專題09 二次函數(shù)中的定值與定點壓軸題全梳理（原卷版）（人教版）

專題09二次函數(shù)中的定值與定點壓軸題全梳理類型一、定值問題例．如圖1，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．點是第二象限內拋物線上的一個動點，設點的橫坐標為，過點作直線軸于點，作直線交于點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；(3)如圖2，連接，過點作直線，交軸于點，連接．試探究：在點運動的過程中，是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【變式訓練1】已知拋物線的頂點為，與軸交于．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過頂點作軸于點，交直線于，點、分別在拋物線和軸上，若為，且以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，求的值；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個單位得到拋物線，直線與軸交于點，與拋物線交于、兩個不同點，分別過、兩點作軸的垂線，垂足分別為、，當?shù)闹翟谌≈捣秶鷥劝l(fā)生變化時，式子的值是否發(fā)生變化？若不變，請求其值．（解此題時不用相似知識）【變式訓練2】如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D．（1）求直線BD的解析式；（2）P為拋物線上一點，當點Р到直線BD的距離為時，求點P的坐標；（3）如圖2，直線交拋物線與M，N兩點，C為拋物線上一點，當時，請?zhí)骄奎cC到MN的距離是否為定值．【變式訓練3】如圖1，拋物線，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，F(xiàn)為拋物線頂點，直線垂直于x軸于點E，當時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是線段上的動點（除B、E外），過點P作x軸的垂線交拋物線于點D．①當點P的橫坐標為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值：如果不是，請說明理由．類型二、定點問題例．如圖，拋物線與x軸的交點為A，B兩點，與y軸的交于點C，．

(1)求拋物線的解析式；(2)P為拋物線在第四象限上的一點，直線與拋物線的對稱軸相交于點M，若是以為底邊的等腰三角形，求點P的坐標；(3)P是該拋物線上位于對稱軸右側的動點，Q、N是拋物線對稱軸上兩點，．求證：存在確定的點N，使直線與拋物線只有唯一交點P．【變式訓練1】如圖，拋物線與軸分別相交于，兩點（點在點的左側），是的中點，平行四邊形的頂點，均在拋物線上．

(1)直接寫出點的坐標；(2)如圖（1），若點的橫坐標是，點在第二象限，平行四邊形的面積是13，①求直線的解析式；②求點的坐標；(3)如圖（2），若點在拋物線上，連接，求證：直線過一定點．【變式訓練2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，直線AB與拋物線相交于A、B兩點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若直線AB的解析式為，且的面積為35，求k的值；(3)如圖2，若，則直線AB必經(jīng)過一個定點C，求點C的坐標．【變式訓練3】已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，，且的面積為6，

(1)求拋物線的對稱軸和解析式；(2)如圖1，若，為拋物線上兩點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，設點橫坐標為，求的值；(3)如圖2，過定點的直線交拋物線于，兩點，過點的直線與拋物線交于點，求證：直線必過定點．課后訓練1．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，若點P為第一象限的拋物線上一點，直線交x軸于點D，且平分，求點P的坐標；(3)如圖②，點Q為第四象限的拋物線上一點，直線BQ交y軸于點M，過點B作直線，交y軸于點N，當Q點運動時，線段MN的長度是否會變化？若不變，請求出其長度；若變化，請求出其長度的變化范圍．2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中B點的坐標為，點M為拋物線上的一個動點．

(1)二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．①求二次函數(shù)的表達式；②若點M與點C關于對稱軸對稱，則點M的坐標是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點P，過點P作x軸的平行線，與拋物線對稱軸左側的圖像交于點Q，求線段的最大值；(2)過點M作的平行線，交拋物線于點N，設點M、N的橫坐標為m、n，在點M運動的過程中，試問的值是否會發(fā)生改變？若改變，請說明理由；若不變，請求出的值．3．如圖，直線：交軸于點，交軸于點，點在軸上，，經(jīng)過點，的拋物線：交直線于另一點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點為直線上方拋物線上一點，過點作軸于點，交于點．當時，求點的坐標；(3)拋物線與軸的另一個交點為，過點的任意直線（不與軸平行）與拋物線交于點、，直線、分別交軸于點、，是否存在的值使得與的積為定值？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．4．如圖，拋物線交軸于，兩點（在的左邊）與軸交于點．

(1)如圖1，已知，且點的坐標為①求拋物線的解析式；②P為第四象限拋物線上一點，交軸于點，求面積的最大值及此時點的坐標．(2)如圖，為軸正半軸上一點，過點作交拋物線于，兩點（在的左邊），直線，分別交軸于，兩點，求的值．5．如圖1，已知一次函數(shù)的圖象與y軸，x軸相交于點A，B，拋物線與y軸交于點C，頂點M在直線上，設點M橫坐標為m．(1)如圖2，