數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程

數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.3數(shù)學(xué)模型的分類1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)1.5關(guān)于建模競賽一、基礎(chǔ)知識概述1.0數(shù)學(xué)素養(yǎng)★“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的通俗說法是“把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識都排除或忘掉后，剩下的東西”。例如，從數(shù)學(xué)角度看問題的出發(fā)點；有條理的思維，嚴密的思考、求證；簡潔、清晰、準確的表達；在解決問題時、總結(jié)工作時，邏輯推理的意識和能力；對所從事的工作，合理的量化、簡化，周到的運籌帷幄。一是主動尋求并善于抓住數(shù)學(xué)問題的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；二是熟練地用準確、簡明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達自己的數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；三是具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理的提出新思想、新概念、新方法的素養(yǎng)；四是對各種問題以“數(shù)學(xué)方式”的理性思維，從多種角度探尋解決問題的方法的素養(yǎng)；五是善于對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理的簡化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)。“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”包含五點：1.1

從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型原型和模型原型：指人們在現(xiàn)實世界里關(guān)心、研究或者從事生產(chǎn)、管理的實際對象。模型：為了某個特定目的將原型的某一部分信息檢索、提煉而構(gòu)造的原型替代物。也可以說模型是為了一定目的，對原型的主要特征進行簡化、抽象得到的一個低代價近似替代物。玩具、照片、房屋模型……~實物模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號模型你常見的模型需要強調(diào)的是：構(gòu)造模型的目的性，模型不是原型原封不動的復(fù)制品，原型有各個方面和各種層次的特征，而模型只要求反映與某種目的有關(guān)的哪些方面和層次。模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。

根據(jù)模型替代原型的方式可以對模型進行分類：模型形象模型抽象模型直觀模型數(shù)學(xué)模型符號模型思維模型物理模型我們主要研究數(shù)學(xué)模型，那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？解：用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解你熟悉的數(shù)學(xué)模型——“航行問題”作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

用這個答案解釋原問題（船速每小時20千米/小時，水速每小時20千米/小時）；航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

最后還要用實際現(xiàn)象來驗證上述結(jié)果。對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了一個特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過程簡稱為數(shù)學(xué)建?；蚪?。數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁數(shù)學(xué)建模:應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的第一步數(shù)學(xué)建模:通常有本質(zhì)性的困難和原始性的創(chuàng)新(關(guān)鍵一步)實際問題數(shù)學(xué)MathematicalModeling

數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(CaseStudies)來學(xué)習(xí)。二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)1.2數(shù)學(xué)建模的方法和步驟模型準備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準備了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’百度、谷歌、圖書館、書籍、維普、中國知網(wǎng)、統(tǒng)計局等數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型假設(shè)針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實際對象用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答實踐現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)世界理論實踐1.3

數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化（規(guī)劃）、微分差分方程、概率統(tǒng)計、圖論……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學(xué)應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的區(qū)別數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)建模問題來源數(shù)學(xué)教學(xué)實際背景問題條件明確清晰不完全明確，需要作進一步了解或假設(shè)解決方法多種多種問題結(jié)論有標準答案有參考解答但無標準答案。不同的假設(shè)下有不同的模型和結(jié)論數(shù)學(xué)建?！夹g(shù)+藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評價、改進別人作過的模型

親自動手，認真作幾個實際題目1.4數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)需要：1、競賽的指導(dǎo)思想2、歷年試題3、競賽中的題型特點4、論文的內(nèi)容和格式5、參賽注意1.5關(guān)于建模競賽1、數(shù)模競賽的指導(dǎo)思想數(shù)模競賽題是一個“課題”，大部分都源于生產(chǎn)實際或者科學(xué)研究的過程中，它是一個綜合性的問題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計算機來完成。其答案往往不是唯一的（數(shù)學(xué)模型是實際的模擬，是實際問題的近似表達，它的完成是在某種合理的假設(shè)下，因此其只能是較優(yōu)的，不唯一的），呈報的成果是一編“論文”。2、歷年試題1993年A題非線性交調(diào)的頻率設(shè)計1993年B題球隊排名問題1994年A題逢山開路1994年B題鎖具裝箱1995年A題一個飛行管理模型1995年B題天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度1996年A題最優(yōu)捕魚策略1996年B題節(jié)水洗衣機1997年A題零件的參數(shù)設(shè)計1997年B題截斷切割1998年A題投資的收益和風(fēng)險1998年B題災(zāi)情巡視路線1999年A題自動化車床管理1999年B題鉆井布局2000年A題DNA序列分類2000年B題鋼管定購和運輸2001年A題血管的三維重建2001年B題公交車調(diào)度2002年A題車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計2002年B題彩票中的數(shù)學(xué)2003年A題SARS的傳播2003年B題露天礦生產(chǎn)的車輛安排2004年A題奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)2004年B題電力市場的輸電阻塞管理2005年A題長江水質(zhì)的評價和預(yù)測2005年B題DVD在線租賃2006年A題出版社的資源配置2006年B題艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測2007年A題中國人口增長預(yù)測2007年B題乘公交，看奧運2008年A題數(shù)碼相機定位2008年B題高等教育學(xué)費標準探討2009年A題制動器試驗臺的控制方法2009年B題眼科病床的合理安排2010年A題儲油罐的變位識別與罐容表標定2010年B題2010年上海世博會影響力的定量評估3、競賽中的題型特點1）.實際問題背景涉及面寬——有社會，經(jīng)濟，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問題等。大體上可以分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、工程設(shè)計、交通運輸、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學(xué)和社會事業(yè)等七個大類。

