數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.3數(shù)學(xué)模型的分類1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)1.5關(guān)于建模競賽一、基礎(chǔ)知識(shí)概述1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)★“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法是“把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉后，剩下的東西”。例如，從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點(diǎn)；有條理的思維，嚴(yán)密的思考、求證；簡潔、清晰、準(zhǔn)確的表達(dá)；在解決問題時(shí)、總結(jié)工作時(shí)，邏輯推理的意識(shí)和能力；對(duì)所從事的工作，合理的量化、簡化，周到的運(yùn)籌帷幄。一是主動(dòng)尋求并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；二是熟練地用準(zhǔn)確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；三是具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)；四是對(duì)各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多種角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；五是善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)?！皵?shù)學(xué)素養(yǎng)”包含五點(diǎn)：1.1

從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型原型和模型原型：指人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實(shí)際對(duì)象。模型：為了某個(gè)特定目的將原型的某一部分信息檢索、提煉而構(gòu)造的原型替代物。也可以說模型是為了一定目的，對(duì)原型的主要特征進(jìn)行簡化、抽象得到的一個(gè)低代價(jià)近似替代物。玩具、照片、房屋模型……~實(shí)物模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型你常見的模型需要強(qiáng)調(diào)的是：構(gòu)造模型的目的性，模型不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品，原型有各個(gè)方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的哪些方面和層次。模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。

根據(jù)模型替代原型的方式可以對(duì)模型進(jìn)行分類：模型形象模型抽象模型直觀模型數(shù)學(xué)模型符號(hào)模型思維模型物理模型我們主要研究數(shù)學(xué)模型，那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？解：用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解你熟悉的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

用這個(gè)答案解釋原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)，水速每小時(shí)20千米/小時(shí)）；航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

最后還要用實(shí)際現(xiàn)象來驗(yàn)證上述結(jié)果。對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程簡稱為數(shù)學(xué)建模或建模。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁數(shù)學(xué)建模:應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的第一步數(shù)學(xué)建模:通常有本質(zhì)性的困難和原始性的創(chuàng)新(關(guān)鍵一步)實(shí)際問題數(shù)學(xué)MathematicalModeling

數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過對(duì)量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實(shí)例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’百度、谷歌、圖書館、書籍、維普、中國知網(wǎng)、統(tǒng)計(jì)局等數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐1.3

數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化（規(guī)劃）、微分差分方程、概率統(tǒng)計(jì)、圖論……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的區(qū)別數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)建模問題來源數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際背景問題條件明確清晰不完全明確，需要作進(jìn)一步了解或假設(shè)解決方法多種多種問題結(jié)論有標(biāo)準(zhǔn)答案有參考解答但無標(biāo)準(zhǔn)答案。不同的假設(shè)下有不同的模型和結(jié)論數(shù)學(xué)建?！夹g(shù)+藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)需要：1、競賽的指導(dǎo)思想2、歷年試題3、競賽中的題型特點(diǎn)4、論文的內(nèi)容和格式5、參賽注意1.5關(guān)于建模競賽1、數(shù)模競賽的指導(dǎo)思想數(shù)模競賽題是一個(gè)“課題”，大部分都源于生產(chǎn)實(shí)際或者科學(xué)研究的過程中，它是一個(gè)綜合性的問題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計(jì)算機(jī)來完成。其答案往往不是唯一的（數(shù)學(xué)模型是實(shí)際的模擬，是實(shí)際問題的近似表達(dá)，它的完成是在某種合理的假設(shè)下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報(bào)的成果是一編“論文”。2、歷年試題1993年A題非線性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)1993年B題球隊(duì)排名問題1994年A題逢山開路1994年B題鎖具裝箱1995年A題一個(gè)飛行管理模型1995年B題天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度1996年A題最優(yōu)捕魚策略1996年B題節(jié)水洗衣機(jī)1997年A題零件的參數(shù)設(shè)計(jì)1997年B題截?cái)嗲懈?998年A題投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)1998年B題災(zāi)情巡視路線1999年A題自動(dòng)化車床管理1999年B題鉆井布局2000年A題DNA序列分類2000年B題鋼管定購和運(yùn)輸2001年A題血管的三維重建2001年B題公交車調(diào)度2002年A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)2002年B題彩票中的數(shù)學(xué)2003年A題SARS的傳播2003年B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排2004年A題奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)2004年B題電力市場的輸電阻塞管理2005年A題長江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測2005年B題DVD在線租賃2006年A題出版社的資源配置2006年B題艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測2007年A題中國人口增長預(yù)測2007年B題乘公交，看奧運(yùn)2008年A題數(shù)碼相機(jī)定位2008年B題高等教育學(xué)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)探討2009年A題制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法2009年B題眼科病床的合理安排2010年A題儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定2010年B題2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估3、競賽中的題型特點(diǎn)1）.實(shí)際問題背景涉及面寬——有社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、經(jīng)濟(jì)管理、生物醫(yī)學(xué)和社會(huì)事業(yè)等七個(gè)大類。

工業(yè)類：電子通信、機(jī)械加工與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)與控制等行業(yè),共有8個(gè)題，占28.6%。農(nóng)業(yè)類：１個(gè)題，占3.6%。工程設(shè)計(jì)類:

3個(gè)題，占10.7%。交通運(yùn)輸類：3個(gè)題，占10.7%經(jīng)濟(jì)管理類：4個(gè)題，占14.3%生物醫(yī)學(xué)類：4個(gè)題，占14.3%社會(huì)事業(yè)類:5個(gè)題，占17.8%

有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。2）.若干假設(shè)條件1）只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)；2）給出若干實(shí)測或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；3）給出若干參數(shù)或圖形；4）蘊(yùn)涵著某些機(jī)動(dòng)、可發(fā)揮的補(bǔ)充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。3）.要求回答的問題有幾個(gè)問題，而且一般不是唯一答案。1）比較確定性的答案（基本答案）；2）更細(xì)致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。4）、涉及的數(shù)學(xué)方法繁多

