_6V2_15V2.?,3入

*sin^TSC~~~2'2，

AfB42Q/5

——=tanZTSC=tan/ACM=；,.\A,S=^A'B=學A,SC'=A'S+A1C：

4，S342

13V213V2

~2~,"一_T"，

.*.ST=|SL=喀^

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?

??SC^\NST—15CrT.NK1Z7—=1xz-6252~/x2QV2_—65,

②C'S=CT,如圖3,作C'H，AB于H,作TL_LSC'于L,作NZ_LAB于Z,

由①知AC：AM：CN=3：4：5,即：A'CtA'M'：CM'=3：4：5,

\'TL//A'M',：.CL：LT：C7=3：4：5,設C'L=3k,LT=4k,CT=5k

：.CS=CT=5k,LS=2k,ST=y/LS2+LT2=2y[5k,4'S=5k-2近，

\'LT//A'B

；.A'S：A'B=SL：LT=1：2,即：2A'S=A'B,215k-2。=6近，解得：k=V2

；.ST=2遙x&=2VIU

：.S^NST=/ST，NZ=1X2710x2V2=4有；

③C'S=ST,如圖4,作SB_LC'7于8'，作7L_LSC'于L作NZ_L4B于Z,

貝ljC'B'=B'T,ZSTC'=NC'=ZACM

SB，LT4

???一=—=sinNACM=：,設SB'="SC1=5r,則C'B=B'T=3t,ST=5t

SC，CfT5

:,CL=|czT=^nSL=SCr-CfL=LT=

a：LT//BAf

SAi_SL7

=—,24SA'=7A,B

AfB~LT24

???24(5/-2V2)=7X6>/2,解得：仁孝

s15>/2

ST=F~

.U1UTA”115\^2cK15

??S^NST=2?ST?NZ=2x-—x2y2=-2-

綜上所述，*sr為等腰三角形時，Z^ST的面積為：下或4西或子

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圖1

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線），=一￥/-挈x+2魚與X軸交于點4,點8（點

A在點8的左側(cè)），與y軸交于點C,拋物線的對稱軸與x軸交于點E.

（1）點。是線段AC上方拋物線上一動點，連接AC、DC,DA,過點B作AC的平行線，

交DA延長線于點F,連接CF,當△OCT的面積最大時，在拋物線的對稱軸上找一點Q,

使得DQ+^QE的值最小，求出此時Q點的坐標.

（2）將△08C繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至△OB1C1,點8、C的對應點分別是Bi,C\,且點

B1落在線段BC上，再將aOBi。沿y軸平移得△OiB2c2,其中直線O1C2與x軸交于點

K,點7為拋物線對稱軸上的動點，連接KT、TOi,△01K7能否成為以OK為直角邊的

等腰直角三角形？若能，請求出所有符合條件的7點的坐標；若不能，請說明理由.

解：（1）在拋物線y=一芋》2—中，令x=0,得：y=2V2,令y=0,得:

XI=-4,X2=l

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；.A(-4,0),B(1,0),C(0,2V2),

..a23盤-內(nèi)42.3,2572

?產(chǎn)一2久-廿+2/=-丁(%+才2+飛-，

3

?*?E(—2，0)?

AOA=4,OC=2A/2,AC=2y[6,AB=5,

設直線AC的解析式為：y=kx+b,將A(-4,0),C(0,2魚)代入得：｛[?蒜=°，解

得：fe=T

b=2V2

直線AC的解析式為：產(chǎn)孝x+2混,

,JBF//AC,過8作BG_LAC于G,貝"A8?0C=AC?8G

.R,—也

??￡3(.J-,3

?'SfCF=[A。，BG-2x2-\/6X=5V2

過點D作DL.Lx軸于L交AC于”，設￡>(小，—4——誓1M+2&)，則HCm,—m4-

，22

2V2)

萬

:.DH=—2"m2—2V2/71

:?SdACD=*0A*DH=*X4(-與m2-2V2/n)=-y/2m2—4V2m,

2

:?SacF=SMCD+S〉ACF=-V2(m+2)+9vL

?,?當加=-2時，SzxOb的最大值=9或；此時，D(-2,3V2),

設。（-5，f）,則碩―，過點E作NQER=30°,過Q作QRLER

1

在RtZXEQR中，QR=Q￡?sin/0ER=QEsin3O°=^QE

???要使得OQ+^QE的值最小，必須。、Q、R三點共線，過。作。7J_E。于丁,

1

:?NDQT=/EQR=60°,DT=與

?rn-DT_J_V3

,?”—tanZ.DQT-tan60°—6

318V2-V3

??Qk—5，)；

乙6

(2)如圖2,作OM_LBC于M,

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由勾股定理得：BC=7OB2+0C2=3

■:△OBMs^CBO

OM0C0M_2720M=挈,

OB-BC1-3

易證：△OBMg/XOBiM

74V21614V2

...081=1,可得以—）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和相似三角形性質(zhì)可求得。（一母一1）,