工業(yè)類：電子通信、機械加工與制造、機械設(shè)計與控制等行業(yè),共有8個題，占28.6%。農(nóng)業(yè)類：１個題，占3.6%。工程設(shè)計類:

3個題，占10.7%。交通運輸類：3個題，占10.7%經(jīng)濟管理類：4個題，占14.3%生物醫(yī)學(xué)類：4個題，占14.3%社會事業(yè)類:5個題，占17.8%

有的問題屬于交叉的，或者是邊緣的。2）.若干假設(shè)條件1）只有過程、規(guī)則等定性假設(shè)；2）給出若干實測或統(tǒng)計數(shù)據(jù)；3）給出若干參數(shù)或圖形；4）蘊涵著某些機動、可發(fā)揮的補充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。3）.要求回答的問題有幾個問題，而且一般不是唯一答案。1）比較確定性的答案（基本答案）；2）更細致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。4）、涉及的數(shù)學(xué)方法繁多

從問題的解決方法上分析，涉及到的數(shù)學(xué)建模方法有幾何理論、組合概率、統(tǒng)計分析、優(yōu)化方法、圖論、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分方法、微分方程、排隊論、模糊數(shù)學(xué)、隨機決策、多目標決策、隨機模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時間序列、綜合評價方法、機理分析等方法。4、論文內(nèi)容和格式1）.標題題目——寫出較確切的題目。2）.摘要——200-300字，包括a.模型的數(shù)學(xué)歸類（在數(shù)學(xué)上屬于什么類型）；b.建模的思想（思路）；c.算法思想（求解思路）；d.建模特點（模型優(yōu)點，建模思想或方法，算法特點，結(jié)果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗……）；e.主要結(jié)果（數(shù)值結(jié)果，結(jié)論；回答題目所問的全部“問題”）?！⒁獗硎觯簻蚀_、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮?！鴥?nèi)容較多時最好有個目錄。3）.問題重述4）.模型假設(shè)根據(jù)全國組委會確定的評閱原則，基本假設(shè)的合理性很重要。a.根據(jù)題目中條件作出假設(shè)b.根據(jù)題目中要求作出假設(shè)C.符合假設(shè)關(guān)鍵性假設(shè)不能缺；假設(shè)要切合題意。5）.模型構(gòu)建a.基本模型：?。┦紫纫袛?shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)公式、方案等；ⅱ）基本模型，要求完整，正確，簡明；b.簡化模型：?。┮鞔_說明簡化思想，依據(jù)等；ⅱ）簡化后模型，盡可能完整；c.模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。數(shù)學(xué)建模面臨的、要解決的是實際問題，不追求數(shù)學(xué)上的高（級）、深（刻）、難（度大）。?。┠苡贸醯确椒ń鉀Q的、就不用高級方法；ⅱ）能用簡單方法解決的，就不用復(fù)雜方法；ⅲ）能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數(shù)人看懂、理解的方法。d．鼓勵創(chuàng)新，但要切實，不要離題搞標新立異。數(shù)模創(chuàng)新可出現(xiàn)在：1.建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等；2.模型求解中；3.結(jié)果表示、分析、檢驗，模型檢驗；4.推廣部分。e．在問題分析推導(dǎo)過程中，需要注意的問題：ⅰ）分析：中肯、確切；ⅱ）術(shù)語：專業(yè)、內(nèi)行；ⅲ）原理、依據(jù)：正確、明確；ⅳ）表述：簡明，關(guān)鍵步驟要列出；ⅴ）忌：外行話，專業(yè)術(shù)語不明確，表述混亂，冗長。6）.模型求解a.需要建立數(shù)學(xué)命題時：命題敘述要符合數(shù)學(xué)命題的表述規(guī)范，盡可能論證嚴密。b.要說明計算方法或算法的原理、思想、依據(jù)、步驟。若采用現(xiàn)有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱。

c.計算過程，中間結(jié)果可要可不要的，不要列出。d.設(shè)法算出合理的數(shù)值結(jié)果。7）.結(jié)果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結(jié)果表示a.最終數(shù)值結(jié)果的正確性或合理性是第一位的；b.對數(shù)值結(jié)果或模擬結(jié)果進行必要的檢驗；結(jié)果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因，對算法、計算方法、或模型進行修正、改進。c.題目中要求回答的問題，數(shù)值結(jié)果，結(jié)論，須一一列出；d.列數(shù)據(jù)問題：考慮是否需要列出多組數(shù)據(jù)，或額外數(shù)據(jù).對數(shù)據(jù)進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據(jù)；e.結(jié)果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析。▲數(shù)值結(jié)果表示：精心設(shè)計表格；可能的話，用圖形圖表形式?！蠼夥桨?，用圖示更好。8）.模型評價優(yōu)點突出，缺點不回避。改變原題要求，重新建?？稍诖俗觥Ｍ茝V或改進方向時，不要玩弄新數(shù)學(xué)術(shù)語，沒把握時，不要隨便推廣、改進。9.參考文獻[1]武桃，張力.數(shù)學(xué)模型[M].北京：高等教育出版社，1960，45-49.[2]陸平.數(shù)學(xué)模型研究[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2010，2(5):12-18.[3]數(shù)學(xué)實驗,.10）.附錄詳細的結(jié)果，詳細的數(shù)據(jù)表格，圖表，算法程序，可在此列出，但不要錯。主要結(jié)果數(shù)據(jù)，表格，應(yīng)在正文中列出，不怕重復(fù)。5.參賽注意1．時間和體力的問題2．團隊合作是能否獲獎的關(guān)鍵3．重視摘要