從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)方法、機(jī)理分析等方法。4、論文內(nèi)容和格式1）.標(biāo)題題目——寫出較確切的題目。2）.摘要——200-300字，包括a.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；b.建模的思想（思路）；c.算法思想（求解思路）；d.建模特點(diǎn)（模型優(yōu)點(diǎn)，建模思想或方法，算法特點(diǎn)，結(jié)果檢驗(yàn)，靈敏度分析，模型檢驗(yàn)……）；e.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論；回答題目所問的全部“問題”）?！⒁獗硎觯簻?zhǔn)確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮?！鴥?nèi)容較多時(shí)最好有個(gè)目錄。3）.問題重述4）.模型假設(shè)根據(jù)全國組委會(huì)確定的評(píng)閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。a.根據(jù)題目中條件作出假設(shè)b.根據(jù)題目中要求作出假設(shè)C.符合假設(shè)關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。5）.模型構(gòu)建a.基本模型：?。┦紫纫袛?shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等；ⅱ）基本模型，要求完整，正確，簡明；b.簡化模型：ⅰ）要明確說明簡化思想，依據(jù)等；ⅱ）簡化后模型，盡可能完整；c.模型要實(shí)用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實(shí)際問題，不追求數(shù)學(xué)上的高（級(jí)）、深（刻）、難（度大）。?。┠苡贸醯确椒ń鉀Q的、就不用高級(jí)方法；ⅱ）能用簡單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。d．鼓勵(lì)創(chuàng)新，但要切實(shí)，不要離題搞標(biāo)新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在：1.建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等；2.模型求解中；3.結(jié)果表示、分析、檢驗(yàn)，模型檢驗(yàn)；4.推廣部分。e．在問題分析推導(dǎo)過程中，需要注意的問題：?。┓治觯褐锌稀⒋_切；ⅱ）術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；ⅲ）原理、依據(jù)：正確、明確；ⅳ）表述：簡明，關(guān)鍵步驟要列出；ⅴ）忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長。6）.模型求解a.需要建立數(shù)學(xué)命題時(shí)：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴(yán)密。b.要說明計(jì)算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。

c.計(jì)算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。d.設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。7）.結(jié)果分析、檢驗(yàn)；模型檢驗(yàn)及模型修正；結(jié)果表示a.最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；b.對(duì)數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進(jìn)行必要的檢驗(yàn)；結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時(shí)，分析原因，對(duì)算法、計(jì)算方法、或模型進(jìn)行修正、改進(jìn)。c.題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；d.列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù).對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e.結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析?！鴶?shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計(jì)表格；可能的話，用圖形圖表形式?！蠼夥桨福脠D示更好。8）.模型評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)突出，缺點(diǎn)不回避。改變?cè)}要求，重新建?？稍诖俗觥Ｍ茝V或改進(jìn)方向時(shí)，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語，沒把握時(shí)，不要隨便推廣、改進(jìn)。9.參考文獻(xiàn)[1]武桃，張力.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1960，45-49.[2]陸平.數(shù)學(xué)模型研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，2(5):12-18.[3]數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),.10）.附錄詳細(xì)的結(jié)果，詳細(xì)的數(shù)據(jù)表格，圖表，算法程序，可在此列出，但不要錯(cuò)。主要結(jié)果數(shù)據(jù)，表格，應(yīng)在正文中列出，不怕重復(fù)。5.參賽注意1．時(shí)間和體力的問題2．團(tuán)隊(duì)合作是能否獲獎(jiǎng)的關(guān)鍵3．重視摘要

4．論文寫作要正規(guī)5．模型的假設(shè)與模型的建立6．圖文表并茂可以增色

二、建模問題選講艾滋病療法的評(píng)價(jià)及療效的預(yù)測全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2006年B題

艾滋病是當(dāng)前人類社會(huì)最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時(shí)，其數(shù)量會(huì)急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。

艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。

迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對(duì)人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗(yàn)、尋找更好的AIDS療法?，F(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗(yàn)機(jī)構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。

ACTG320（見附件1）是同時(shí)服用zid.,lam.,ind.3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mgzid.或400mgdid.，這兩種藥按月輪換使用；600mgzid.加2.25mgzal.；600mgzid.加400mgdid.；600mgzid.加400mgdid.，再加400mgnev.。請(qǐng)你完成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。

(3)艾滋病藥品的主要供給商對(duì)不發(fā)達(dá)國家提供的藥品價(jià)格如下：600mgzid.1.60美元，400mgdid.0.85美元，2.25mgzal.1.85美元，400mgnev.1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費(fèi)用，對(duì)（2）中的評(píng)價(jià)和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。附件1ACTG320數(shù)據(jù)同時(shí)服用3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度。第1列是病人編號(hào)，第2列是測試CD4的時(shí)刻（周），第3列是測得的CD4（乘以0.2個(gè)/ml），第4列是測試HIV的時(shí)刻（周），第5列是測得的HIV（單位不詳）。PtID CD4DateCD4CountRNADate

VLoad23424 0 178 0 5.523424 4 228 4 3.923424 8 126 8 4.723424 25 171 25 42342440 99 40 523425 0 14 0 5.323425 4 62 4 2.423425 9 110 9 3.723425 23 122 23 2.623425 40 320 附件2193A數(shù)據(jù)1300多名病人按照4種療法服藥大約每隔8周測試的CD4濃度。第1列是病人編號(hào)，第2列是4種療法的代碼：第3列是病人年齡，第4列是測試CD4的時(shí)刻（周），第5列是測得的CD4，取值log(CD4+1).ID療法年齡時(shí)間Log(CD4count+1)1 2 36.4271 0 3.13551 2 36.4271 7.5714 3.04451 2 36.4271 15.5714 2.77261 2 36.4271 23.5714 2.83321 2 36.4271 32.5714 3.21891 2 36.4271 40 3.04452 4 47.8467 0 3.06812 4 47.8467 8 3.89182 4 47.8467 16 3.97032 4 47.8467 23 3.61092 4 47.8467 30.7143 3.33222 4 47.8467 39 3.0910CD4大致有先增后減的趨勢，HIV有先減后增的趨勢，啟示應(yīng)建立時(shí)間的二次函數(shù)模型問題（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果,或者確定最佳治療終止時(shí)間。分析數(shù)據(jù)如隨機(jī)取20個(gè)病人，畫出他們CD4和HIV濃度隨時(shí)間變化的圖形（折線），若先用一次模型，應(yīng)與二次模型做統(tǒng)計(jì)分析比較CD4HIV1）