易得直線BiCi解析式為：y=-

將△OBiCi沿y軸平移得△O1B2C2,，0iC2〃0Ci,

①當△O81Ci沿y軸向上平移得△OB2c2,且017L01K時，過01作01NL對稱軸于N,

2

則0\N=去'：ZTO\K=ZOO\N=ZO\NT=ZO\OK=90°

:"TO\N=/OO\K

*：O\T=O\K

:?△01NT"△0\0KCAAS)

3

：.0\0=0\N=^

'：/XOOiK^/\EC\O

16L

OKOEV4V2

.OiO-JE11^2~7

9

???OK=NT=

”(_3￡1^)

214

②當△O81。沿y軸向上平移得△O182C2,且7X_L0iK,7K=OiK時，如圖3,

,?ZTKE+Z0K0\=ZOO\K+Z0K0\=90°,

：.ZTKE=ZOO\K

■:NTEK=/OiOK=9a°,TK=O\K

：./^O\OK^/\KETCAAS)

；.ET=OK,EK=OTO,

%：O\CI//OC\

16

???^=&=W,即：02半0。：.0\0=嚕OK,EK=%T

9

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：.ET+^=^ET,解得：￡7=42#/8

.T,342&+48、

??T2（一彳----萬一）

③當△081C1沿y軸向下平移得△01&C2,且T0i_L0iK,T0i=0iK時，如圖4,作力0

J_y軸于M,

；NOiOK=NOM=/TOiK=90°,

：.ZTO\M+ZOO\K=ZOO\K+ZOKO\=90Q,：.ZTOiM=ZOKO\,

：./XTO\M^/\KO\O(A4S)

3

：.O\O=TM=^O\M=OK

OK4y[26/2

由①知：---=----,?，?OiM=OK=-,

0。177

.521+1272

■?ET=1T-4；

.T，321+12夜、

.〃3(-2，14)

④當△0BC1沿y軸向下平移得△O182C2,且7K_L0iK,7K=OiK時，如圖5,

易證：△TKE四△KOiO(AA5)

3

：.ET=OK,EK=OiO,OE=OK+EK=

..OKOK4V242V2-48

?—=---=----,角隼得：ET=OK=————

EK001717

.348-42^2

74(-與，)

217

Q21-12x/2Q

綜上所述,符合條件的T點的坐標為：7“子，卞一）、72（子42々+48）、「3（-弱3

-17-

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4.如圖，在RtZ\A8C中，N4CB=90°,。為AB邊上的一點，以A。為直徑的。0交8C

于點E,交AC于點F,過點C作CGJ_A8交AB于點G,交AE于點H,過點E的弦EP

交AB于點。(EP不是直徑)，點。為弦EP的中點，連結(jié)BP,8P恰好為。。的切線.

(1)求證：8C是。。的切線.

(2)求證：EP=ED.

3

(3)若sin/ABC-g,AC=15,求四邊形CHQE的面積.

(1)證明：連接OE,0P,

'：A。為直徑，點。為弦EP的中點,

PELA8,點Q為弦￡尸的中點，

：.AB垂直平分EP,

：.PB=BE,

VOE=OP,OB=OB,

:.△BEOWABPO(555),

：.ZBEO=ZBPO,

為。。的切線,

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AZBPO=90°,

：.ZBEO=90°,

:.OEVBC,

???8C是OO的切線.

(2)證明：9：ZBEO=ZACB=90°,

J.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

?：OA=OE,

：.ZEAO=ZAEOf

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：???A。為的O。直徑，點。為弦EP的中點,

：.EP±ABf

VCG±AB,

:.CG〃EP,

VZACB^ZBEO=90°,

J.AC//OE,

：.ZCAE=ZAEOf

9：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO9

VZACE=ZAQE=90°,AE=AEf

AAACE^AAQE(AAS),

:?CE=QE,

VZAEC^-ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90Q,

AZCEH=NAHG,

???ZAHG=ZCHE,

：?NCHE=/CEH,

:?CH=CE,

:?CH=EQ,

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???四邊形CHQE是平行四邊形，

?：CH=CE,

???四邊形C/7QE是菱形，

AG3

VsinZABC_sinZACG==一，

AC5

VAC=15,

???AG=9,

???CG=y/AC2-AG2=12,

△A