4．論文寫作要正規(guī)5．模型的假設(shè)與模型的建立6．圖文表并茂可以增色

二、建模問題選講艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2006年B題

艾滋病是當前人類社會最嚴重的瘟疫之一，從1981年發(fā)現(xiàn)以來的20多年間，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡稱HIV）引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。

艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。

迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法?，F(xiàn)在得到了美國艾滋病醫(yī)療試驗機構(gòu)ACTG公布的兩組數(shù)據(jù)。

ACTG320（見附件1）是同時服用zid.,lam.,ind.3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。193A（見附件2）是將1300多名病人隨機地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：600mgzid.或400mgdid.，這兩種藥按月輪換使用；600mgzid.加2.25mgzal.；600mgzid.加400mgdid.；600mgzid.加400mgdid.，再加400mgnev.。請你完成以下問題：（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。（2）利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標準），并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。

(3)艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達國家提供的藥品價格如下：600mgzid.1.60美元，400mgdid.0.85美元，2.25mgzal.1.85美元，400mgnev.1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費用，對（2）中的評價和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。附件1ACTG320數(shù)據(jù)同時服用3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度。第1列是病人編號，第2列是測試CD4的時刻（周），第3列是測得的CD4（乘以0.2個/ml），第4列是測試HIV的時刻（周），第5列是測得的HIV（單位不詳）。PtID CD4DateCD4CountRNADate

VLoad23424 0 178 0 5.523424 4 228 4 3.923424 8 126 8 4.723424 25 171 25 42342440 99 40 523425 0 14 0 5.323425 4 62 4 2.423425 9 110 9 3.723425 23 122 23 2.623425 40 320 附件2193A數(shù)據(jù)1300多名病人按照4種療法服藥大約每隔8周測試的CD4濃度。第1列是病人編號，第2列是4種療法的代碼：第3列是病人年齡，第4列是測試CD4的時刻（周），第5列是測得的CD4，取值log(CD4+1).ID療法年齡時間Log(CD4count+1)1 2 36.4271 0 3.13551 2 36.4271 7.5714 3.04451 2 36.4271 15.5714 2.77261 2 36.4271 23.5714 2.83321 2 36.4271 32.5714 3.21891 2 36.4271 40 3.04452 4 47.8467 0 3.06812 4 47.8467 8 3.89182 4 47.8467 16 3.97032 4 47.8467 23 3.61092 4 47.8467 30.7143 3.33222 4 47.8467 39 3.0910CD4大致有先增后減的趨勢，HIV有先減后增的趨勢，啟示應(yīng)建立時間的二次函數(shù)模型問題（1）利用附件1的數(shù)據(jù)，預(yù)測繼續(xù)治療的效果,或者確定最佳治療終止時間。分析數(shù)據(jù)如隨機取20個病人，畫出他們CD4和HIV濃度隨時間變化的圖形（折線），若先用一次模型，應(yīng)與二次模型做統(tǒng)計分析比較CD4HIV1）

總體回歸模型

用全部數(shù)據(jù)擬合一個模型，如yij=b0+b1tij+b2tij2，tij，yij分別為第i病人第j次測量的時間和測量值（CD4或HIV）或者測量值與初始值之比，用數(shù)據(jù)估計b0,b1,b2建立模型有以下形式的回歸模型（一次與二次模型比較，二次較優(yōu)）：對HIV，b2>0,b1<0,t=-b1/2b2達到最小對CD4，b2<0,b1>0,t=-b1/2b2達到最大平均地應(yīng)在25~30（周）CD4達到最大，HIV達到最小，可以合理確定結(jié)束治療時間?？蓪D4統(tǒng)計b2i<0,b1i>0（存在正最大點）及b2i>0（不存在最大點）的頻率，對HIV統(tǒng)計b2i>0,b1i<0（存在正最小點）及b2i<0（不存在最小點）的頻率,分別作為及時結(jié)束治療與繼續(xù)治療的概率(一般分別為0.6~0.8以及0.2~0.3)；也可用它們的均值和均方差在確定分布下計算這些概率。2)個人回歸模型用每個病人的數(shù)據(jù)擬合一個模型，如yij=b0i+b1itij+b2itij2，計算b0i,b1i,b2i的均值和均方差，用均值可得CD4的最大點和HIV的最小點，一般為20-30周。3)分段時序模型

對yij用j以前的資料如y(i，j-1),t(ij)-t(i，j-1)，j-1段的斜率等為變量建立模型(j=3,4,5,6)，由數(shù)據(jù)估計系數(shù)，預(yù)測yij，然后對CD4統(tǒng)計預(yù)測的yij大于實際的y(i，j-1)的頻率，對HIV統(tǒng)計預(yù)測的yij小于實際的y(i，j-1)的頻率，由此得到應(yīng)終止治療的時段。如果考慮病人初始狀態(tài)（t=0時的CD4和HIV）的不同對模型的影響，可以將模型中的yij定義為第i病人第j次測量的CD4（或HIV）與初始值之差或之比?；蛘呦劝凑詹∪顺跏紶顟B(tài)分類（如輕度、中度、重度），然后對于每一類建立回歸模型。建立模型幾點注意:(1)建立幾種模型相互比較、驗證者較優(yōu)。(2)不能只有模型，不做統(tǒng)計分析；對模型結(jié)果進行統(tǒng)計分析，考慮與數(shù)據(jù)擬合程度、注意去除異常數(shù)據(jù)者較優(yōu)。(3)注意到有一些數(shù)據(jù)是當出現(xiàn)CD4下降、HIV上升就及時結(jié)束的，并做出適當考慮者較優(yōu)。(4)注意到題目中“艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度”，并對結(jié)果做出適當考慮者較優(yōu)。問題（2）：利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣，并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。對于每種療法隨機取20個病人，畫出他們CD4隨時間變化的圖形（折線），可以看出療法1~3的CD4基本上水平，略有下降，而療法4有先增后減的趨勢。啟示應(yīng)建立時間的一次與二次函數(shù)模型，經(jīng)統(tǒng)計分析比較，確定哪種較優(yōu)。