總體回歸模型

用全部數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，如yij=b0+b1tij+b2tij2，tij，yij分別為第i病人第j次測量的時(shí)間和測量值（CD4或HIV）或者測量值與初始值之比，用數(shù)據(jù)估計(jì)b0,b1,b2建立模型有以下形式的回歸模型（一次與二次模型比較，二次較優(yōu)）：對(duì)HIV，b2>0,b1<0,t=-b1/2b2達(dá)到最小對(duì)CD4，b2<0,b1>0,t=-b1/2b2達(dá)到最大平均地應(yīng)在25~30（周）CD4達(dá)到最大，HIV達(dá)到最小，可以合理確定結(jié)束治療時(shí)間?？蓪?duì)CD4統(tǒng)計(jì)b2i<0,b1i>0（存在正最大點(diǎn)）及b2i>0（不存在最大點(diǎn)）的頻率，對(duì)HIV統(tǒng)計(jì)b2i>0,b1i<0（存在正最小點(diǎn)）及b2i<0（不存在最小點(diǎn)）的頻率,分別作為及時(shí)結(jié)束治療與繼續(xù)治療的概率(一般分別為0.6~0.8以及0.2~0.3)；也可用它們的均值和均方差在確定分布下計(jì)算這些概率。2)個(gè)人回歸模型用每個(gè)病人的數(shù)據(jù)擬合一個(gè)模型，如yij=b0i+b1itij+b2itij2，計(jì)算b0i,b1i,b2i的均值和均方差，用均值可得CD4的最大點(diǎn)和HIV的最小點(diǎn)，一般為20-30周。3)分段時(shí)序模型

對(duì)yij用j以前的資料如y(i，j-1),t(ij)-t(i，j-1)，j-1段的斜率等為變量建立模型(j=3,4,5,6)，由數(shù)據(jù)估計(jì)系數(shù)，預(yù)測yij，然后對(duì)CD4統(tǒng)計(jì)預(yù)測的yij大于實(shí)際的y(i，j-1)的頻率，對(duì)HIV統(tǒng)計(jì)預(yù)測的yij小于實(shí)際的y(i，j-1)的頻率，由此得到應(yīng)終止治療的時(shí)段。如果考慮病人初始狀態(tài)（t=0時(shí)的CD4和HIV）的不同對(duì)模型的影響，可以將模型中的yij定義為第i病人第j次測量的CD4（或HIV）與初始值之差或之比?；蛘呦劝凑詹∪顺跏紶顟B(tài)分類（如輕度、中度、重度），然后對(duì)于每一類建立回歸模型。建立模型幾點(diǎn)注意:(1)建立幾種模型相互比較、驗(yàn)證者較優(yōu)。(2)不能只有模型，不做統(tǒng)計(jì)分析；對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，考慮與數(shù)據(jù)擬合程度、注意去除異常數(shù)據(jù)者較優(yōu)。(3)注意到有一些數(shù)據(jù)是當(dāng)出現(xiàn)CD4下降、HIV上升就及時(shí)結(jié)束的，并做出適當(dāng)考慮者較優(yōu)。(4)注意到題目中“艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時(shí)產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度”，并對(duì)結(jié)果做出適當(dāng)考慮者較優(yōu)。問題（2）：利用附件2的數(shù)據(jù)，評(píng)價(jià)4種療法的優(yōu)劣，并對(duì)較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時(shí)間。對(duì)于每種療法隨機(jī)取20個(gè)病人，畫出他們CD4隨時(shí)間變化的圖形（折線），可以看出療法1~3的CD4基本上水平，略有下降，而療法4有先增后減的趨勢。啟示應(yīng)建立時(shí)間的一次與二次函數(shù)模型，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析比較，確定哪種較優(yōu)。

分析數(shù)據(jù)1)可以引入4（或3）個(gè)0-1變量表示4種療法建立統(tǒng)一模型，或者對(duì)每種療法各建立一個(gè)模型（一般來說前者較優(yōu)）。1.回歸模型方法以總體回歸模型為例，只需增加年齡變量，分別用一次與二次時(shí)間函數(shù)模型進(jìn)行比較，可知療法1~3用一次模型較優(yōu)，且一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，即CD4在減少，從數(shù)值看療法3優(yōu)于療法2和1；療法4用二次模型較優(yōu)，即CD4先增后減，在t=20左右達(dá)到最大.建立模型做療法有無顯著性差異的兩兩比較：用1個(gè)0-1變量構(gòu)造兩種療法的統(tǒng)一模型，可以用t檢驗(yàn)作回歸系數(shù)是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)。結(jié)果是療法1與2無顯著性差異，而療法1與3，2與3，3與4均有顯著性差異。2）假設(shè)檢驗(yàn)療法是必選的因素，如果還考慮年齡和初始狀態(tài)，用雙因素分析則比較復(fù)雜，可以先按這些因素分類，再做療法的單因素分析。3）方差分析問題(3):如果病人需要考慮4種療法的成本，對(duì)(2)中的評(píng)價(jià)和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。根據(jù)提供的價(jià)格療法1~4每天的費(fèi)用分別為：1.60(取最大),3.45,2.45,3.65，顯然若經(jīng)濟(jì)允許應(yīng)采用療法4，否則可設(shè)定包含療效和費(fèi)用的決策函數(shù)，進(jìn)行決策。論文中出現(xiàn)問題的評(píng)析1．只做數(shù)據(jù)擬合，不做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。用回歸分析方法做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)：得到的模型有無顯著意義，它的置信度多大，用它作預(yù)測時(shí)準(zhǔn)確程度如何。最小二乘擬合：已知一組數(shù)據(jù)(xk,yk),k=1,2,…,n和一個(gè)形式已定、參數(shù)

待定的模型（曲線）y=f(x,),確定參數(shù)使數(shù)據(jù)與模型在誤差平方和最小的意義下擬合得最好。有現(xiàn)成的計(jì)算公式和軟件確定參數(shù)x0123456789y1.041.221.381.591.801.992.212.392.652.83z0.280.612.192.562.491.173.171.292.113.27y=a1x+b1=0.2013x+1.0040z=a2x+b2=0.2025x+1.0025兩個(gè)模型的結(jié)果一樣，但是可靠性和準(zhǔn)確性一樣嗎？需要做統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)！簡例最小二乘擬合yxzx決定系數(shù)R2F值p值剩余方差

2a的置信區(qū)間b的置信區(qū)間y=a1x+b10.99855294<0.00010.0006[0.1950,0.2077][0.9699,1.0381]z=a2x+b20.35284.3610.07020.7761[-0.0211,0.4262][-0.1915,2.1966]

R2=0.3528~在z的變化中只有35%是由x決定的

p值大于0.05~在常用的置信度

=5%下該模型沒有顯著意義

a2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)~a=0落在置信水平為95%的區(qū)間內(nèi)

若x=5.5預(yù)測區(qū)間y：[2.0621，2.1606]，z：[0.3899，3.8432]，預(yù)測值y=2.1113,z=2.1165回歸分析結(jié)果z的預(yù)測沒有什么價(jià)值！2．對(duì)原始數(shù)據(jù)先取平均，再用平均值做擬合數(shù)據(jù)中大多數(shù)病人的測試時(shí)間是0,4,8,…（周），個(gè)別病人是5,7,…（周），為了得到CD4(或HIV)的變化趨勢，先在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上對(duì)CD4取平均，再用平均值做擬合．這樣做有什么問題呢？注意：有的時(shí)間點(diǎn)上有上百個(gè)病人的CD4，而有的時(shí)間點(diǎn)上只有幾個(gè)病人的CD4。

數(shù)據(jù)(x,y)：x=0,y=0:0.05:2;

x=1,y=1:0.05:3;x=2,y=0,2,在圖上共84個(gè)點(diǎn)。簡例對(duì)數(shù)據(jù)(x,y)擬合一條直線，得y=0.7647x+1.0784先在x=0,1,2對(duì)y取平均得到3個(gè)點(diǎn),再擬合直線，得y=1.3333取平均后的3個(gè)點(diǎn)在做擬合時(shí)的權(quán)重相同;但是x=0,1的點(diǎn)都是41個(gè)數(shù)據(jù)的平均值,而x=3的點(diǎn)只是2個(gè)數(shù)據(jù)的平均值3．?dāng)M合過度用4次、5次甚至更高次數(shù)的多項(xiàng)式作擬合數(shù)據(jù)的起伏是由與時(shí)間本身無關(guān)的其它隨機(jī)因素引起的，不應(yīng)該用增加時(shí)間的高次項(xiàng)來擬合注意擬合與插值在應(yīng)用場合的差別一般地說，多項(xiàng)式擬合不要超過3次，對(duì)于本題如果用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)做顯著性分析，可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況是以時(shí)間的2次多項(xiàng)式為好適用本題的顯然是擬合而非插值4．只按照?qǐng)D形做直觀的定性判斷，不做定量分析為了比較4種療法的優(yōu)劣，對(duì)每種療法的CD4（或取平均）做散點(diǎn)圖,或折線（散點(diǎn)連線）圖,直觀地比較療法的優(yōu)劣沒有普遍的指導(dǎo)意義，對(duì)于其它問題或數(shù)據(jù)，這樣做不一定能得到結(jié)果一種療法的CD4散點(diǎn)圖(或折線圖)在另一種療法的上面,從統(tǒng)計(jì)意義上并不能表明其顯著性作為數(shù)學(xué)建模題目應(yīng)該給出定量的處理方法!5．雙指標(biāo)處理不當(dāng)對(duì)于CD4和HIV兩個(gè)指標(biāo)的處理，常用的方法是用某種函數(shù)形式將二者結(jié)合在一起.由于CD4越大越好，HIV越小越好，一些同學(xué)取二者之差或二者之商為綜合指標(biāo).這樣簡單處理的問題在于，這兩個(gè)指標(biāo)量綱不同,數(shù)量級(jí)差別較大.恰當(dāng)?shù)霓k法是，先分別將其歸一化（如將數(shù)值變換到0-1之間），然后取加權(quán)平均.一回歸分析

在客觀世界中，普遍存在著變量之間的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)的重要作用就是從數(shù)量上來揭示、表達(dá)和分析這些關(guān)系。而變量之間的關(guān)系分為兩類：

確定性關(guān)系-------即我們所熟悉的變量之間的函數(shù)關(guān)系，如圓的半徑R與圓的面積S之間就存在確定的函數(shù)關(guān)系。

非確定性關(guān)系-------即變量之間雖然有密切的關(guān)系，但這種關(guān)系卻無法用確定的函數(shù)關(guān)系表達(dá)，變量之間的這種非確定性關(guān)系，稱為相關(guān)關(guān)系。例如：人的身高和體重的關(guān)系；人的血壓和年齡的關(guān)系，某產(chǎn)品的廣告投入與銷售額的關(guān)系等。回歸分析是研究兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的相關(guān)關(guān)系的一種重要的統(tǒng)計(jì)方法。相關(guān)知識(shí)提要

具有相關(guān)關(guān)系的變量雖然不具有確定的函數(shù)關(guān)系，但是可以借助函數(shù)關(guān)系來表示它們之間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這種近似地表示它們之間的相關(guān)關(guān)系的函數(shù)被稱為回歸函數(shù)。

最簡單的情形是由兩個(gè)變量形成的關(guān)系?？紤]用下列模型表示：

但是由于兩個(gè)變量之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系，因此，必須把隨即波動(dòng)考慮進(jìn)去，故引入模型如下：