分析數(shù)據(jù)1)可以引入4（或3）個0-1變量表示4種療法建立統(tǒng)一模型，或者對每種療法各建立一個模型（一般來說前者較優(yōu)）。1.回歸模型方法以總體回歸模型為例，只需增加年齡變量，分別用一次與二次時間函數(shù)模型進行比較，可知療法1~3用一次模型較優(yōu)，且一次項系數(shù)為負，即CD4在減少，從數(shù)值看療法3優(yōu)于療法2和1；療法4用二次模型較優(yōu)，即CD4先增后減，在t=20左右達到最大.建立模型做療法有無顯著性差異的兩兩比較：用1個0-1變量構(gòu)造兩種療法的統(tǒng)一模型，可以用t檢驗作回歸系數(shù)是否為零的假設(shè)檢驗。結(jié)果是療法1與2無顯著性差異，而療法1與3，2與3，3與4均有顯著性差異。2）假設(shè)檢驗療法是必選的因素，如果還考慮年齡和初始狀態(tài)，用雙因素分析則比較復(fù)雜，可以先按這些因素分類，再做療法的單因素分析。3）方差分析問題(3):如果病人需要考慮4種療法的成本，對(2)中的評價和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。根據(jù)提供的價格療法1~4每天的費用分別為：1.60(取最大),3.45,2.45,3.65，顯然若經(jīng)濟允許應(yīng)采用療法4，否則可設(shè)定包含療效和費用的決策函數(shù)，進行決策。論文中出現(xiàn)問題的評析1．只做數(shù)據(jù)擬合，不做統(tǒng)計檢驗。用回歸分析方法做統(tǒng)計檢驗：得到的模型有無顯著意義，它的置信度多大，用它作預(yù)測時準確程度如何。最小二乘擬合：已知一組數(shù)據(jù)(xk,yk),k=1,2,…,n和一個形式已定、參數(shù)

待定的模型（曲線）y=f(x,),確定參數(shù)使數(shù)據(jù)與模型在誤差平方和最小的意義下擬合得最好。有現(xiàn)成的計算公式和軟件確定參數(shù)x0123456789y1.041.221.381.591.801.992.212.392.652.83z0.280.612.192.562.491.173.171.292.113.27y=a1x+b1=0.2013x+1.0040z=a2x+b2=0.2025x+1.0025兩個模型的結(jié)果一樣，但是可靠性和準確性一樣嗎？需要做統(tǒng)計檢驗！簡例最小二乘擬合yxzx決定系數(shù)R2F值p值剩余方差

2a的置信區(qū)間b的置信區(qū)間y=a1x+b10.99855294<0.00010.0006[0.1950,0.2077][0.9699,1.0381]z=a2x+b20.35284.3610.07020.7761[-0.0211,0.4262][-0.1915,2.1966]

R2=0.3528~在z的變化中只有35%是由x決定的

p值大于0.05~在常用的置信度

=5%下該模型沒有顯著意義

a2的置信區(qū)間包含零點~a=0落在置信水平為95%的區(qū)間內(nèi)

若x=5.5預(yù)測區(qū)間y：[2.0621，2.1606]，z：[0.3899，3.8432]，預(yù)測值y=2.1113,z=2.1165回歸分析結(jié)果z的預(yù)測沒有什么價值！2．對原始數(shù)據(jù)先取平均，再用平均值做擬合數(shù)據(jù)中大多數(shù)病人的測試時間是0,4,8,…（周），個別病人是5,7,…（周），為了得到CD4(或HIV)的變化趨勢，先在每個時間點上對CD4取平均，再用平均值做擬合．這樣做有什么問題呢？注意：有的時間點上有上百個病人的CD4，而有的時間點上只有幾個病人的CD4。

數(shù)據(jù)(x,y)：x=0,y=0:0.05:2;

x=1,y=1:0.05:3;x=2,y=0,2,在圖上共84個點。簡例對數(shù)據(jù)(x,y)擬合一條直線，得y=0.7647x+1.0784先在x=0,1,2對y取平均得到3個點,再擬合直線，得y=1.3333取平均后的3個點在做擬合時的權(quán)重相同;但是x=0,1的點都是41個數(shù)據(jù)的平均值,而x=3的點只是2個數(shù)據(jù)的平均值3．擬合過度用4次、5次甚至更高次數(shù)的多項式作擬合數(shù)據(jù)的起伏是由與時間本身無關(guān)的其它隨機因素引起的，不應(yīng)該用增加時間的高次項來擬合注意擬合與插值在應(yīng)用場合的差別一般地說，多項式擬合不要超過3次，對于本題如果用統(tǒng)計檢驗做顯著性分析，可以發(fā)現(xiàn)多數(shù)情況是以時間的2次多項式為好適用本題的顯然是擬合而非插值4．只按照圖形做直觀的定性判斷，不做定量分析為了比較4種療法的優(yōu)劣，對每種療法的CD4（或取平均）做散點圖,或折線（散點連線）圖,直觀地比較療法的優(yōu)劣沒有普遍的指導(dǎo)意義，對于其它問題或數(shù)據(jù)，這樣做不一定能得到結(jié)果一種療法的CD4散點圖(或折線圖)在另一種療法的上面,從統(tǒng)計意義上并不能表明其顯著性作為數(shù)學(xué)建模題目應(yīng)該給出定量的處理方法!5．雙指標處理不當對于CD4和HIV兩個指標的處理，常用的方法是用某種函數(shù)形式將二者結(jié)合在一起.由于CD4越大越好，HIV越小越好，一些同學(xué)取二者之差或二者之商為綜合指標.這樣簡單處理的問題在于，這兩個指標量綱不同,數(shù)量級差別較大.恰當?shù)霓k法是，先分別將其歸一化（如將數(shù)值變換到0-1之間），然后取加權(quán)平均.一回歸分析

在客觀世界中，普遍存在著變量之間的相互關(guān)系。數(shù)學(xué)的重要作用就是從數(shù)量上來揭示、表達和分析這些關(guān)系。而變量之間的關(guān)系分為兩類：

確定性關(guān)系-------即我們所熟悉的變量之間的函數(shù)關(guān)系，如圓的半徑R與圓的面積S之間就存在確定的函數(shù)關(guān)系。

非確定性關(guān)系-------即變量之間雖然有密切的關(guān)系，但這種關(guān)系卻無法用確定的函數(shù)關(guān)系表達，變量之間的這種非確定性關(guān)系，稱為相關(guān)關(guān)系。例如：人的身高和體重的關(guān)系；人的血壓和年齡的關(guān)系，某產(chǎn)品的廣告投入與銷售額的關(guān)系等?；貧w分析是研究兩個或兩個以上變量的相關(guān)關(guān)系的一種重要的統(tǒng)計方法。相關(guān)知識提要

具有相關(guān)關(guān)系的變量雖然不具有確定的函數(shù)關(guān)系，但是可以借助函數(shù)關(guān)系來表示它們之間的統(tǒng)計規(guī)律。這種近似地表示它們之間的相關(guān)關(guān)系的函數(shù)被稱為回歸函數(shù)。

最簡單的情形是由兩個變量形成的關(guān)系?？紤]用下列模型表示：

但是由于兩個變量之間不存在確定的函數(shù)關(guān)系，因此，必須把隨即波動考慮進去，故引入模型如下：

回歸分析就是根據(jù)已得的試驗結(jié)果以及以往的經(jīng)驗來建立統(tǒng)計模型，并研究變量間的相關(guān)關(guān)系，建立起變量之間的近似表達式，并由此對相應(yīng)的變量進行預(yù)測和控制。二、一元線性回歸模型回歸分析的主要內(nèi)容（1）從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量間的定量關(guān)系（回歸模型）；（2）對模型的可信度進行統(tǒng)計檢驗；（3）在有關(guān)的許多變量中，判斷變量的顯著性（即哪些是顯著的，哪些是不顯著的）從而決定保留哪些變量；（4）應(yīng)用結(jié)果對實際問題做出判斷和預(yù)測。10.1

牙膏的銷售量

問題建立牙膏銷售量與價格、廣告投入之間的模型預(yù)測在不同價格和廣告費用下的牙膏銷售量收集了30個銷售周期本公司牙膏銷售量、價格、廣告費用，及同期其它廠家同類牙膏的平均售價9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.8029

8.510.256.754.003.7527.38-0.055.503.803.851銷售量(百萬支)價格差（元）廣告費用(百萬元)其它廠家價格(元)本公司價格(元)銷售周期MATLAB統(tǒng)計工具箱

模型求解[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)

輸入

x=~n

4數(shù)據(jù)矩陣,第1列為全1向量alpha(置信水平,0.05)

b~

的估計值bint~b的置信區(qū)間r~殘差向量y-xb

rint~r的置信區(qū)間Stats~檢驗統(tǒng)計量

R2,F,p

y~n維數(shù)據(jù)向量輸出

由數(shù)據(jù)y,x1,x2估計

參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3結(jié)果分析y的90.54%可由模型確定參數(shù)參數(shù)估計值置信區(qū)間17.3244[5.728228.9206]1.3070[0.68291.9311]-3.6956[-7.49890.1077]0.3486[0.03790.6594]R2=0.9054F=82.9409p=0.0000

0

1

2

3F遠超過F檢驗的臨界值p遠小于

=0.05

2的置信區(qū)間包含零點(右端點距零點很近)x2對因變量y的影響不太顯著x22項顯著可將x2保留在模型中模型從整體上看成立彩票中的數(shù)學(xué)問題全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2002年B題

彩票中的數(shù)學(xué)問題2002高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題

近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型。

“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：先從6組0~9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0~4號球中搖出一個特別號碼，構(gòu)成中獎號碼。投注者從0~9十個號碼中任選6個基本號碼（可重復(fù)），從0~4中選一個特別號碼，構(gòu)成一注，根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級。以中獎號碼“abcdef+g”為例說明中獎等級，如表1所示（X表示未選中的號碼）。一．問題的提出

表1中

獎等

級10選

6+1（6+1/10）

基

本

號

碼

特別號碼說

明一等獎Abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef

選7中（6）三等獎abcdeX

Xbcdef

選7中（5）四等獎abcdXX

XbcdeX

XXcdef選7中（4）五等獎abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中（3）六等獎abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

選7中（2）

“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從01~33個號碼球中一個一個地搖出7個基本號，再從剩余的26個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01~33個號碼中任選7個組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。又如“36選6+1”的方案:先從01~36個號碼球中一個一個地搖出6個基本號，再從剩下的30個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從01~36個號碼中任選7個組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎等級，不考慮號碼順序。這兩種方案的中獎等級如表2所示。