回歸分析就是根據(jù)已得的試驗(yàn)結(jié)果以及以往的經(jīng)驗(yàn)來建立統(tǒng)計(jì)模型，并研究變量間的相關(guān)關(guān)系，建立起變量之間的近似表達(dá)式，并由此對(duì)相應(yīng)的變量進(jìn)行預(yù)測和控制。二、一元線性回歸模型回歸分析的主要內(nèi)容（1）從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量間的定量關(guān)系（回歸模型）；（2）對(duì)模型的可信度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；（3）在有關(guān)的許多變量中，判斷變量的顯著性（即哪些是顯著的，哪些是不顯著的）從而決定保留哪些變量；（4）應(yīng)用結(jié)果對(duì)實(shí)際問題做出判斷和預(yù)測。10.1

牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型預(yù)測在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量收集了30個(gè)銷售周期本公司牙膏銷售量、價(jià)格、廣告費(fèi)用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價(jià)9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.8029

8.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價(jià)格差（元）廣告費(fèi)用(百萬元)其它廠家價(jià)格(元)本公司價(jià)格(元)銷售周期MATLAB統(tǒng)計(jì)工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n

4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~

的估計(jì)值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

R2,F,p

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計(jì)

參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值p遠(yuǎn)小于

=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近)x2對(duì)因變量y的影響不太顯著x22項(xiàng)顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立彩票中的數(shù)學(xué)問題全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2002年B題

彩票中的數(shù)學(xué)問題2002高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題

近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。

“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：先從6組0~9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼，每組搖出一個(gè)，然后從0~4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成中獎(jiǎng)號(hào)碼。投注者從0~9十個(gè)號(hào)碼中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0~4中選一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注，根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定中獎(jiǎng)等級(jí)。以中獎(jiǎng)號(hào)碼“abcdef+g”為例說明中獎(jiǎng)等級(jí)，如表1所示（X表示未選中的號(hào)碼）。一．問題的提出

表1中

獎(jiǎng)等

級(jí)10選

6+1（6+1/10）

基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明一等獎(jiǎng)Abcdefg選7中（6+1）二等獎(jiǎng)abcdef

選7中（6）三等獎(jiǎng)abcdeX

Xbcdef

選7中（5）四等獎(jiǎng)abcdXX

XbcdeX

XXcdef選7中（4）五等獎(jiǎng)abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中（3）六等獎(jiǎng)abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

選7中（2）

“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從01~33個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出7個(gè)基本號(hào)，再從剩余的26個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼。投注者從01~33個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序。又如“36選6+1”的方案:先從01~36個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出6個(gè)基本號(hào)，再從剩下的30個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼。投注者從01~36個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序。這兩種方案的中獎(jiǎng)等級(jí)如表2所示。

表2中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎(jiǎng)●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）注：●為選中的基本號(hào)碼；★為選中的特別號(hào)碼；○為未選中的號(hào)碼。

以上兩種類型的總獎(jiǎng)金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級(jí)別的獎(jiǎng)就不再兼得低級(jí)別的獎(jiǎng)?，F(xiàn)在常見的銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎(jiǎng)金設(shè)置方案如表三，其中一、二、三等獎(jiǎng)為高項(xiàng)獎(jiǎng)，后面的為低項(xiàng)獎(jiǎng)。低項(xiàng)獎(jiǎng)數(shù)額固定，高項(xiàng)獎(jiǎng)按比例分配，但一等獎(jiǎng)單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項(xiàng)獎(jiǎng)?lì)~的計(jì)算方法為：

[(當(dāng)期銷售總額×總獎(jiǎng)金比例)-低項(xiàng)獎(jiǎng)總額]×單項(xiàng)獎(jiǎng)比例（1）根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性。（2）設(shè)計(jì)一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報(bào)紙寫一篇短文，供彩民參考。表三序號(hào)方案一等獎(jiǎng)比例二等獎(jiǎng)比例三等獎(jiǎng)比例四等獎(jiǎng)金額五等獎(jiǎng)金額六等獎(jiǎng)金額七等獎(jiǎng)金額備注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010獎(jiǎng)項(xiàng)117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042無特別號(hào)246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030評(píng)價(jià)一個(gè)方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和廣大彩民兩方面的利益。事實(shí)上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。因此，問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？具體地講，問題涉及到一個(gè)方案的設(shè)置使彩民獲獎(jiǎng)的可能性有多大、獎(jiǎng)金額有多少、對(duì)彩民的吸引力有多大、廣大彩民如何看待各獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置，即彩民的心理曲線怎樣？另外，一個(gè)方案對(duì)彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況以及收入和消費(fèi)水平有關(guān)。為此，我們要考查一個(gè)方案的合理性問題，需要考慮以上這些因素的影響，這是我們建立模型的關(guān)鍵所在。二、模型分析三、模型假設(shè)與符號(hào)說明

1.彩票每期的中獎(jiǎng)號(hào)碼都是隨機(jī)產(chǎn)生的不受外界的任何因素的影響,彩票搖獎(jiǎng)是公平公正的。2.彩票發(fā)行單位每期拿出本期銷售額的50%作為獎(jiǎng)金發(fā)入獎(jiǎng)金池中。3.“傳統(tǒng)型”彩票選擇的號(hào)碼中的數(shù)字是可以重復(fù)的且號(hào)碼是有順序，不同的投注者選擇的號(hào)碼可以相同（因此一等獎(jiǎng)可能有多個(gè)中獎(jiǎng)?wù)撸?.“樂透型”彩票選擇的號(hào)碼中的數(shù)字是不可以重復(fù)的且號(hào)碼是無順序，不同的購買者選擇的號(hào)碼可以相同（因此一等獎(jiǎng)可能有多個(gè)中獎(jiǎng)?wù)撸?.若單注已得到高級(jí)別的獎(jiǎng)就不再兼得低級(jí)別的獎(jiǎng)。6.按問題中的高項(xiàng)獎(jiǎng)計(jì)算公式計(jì)算獎(jiǎng)金額，當(dāng)某期的一等獎(jiǎng)的金額低于60萬時(shí)，不足的金額由彩票銷售公司補(bǔ)足；當(dāng)計(jì)算出的某期的一等獎(jiǎng)的金額高于500萬時(shí)，公司也只將一等獎(jiǎng)金額定為500萬。9.彩民購買彩票是隨機(jī)的獨(dú)立事件；10.對(duì)同一方案中高級(jí)別獎(jiǎng)項(xiàng)的獎(jiǎng)金比例或獎(jiǎng)金額不應(yīng)低于相對(duì)低級(jí)別的獎(jiǎng)金比例或獎(jiǎng)金額；11.根據(jù)我國的現(xiàn)行制度，假設(shè)我國居民的平均工作年限為T=35年。

7.