表2中

獎等

級33選

7（7/33）36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明基

本

號

碼

特別號碼說

明一等獎●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）注：●為選中的基本號碼；★為選中的特別號碼；○為未選中的號碼。

以上兩種類型的總獎金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎?，F(xiàn)在常見的銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎金設(shè)置方案如表三，其中一、二、三等獎為高項獎，后面的為低項獎。低項獎數(shù)額固定，高項獎按比例分配，但一等獎單注保底金額60萬元，封頂金額500萬元，各高項獎額的計算方法為：

[(當期銷售總額×總獎金比例)-低項獎總額]×單項獎比例（1）根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設(shè)計一種“更好”的方案及相應(yīng)的算法，并據(jù)此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。表三序號方案一等獎比例二等獎比例三等獎比例四等獎金額五等獎金額六等獎金額七等獎金額備注16+1/1050%20%30%50按序26+1/1060%20%20%300205按序36+1/1065%15%20%300205按序46+1/1070%15%15%300205按序57/2960%20%20%30030566+1/2960%25%15%20020577/3065%15%20%5005015587/3070%10%20%2005010597/3075%10%15%20030105107/3160%15%25%500502010獎項117/3175%10%15%320305127/3265%15%20%5005010137/3270%10%20%5005010147/3275%10%15%5005010157/3370%10%20%600606167/3375%10%15%50050105177/3465%15%20%500306187/3468%12%20%50050102197/3570%15%15%300505207/3570%10%20%500100305217/3575%10%15%1000100505227/3580%10%10%20050205237/35100%20002042無特別號246+1/3675%10%15%500100105256+1/3680%10%10%50010010267/3670%10%20%50050105277/3770%15%15%150010050286/4082%10%8%200101295/6060%20%20%30030評價一個方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和廣大彩民兩方面的利益。事實上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。因此，問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？具體地講，問題涉及到一個方案的設(shè)置使彩民獲獎的可能性有多大、獎金額有多少、對彩民的吸引力有多大、廣大彩民如何看待各獎項的設(shè)置，即彩民的心理曲線怎樣？另外，一個方案對彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地區(qū)的經(jīng)濟狀況以及收入和消費水平有關(guān)。為此，我們要考查一個方案的合理性問題，需要考慮以上這些因素的影響，這是我們建立模型的關(guān)鍵所在。二、模型分析三、模型假設(shè)與符號說明

1.彩票每期的中獎號碼都是隨機產(chǎn)生的不受外界的任何因素的影響,彩票搖獎是公平公正的。2.彩票發(fā)行單位每期拿出本期銷售額的50%作為獎金發(fā)入獎金池中。3.“傳統(tǒng)型”彩票選擇的號碼中的數(shù)字是可以重復(fù)的且號碼是有順序，不同的投注者選擇的號碼可以相同（因此一等獎可能有多個中獎?wù)撸?.“樂透型”彩票選擇的號碼中的數(shù)字是不可以重復(fù)的且號碼是無順序，不同的購買者選擇的號碼可以相同（因此一等獎可能有多個中獎?wù)撸?.若單注已得到高級別的獎就不再兼得低級別的獎。6.按問題中的高項獎計算公式計算獎金額，當某期的一等獎的金額低于60萬時，不足的金額由彩票銷售公司補足；當計算出的某期的一等獎的金額高于500萬時，公司也只將一等獎金額定為500萬。9.彩民購買彩票是隨機的獨立事件；10.對同一方案中高級別獎項的獎金比例或獎金額不應(yīng)低于相對低級別的獎金比例或獎金額；11.根據(jù)我國的現(xiàn)行制度，假設(shè)我國居民的平均工作年限為T=35年。

7.

彩票銷售規(guī)則及相應(yīng)的獎金設(shè)置方案在一定的時期內(nèi)是固定不變的。

8．一、二、三等獎規(guī)定為高項獎，其余的規(guī)定為低項獎；低項獎數(shù)額固定，高項獎按比例分配，高項獎額的計算方法為：

[(當期銷售總額總獎金比例)-低項獎總額]單項獎比例。---第等（高項）獎?wù)几唔棯効傤~的比例，J=1,2,3；----第等獎獎金額均值，；----彩民中第等獎的概率，；

----彩民對某個方案第等獎的滿意度，即第等獎對彩民的吸引力，；

----某地區(qū)的平均收入和消費水平的相關(guān)因子，稱為“實力因子”，一般為常數(shù)；

----彩票方案的合理性指標，即方案設(shè)置對彩民吸引力的綜合指標；

四、模型的準備

（1）彩民獲各項獎的概率從已給的29種方案可知，可將其分為四類,

分別給出各種類型方案的彩民獲各獎項的概率公式：“傳統(tǒng)型”：先從6組0~9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0~4號球中搖出一個特別號碼，構(gòu)成中獎號碼。投注者從0~9十個號碼中任選6個基本號碼（可重復(fù)），從0~4中選一個特別號碼，構(gòu)成一注，中

獎等

級10選

6+1（6+1/10）

基

本

號

碼

特別號碼說

明一等獎Abcdefg選7中（6+1）中

獎等

級10選

6+1（6+1/10）

基

本

號

碼

特別號碼說

明二等獎abcdef

選7中（6）中

獎等

級10選

6+1（6+1/10）

基

本

號

碼

特別號碼說

明三等獎abcdeX

Xbcdef

選7中（5）中

獎等

級10選

6+1（6+1/10）

基

本

號

碼

特別號碼說

明四等獎abcdXX

XbcdeX

XXcdef選7中（4）中

獎等

級10選

6+1（6+1/10）

基

本

號

碼

特別號碼說

明五等獎abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中（3）

中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明一等獎●●●●●●●選7中（7）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明三等獎●●●●●●○選7中（6）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明五等獎●●●●●○○選7中（5）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明七等獎●●●●○○○選7中（4）

樂透型”：先從n個號碼球中一個一個地搖出m個基本號，再從剩余的n-m個號碼球中搖出一個特別號碼。投注者從n個號碼中任選m個組成一注（不可重復(fù)），中

獎等

級36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明一等獎●●●●●●★選7中（6+1）中

獎等

級36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明二等獎●●●●●●

選7中（6）中

獎等

級36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明三等獎●●●●●○★選7中（5+1）中

獎等

級36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明四等獎●●●●●○選7中（5）中

獎等

級36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明五等獎●●●●○○★選7中（4+1）中

獎等

級36選

6+1（6+1/36）基

本

號

碼

特別號碼說

明六等獎●●●●○○選7中（4），，，，

各種方案的各個獎項獲獎概率及獲獎總概率中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明一等獎●●●●●●●選7中（7）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明二等獎●●●●●●○

選7中（6）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明三等獎●●●●●○○選7中（5）中

獎等

級33選

7（7/33）基

本

號

碼

特別號碼說

明四等獎●●●●○○○

選7中（4）表一：方案6+1/102×10-78×10-71.8×10-52.61×10-43.42×10-34.1995×10-2-----0.0456957/296.40705×10-74.48494×10-69.4184×10-52.8255×10-42.8255×10-34.7092×10-30.0298250.0377426+1/296.40705×10-71.4096×10-58.4573×10-58.8880×10-42.2200×10-31.4800×10-20.0197340.0377427/304.91207×10-73.43845×10-67.5646×10-52.2694×10-42.3828×10-33.9714×10-30.0264760.0331377/313.80290×10-72.66203×10-66.1227×10-51.8368×10-42.0205×10-33.3675×10-30.0235720.0292087/322.97101×10-72.07971×10-64.09913×10-51.4974×10-41.722×10-32.8700×10-30.0210470.0258327/332.34080×10-71.63856×10-64.0964×10-51.2289×10-41.4747×10-32.4578×10-30.0188430.0229417/341.85887×10-71.30121×10-63.3831×10-51.0149×10-41.2687×10-32.1145×10-30.0169160.0204367/351.48709×10-71.04097×10-62.8106×10-58.4318×10-51.0961×10-31.8269×10-30.0152240.018261計算結(jié)果:7/361.19794×10-78.38556×10-72.3480×10-57.0439×10-59.5092×10-41.5849×10-30.0137360.0163676+1/361.19794×10-73.47402×10-62.0844×10-52.9182×10-47.2954×10-46.5659×10-30.0087550.0163677/379.71301×10-86.79911×10-71.9717×10-55.9152×10-58.2813×10-41.3802×10-30.0124220.0147106/402.6053×10-71.5632×10-65.1584×10-51.2896×10-42.0634×10-32.7512×10-30.0284280.0334255/601.831×10-79.155×10-74.9437×10-59.8874×10-52.6202×10-32.6202×10-30.0454160.050806一般說來，人們的心理變化是一個模糊的概念。在此，彩民對一個方案的各個獎項及獎金額的看法（即對彩民的吸引力）的變化就是一個典型的模糊概念。由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識，根據(jù)人們通常對一件事物的心理變化一般遵循的規(guī)律，不妨定義彩民的心理曲線為表示彩民平均收入的相關(guān)因子，稱為實力因子，一般為常數(shù)。

（2）確定彩民的心理曲線（3）計算實力因子實力因子是反應(yīng)一個地區(qū)的彩民的平均收入和消費水平的指標，確定一個地區(qū)的彩票方案應(yīng)該考慮所在地區(qū)的實力因子，在我國不同地區(qū)的收入和消費水平是不同的，因此，不同地區(qū)的實力因子應(yīng)有一定的差異，目前各地區(qū)現(xiàn)行的方案不盡相同，要統(tǒng)一來評估這些方案的合理性，就應(yīng)該對同一個實力因子進行研究。為此，我們以中等地區(qū)的收入水平（或全國平均水平）為例進行研究。根據(jù)相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入1.5萬元，按我國的現(xiàn)行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬元，萬元時，?。次Φ闹形粩?shù)），則有。于是，當同理，可以算出年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元的實力因子如表二。

表二：年收入指標1萬元1.5萬元2萬元2.5萬元3萬元4萬元5萬元10萬元42039363058984078610509821261179168157121019644203928五．模型的建立與求解問題（一）要綜合評價這些方案的合理性，應(yīng)該建立一個能夠充分反應(yīng)各種因素的合理性指標函數(shù)。因為彩民購買彩票是一種風(fēng)險投資行為，為此，我們根據(jù)決策分析的理論，考慮到彩民的心理因素的影響，可取為風(fēng)險決策的益損函數(shù)，于是作出如下的指標函數(shù)

（1）即表示在考慮彩民的心理因素的條件下，一個方案的獎項和獎金設(shè)置對彩民的吸引力。另一方面，由題意知，單注所有可能的低項獎金總額為，根據(jù)高項獎的計算公式得單注可能的第j

項（高項獎）獎金額為故平均值為（2）于是由（1），（2）式得

（3）利用Matlab可計算出29種方案的合理性指標值F及高項獎的期望值，排在前三位的如下表三。

表三：

指標

方案排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×1053598417143問題(二)

根據(jù)問題（一）的討論，現(xiàn)在的問題是取什么樣的方案m/n(n和m取何值）、設(shè)置哪些獎項、高項獎的比例為多少和低項獎的獎金額為多少時，使目標函數(shù)