彩票銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎(jiǎng)金設(shè)置方案在一定的時(shí)期內(nèi)是固定不變的。

8．一、二、三等獎(jiǎng)規(guī)定為高項(xiàng)獎(jiǎng)，其余的規(guī)定為低項(xiàng)獎(jiǎng)；低項(xiàng)獎(jiǎng)數(shù)額固定，高項(xiàng)獎(jiǎng)按比例分配，高項(xiàng)獎(jiǎng)?lì)~的計(jì)算方法為：

[(當(dāng)期銷售總額總獎(jiǎng)金比例)-低項(xiàng)獎(jiǎng)總額]單項(xiàng)獎(jiǎng)比例。---第等（高項(xiàng)）獎(jiǎng)?wù)几唔?xiàng)獎(jiǎng)總額的比例，J=1,2,3；----第等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額均值，；----彩民中第等獎(jiǎng)的概率，；

----彩民對(duì)某個(gè)方案第等獎(jiǎng)的滿意度，即第等獎(jiǎng)對(duì)彩民的吸引力，；

----某地區(qū)的平均收入和消費(fèi)水平的相關(guān)因子，稱為“實(shí)力因子”，一般為常數(shù)；

----彩票方案的合理性指標(biāo)，即方案設(shè)置對(duì)彩民吸引力的綜合指標(biāo)；

四、模型的準(zhǔn)備

（1）彩民獲各項(xiàng)獎(jiǎng)的概率從已給的29種方案可知，可將其分為四類,

分別給出各種類型方案的彩民獲各獎(jiǎng)項(xiàng)的概率公式：“傳統(tǒng)型”：先從6組0~9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼，每組搖出一個(gè)，然后從0~4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成中獎(jiǎng)號(hào)碼。投注者從0~9十個(gè)號(hào)碼中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0~4中選一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注，中

獎(jiǎng)等

級(jí)10選

6+1（6+1/10）

基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明一等獎(jiǎng)Abcdefg選7中（6+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)10選

6+1（6+1/10）

基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明二等獎(jiǎng)abcdef

選7中（6）中

獎(jiǎng)等

級(jí)10選

6+1（6+1/10）

基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明三等獎(jiǎng)abcdeX

Xbcdef

選7中（5）中

獎(jiǎng)等

級(jí)10選

6+1（6+1/10）

基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明四等獎(jiǎng)abcdXX

XbcdeX

XXcdef選7中（4）中

獎(jiǎng)等

級(jí)10選

6+1（6+1/10）

基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明五等獎(jiǎng)abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中（3）

中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（7）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明二等獎(jiǎng)●●●●●●○

★選7中（6+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明三等獎(jiǎng)●●●●●●○選7中（6）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明四等獎(jiǎng)●●●●●○○★選7中（5+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明五等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明六等獎(jiǎng)●●●●○○○★選7中（4+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明七等獎(jiǎng)●●●●○○○選7中（4）

樂透型”：先從n個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出m個(gè)基本號(hào)，再從剩余的n-m個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼。投注者從n個(gè)號(hào)碼中任選m個(gè)組成一注（不可重復(fù)），中

獎(jiǎng)等

級(jí)36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明一等獎(jiǎng)●●●●●●★選7中（6+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明二等獎(jiǎng)●●●●●●

選7中（6）中

獎(jiǎng)等

級(jí)36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明三等獎(jiǎng)●●●●●○★選7中（5+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明四等獎(jiǎng)●●●●●○選7中（5）中

獎(jiǎng)等

級(jí)36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明五等獎(jiǎng)●●●●○○★選7中（4+1）中

獎(jiǎng)等

級(jí)36選

6+1（6+1/36）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明六等獎(jiǎng)●●●●○○選7中（4），，，，

各種方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)概率及獲獎(jiǎng)總概率中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明一等獎(jiǎng)●●●●●●●選7中（7）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明二等獎(jiǎng)●●●●●●○

選7中（6）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明三等獎(jiǎng)●●●●●○○選7中（5）中

獎(jiǎng)等

級(jí)33選

7（7/33）基

本

號(hào)

碼

特別號(hào)碼說

明四等獎(jiǎng)●●●●○○○

選7中（4）表一：方案6+1/102×10-78×10-71.8×10-52.61×10-43.42×10-34.1995×10-2-----0.0456957/296.40705×10-74.48494×10-69.4184×10-52.8255×10-42.8255×10-34.7092×10-30.0298250.0377426+1/296.40705×10-71.4096×10-58.4573×10-58.8880×10-42.2200×10-31.4800×10-20.0197340.0377427/304.91207×10-73.43845×10-67.5646×10-52.2694×10-42.3828×10-33.9714×10-30.0264760.0331377/313.80290×10-72.66203×10-66.1227×10-51.8368×10-42.0205×10-33.3675×10-30.0235720.0292087/322.97101×10-72.07971×10-64.09913×10-51.4974×10-41.722×10-32.8700×10-30.0210470.0258327/332.34080×10-71.63856×10-64.0964×10-51.2289×10-41.4747×10-32.4578×10-30.0188430.0229417/341.85887×10-71.30121×10-63.3831×10-51.0149×10-41.2687×10-32.1145×10-30.0169160.0204367/351.48709×10-71.04097×10-62.8106×10-58.4318×10-51.0961×10-31.8269×10-30.0152240.018261計(jì)算結(jié)果:7/361.19794×10-78.38556×10-72.3480×10-57.0439×10-59.5092×10-41.5849×10-30.0137360.0163676+1/361.19794×10-73.47402×10-62.0844×10-52.9182×10-47.2954×10-46.5659×10-30.0087550.0163677/379.71301×10-86.79911×10-71.9717×10-55.9152×10-58.2813×10-41.3802×10-30.0124220.0147106/402.6053×10-71.5632×10-65.1584×10-51.2896×10-42.0634×10-32.7512×10-30.0284280.0334255/601.831×10-79.155×10-74.9437×10-59.8874×10-52.6202×10-32.6202×10-30.0454160.050806一般說來，人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念。在此，彩民對(duì)一個(gè)方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)及獎(jiǎng)金額的看法（即對(duì)彩民的吸引力）的變化就是一個(gè)典型的模糊概念。由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)人們通常對(duì)一件事物的心理變化一般遵循的規(guī)律，不妨定義彩民的心理曲線為表示彩民平均收入的相關(guān)因子，稱為實(shí)力因子，一般為常數(shù)。

（2）確定彩民的心理曲線（3）計(jì)算實(shí)力因子實(shí)力因子是反應(yīng)一個(gè)地區(qū)的彩民的平均收入和消費(fèi)水平的指標(biāo)，確定一個(gè)地區(qū)的彩票方案應(yīng)該考慮所在地區(qū)的實(shí)力因子，在我國不同地區(qū)的收入和消費(fèi)水平是不同的，因此，不同地區(qū)的實(shí)力因子應(yīng)有一定的差異，目前各地區(qū)現(xiàn)行的方案不盡相同，要統(tǒng)一來評(píng)估這些方案的合理性，就應(yīng)該對(duì)同一個(gè)實(shí)力因子進(jìn)行研究。為此，我們以中等地區(qū)的收入水平（或全國平均水平）為例進(jìn)行研究。根據(jù)相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入1.5萬元，按我國的現(xiàn)行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬元，萬元時(shí)，取（即吸引力的中位數(shù)），則有。于是，當(dāng)同理，可以算出年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元的實(shí)力因子如表二。

表二：年收入指標(biāo)1萬元1.5萬元2萬元2.5萬元3萬元4萬元5萬元10萬元42039363058984078610509821261179168157121019644203928五．模型的建立與求解問題（一）要綜合評(píng)價(jià)這些方案的合理性，應(yīng)該建立一個(gè)能夠充分反應(yīng)各種因素的合理性指標(biāo)函數(shù)。因?yàn)椴拭褓徺I彩票是一種風(fēng)險(xiǎn)投資行為，為此，我們根據(jù)決策分析的理論，考慮到彩民的心理因素的影響，可取為風(fēng)險(xiǎn)決策的益損函數(shù)，于是作出如下的指標(biāo)函數(shù)

（1）即表示在考慮彩民的心理因素的條件下，一個(gè)方案的獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金設(shè)置對(duì)彩民的吸引力。另一方面，由題意知，單注所有可能的低項(xiàng)獎(jiǎng)金總額為，根據(jù)高項(xiàng)獎(jiǎng)的計(jì)算公式得單注可能的第j

項(xiàng)（高項(xiàng)獎(jiǎng)）獎(jiǎng)金額為故平均值為（2）于是由（1），（2）式得

（3）利用Matlab可計(jì)算出29種方案的合理性指標(biāo)值F及高項(xiàng)獎(jiǎng)的期望值，排在前三位的如下表三。

表三：

指標(biāo)

方案排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×1053598417143問題(二)

根據(jù)問題（一）的討論，現(xiàn)在的問題是取什么樣的方案m/n(n和m取何值）、設(shè)置哪些獎(jiǎng)項(xiàng)、高項(xiàng)獎(jiǎng)的比例為多少和低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額為多少時(shí)，使目標(biāo)函數(shù)

有最大值。為決策變量，以它們之間所滿足的關(guān)系為約束條件，則可得到非線性規(guī)劃模型：

關(guān)于約束條件的說明：1.條件（1）（2）同問題（一）；2.條件（3）（4）是對(duì)高項(xiàng)獎(jiǎng)的比例約束，的值不能太大或太小，（4）是根據(jù)已知的方案確定的；

3.條件（5）是根據(jù)題意中一等獎(jiǎng)的保底額和封頂額確定的；

4.條件（6）中的分別為i等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額計(jì)算結(jié)果和已知各方案的獎(jiǎng)金數(shù)額統(tǒng)計(jì)得：

高的倍數(shù)，可由問題（一）的5.條件（7）是根據(jù)實(shí)際問題確定的，實(shí)際中高等獎(jiǎng)的概率

,它的值主要由m,n確定。6.條件（8）（9）是對(duì)方案中m,n取值范圍的約束，是由已知的方案確定的；這是一個(gè)較復(fù)雜的非線性（整數(shù)）規(guī)劃，其中概率的取值分為四種不同的情況且由整數(shù)變量m,n確定，一般的求解是困難的。為此，利用Matlab可求解得最優(yōu)解為最優(yōu)值為故對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方案為：32選6（6/32），一、二、三等獎(jiǎng)的比例分別為80%、9%、11%，四、五、六、七等獎(jiǎng)的金額分別為200、10、1、0元。前面是針對(duì)中等收入水平的彩民情況考慮的，對(duì)于經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)和欠發(fā)達(dá)地區(qū)應(yīng)有所不同。這里分別對(duì)年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元,工作年限均35年的情況進(jìn)行了討論，給出適用于相應(yīng)各種情況的最優(yōu)方案，如下面的表四。表四：年收入指標(biāo)1萬元2萬元2.5萬元3萬元4萬元5萬元10萬元42039384078610509821261179168157121019644203928最優(yōu)方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/358.255×10-74.623×10-74.103×10-73.223×10-72.475×10-72.075×10-71.828×10-70.800.800.730.700.730.730.800.100.90.170.150.190.180.130.100.110.100.150.070.090.076.5×1056．18×1051.38×1061．46×1062.23×1062.99×1063.91×10630371200044750652172227211.07×1059425260760012351739150719741746138200100200100200103710102020102011522250000003問題（三）（略）說明：

（1）研究此問題必須要考慮心理曲線，但心理曲線的可能會(huì)有不同的形式，主要是看對(duì)問題解釋是否合理，實(shí)力因子在不同地區(qū)可以取不同的值，對(duì)方案的評(píng)判結(jié)果也會(huì)有差別。（2）問題的合理性指標(biāo)函數(shù)的一定與心理曲線有關(guān)，但應(yīng)該在風(fēng)險(xiǎn)決策的意義下確定出益損函數(shù)，益損函數(shù)的確定不是唯一的。（3）問題中的概率公式的形式應(yīng)該是唯一的。參考文獻(xiàn)中國彩票網(wǎng)：http://排隊(duì)論問題排隊(duì)論（Queuingtheory），又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)，是通過研究各種服務(wù)系統(tǒng)在排隊(duì)等待現(xiàn)象中的概率特性，解決服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)與最優(yōu)控制的一種理論。（一）、排隊(duì)論的基本概念

1、綜述排隊(duì)系統(tǒng)的例子

顧客要求的服務(wù)服務(wù)臺(tái)1．借書的學(xué)生2．打電話3．提貨者4．待降落的飛行器5．儲(chǔ)戶6．河水進(jìn)入水庫7．購票旅客8．十字路口的汽車借書通話提貨降落存款、取款放水、調(diào)整水位購票通過路口圖書管理員交換臺(tái)倉庫管理員指揮塔臺(tái)

儲(chǔ)蓄窗口、ATM取款機(jī)水庫管理員售票窗口紅綠燈或交警由“服務(wù)臺(tái)”和“顧客”構(gòu)成了服務(wù)系統(tǒng)。當(dāng)“服務(wù)臺(tái)”繁忙時(shí)，“顧客”就必須排隊(duì)等待或暫時(shí)離去，或者放棄服務(wù)。由于顧客到來時(shí)刻與服務(wù)時(shí)間都是隨不同的時(shí)機(jī)和條件而變化，因此服務(wù)系統(tǒng)的狀態(tài)也呈現(xiàn)出隨機(jī)性。一般說來，服務(wù)系統(tǒng)大都是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)。這里必須說明的是，排隊(duì)的“顧客”要作廣義理解，它可以是人，也可以是物。增加服務(wù)設(shè)施可以減少等待時(shí)間，但服務(wù)成本也會(huì)提高，而減少服務(wù)設(shè)施，則可以減少開支，但卻增加了等待時(shí)間。如何把等待時(shí)間轉(zhuǎn)化為費(fèi)用與服務(wù)成本進(jìn)行比較，從而找出最佳方案，目前尚未很好解決。而排隊(duì)論主要是利用分析、研究排隊(duì)過程幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)，對(duì)服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行分析，提供有關(guān)單位參考、決策，進(jìn)一步探討最優(yōu)化問題。排隊(duì)的過程可表示為：顧客到達(dá)排隊(duì)接受服務(wù)顧客離去服務(wù)系統(tǒng)輸出輸入排隊(duì)系統(tǒng)由輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)臺(tái)三個(gè)部分組成1.輸入過程描述要求服務(wù)的顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過程，有時(shí)也稱之為顧客流?？梢詮南旅嫒齻€(gè)方面來刻畫：(1)顧客總體數(shù)，又稱顧客源、輸入源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。如來商場購物的顧客數(shù)量可以認(rèn)為是無限的，車間內(nèi)待修的機(jī)器顯然是有限的。（二）、排隊(duì)系統(tǒng)的基本組成(2)顧客到達(dá)的形式。這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，是單個(gè)到達(dá)，還是成批到達(dá)。如貨品成批進(jìn)入倉庫。(3)顧客流的概率分布，或稱顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布。這是首先需要確定的指標(biāo)。令T0=0，Tn表示第n個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間，則有T0≤T1≤…≤Tn≤…，記Xn

＝Tn

－Tn-1，n=1,2,…，則Xn是第n個(gè)顧客與第n-1個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔。一般地，假設(shè){Xn}是獨(dú)立同分布的。關(guān)于{Xn}的分布（顧客流的概率分布），在排隊(duì)論中經(jīng)常用到的有定長分布、負(fù)指數(shù)分布、愛爾朗分布等等。2.排隊(duì)規(guī)則主要是描述服務(wù)機(jī)構(gòu)是否允許顧客排隊(duì)，顧客對(duì)排隊(duì)長度、時(shí)間和容忍程度以及在排隊(duì)隊(duì)列中等待服務(wù)的順序。常見的排隊(duì)規(guī)則有如下幾種情形：(1)損失制指當(dāng)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被占用，顧客不愿等待而離開系統(tǒng)。例如，某些電話系統(tǒng)可以看作是損失制排隊(duì)系統(tǒng)。(2)等待制指顧客到達(dá)系統(tǒng)后，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)，一直等到服務(wù)完畢以后才離去；①先到先服務(wù)（FIFO，F(xiàn)irstInFirstOut）；②后到先服務(wù)（LIFO，LastInFirstOut）；③有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PS，PriorityService）④隨機(jī)服務(wù)（RS，RandomService）(3)混合制這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無限長下去。大體有以下三種：①隊(duì)長有限。當(dāng)?shù)却?wù)的顧客人數(shù)超過規(guī)定數(shù)量時(shí)，后來的顧客就自動(dòng)離去，另求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。如旅館的床位是有限的。②等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不超過某一給定的長度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過時(shí)間T時(shí)，顧客將自動(dòng)離去，并不再回來。如易損壞的電子元器件的庫存問題，超過一定存儲(chǔ)時(shí)間的元器件被自動(dòng)認(rèn)為失效。③逗留時(shí)間（等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和）有限。例如，用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t時(shí)，若在這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。損失制和等待制可以看成是混合制的特殊情形。如記s為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，K為系統(tǒng)的容量（即系統(tǒng)只能容納K個(gè)顧客），則當(dāng)K=s時(shí)，混合制即為損失制；當(dāng)K=∞時(shí)，即為等待制。3.服務(wù)臺(tái)（也稱為服務(wù)機(jī)構(gòu)）服務(wù)臺(tái)可以從以下三個(gè)方面來描述：(1)服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成形式從數(shù)量上說，服務(wù)臺(tái)有單臺(tái)和多臺(tái)之分。從構(gòu)成形式上看，有單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)式、單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式、單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)式\多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式等等；…顧