有最大值。為決策變量，以它們之間所滿足的關(guān)系為約束條件，則可得到非線性規(guī)劃模型：

關(guān)于約束條件的說明：1.條件（1）（2）同問題（一）；2.條件（3）（4）是對高項獎的比例約束，的值不能太大或太小，（4）是根據(jù)已知的方案確定的；

3.條件（5）是根據(jù)題意中一等獎的保底額和封頂額確定的；

4.條件（6）中的分別為i等獎的獎金額計算結(jié)果和已知各方案的獎金數(shù)額統(tǒng)計得：

高的倍數(shù)，可由問題（一）的5.條件（7）是根據(jù)實際問題確定的，實際中高等獎的概率

,它的值主要由m,n確定。6.條件（8）（9）是對方案中m,n取值范圍的約束，是由已知的方案確定的；這是一個較復(fù)雜的非線性（整數(shù)）規(guī)劃，其中概率的取值分為四種不同的情況且由整數(shù)變量m,n確定，一般的求解是困難的。為此，利用Matlab可求解得最優(yōu)解為最優(yōu)值為故對應(yīng)的最優(yōu)方案為：32選6（6/32），一、二、三等獎的比例分別為80%、9%、11%，四、五、六、七等獎的金額分別為200、10、1、0元。前面是針對中等收入水平的彩民情況考慮的，對于經(jīng)濟發(fā)達地區(qū)和欠發(fā)達地區(qū)應(yīng)有所不同。這里分別對年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元,工作年限均35年的情況進行了討論，給出適用于相應(yīng)各種情況的最優(yōu)方案，如下面的表四。表四：年收入指標1萬元2萬元2.5萬元3萬元4萬元5萬元10萬元42039384078610509821261179168157121019644203928最優(yōu)方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/358.255×10-74.623×10-74.103×10-73.223×10-72.475×10-72.075×10-71.828×10-70.800.800.730.700.730.730.800.100.90.170.150.190.180.130.100.110.100.150.070.090.076.5×1056．18×1051.38×1061．46×1062.23×1062.99×1063.91×10630371200044750652172227211.07×1059425260760012351739150719741746138200100200100200103710102020102011522250000003問題（三）（略）說明：

（1）研究此問題必須要考慮心理曲線，但心理曲線的可能會有不同的形式，主要是看對問題解釋是否合理，實力因子在不同地區(qū)可以取不同的值，對方案的評判結(jié)果也會有差別。（2）問題的合理性指標函數(shù)的一定與心理曲線有關(guān)，但應(yīng)該在風(fēng)險決策的意義下確定出益損函數(shù)，益損函數(shù)的確定不是唯一的。（3）問題中的概率公式的形式應(yīng)該是唯一的。參考文獻中國彩票網(wǎng)：http://排隊論問題排隊論（Queuingtheory），又稱隨機服務(wù)系統(tǒng)，是通過研究各種服務(wù)系統(tǒng)在排隊等待現(xiàn)象中的概率特性，解決服務(wù)系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計與最優(yōu)控制的一種理論。（一）、排隊論的基本概念

1、綜述排隊系統(tǒng)的例子

顧客要求的服務(wù)服務(wù)臺1．借書的學(xué)生2．打電話3．提貨者4．待降落的飛行器5．儲戶6．河水進入水庫7．購票旅客8．十字路口的汽車借書通話提貨降落存款、取款放水、調(diào)整水位購票通過路口圖書管理員交換臺倉庫管理員指揮塔臺

儲蓄窗口、ATM取款機水庫管理員售票窗口紅綠燈或交警由“服務(wù)臺”和“顧客”構(gòu)成了服務(wù)系統(tǒng)。當“服務(wù)臺”繁忙時，“顧客”就必須排隊等待或暫時離去，或者放棄服務(wù)。由于顧客到來時刻與服務(wù)時間都是隨不同的時機和條件而變化，因此服務(wù)系統(tǒng)的狀態(tài)也呈現(xiàn)出隨機性。一般說來，服務(wù)系統(tǒng)大都是隨機服務(wù)系統(tǒng)。這里必須說明的是，排隊的“顧客”要作廣義理解，它可以是人，也可以是物。增加服務(wù)設(shè)施可以減少等待時間，但服務(wù)成本也會提高，而減少服務(wù)設(shè)施，則可以減少開支，但卻增加了等待時間。如何把等待時間轉(zhuǎn)化為費用與服務(wù)成本進行比較，從而找出最佳方案，目前尚未很好解決。而排隊論主要是利用分析、研究排隊過程幾個數(shù)量指標，對服務(wù)系統(tǒng)進行分析，提供有關(guān)單位參考、決策，進一步探討最優(yōu)化問題。排隊的過程可表示為：顧客到達排隊接受服務(wù)顧客離去服務(wù)系統(tǒng)輸出輸入排隊系統(tǒng)由輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)臺三個部分組成1.輸入過程描述要求服務(wù)的顧客按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，有時也稱之為顧客流。可以從下面三個方面來刻畫：(1)顧客總體數(shù)，又稱顧客源、輸入源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。如來商場購物的顧客數(shù)量可以認為是無限的，車間內(nèi)待修的機器顯然是有限的。（二）、排隊系統(tǒng)的基本組成(2)顧客到達的形式。這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，是單個到達，還是成批到達。如貨品成批進入倉庫。(3)顧客流的概率分布，或稱顧客相繼到達的時間間隔分布。這是首先需要確定的指標。令T0=0，Tn表示第n個顧客到達的時間，則有T0≤T1≤…≤Tn≤…，記Xn

＝Tn

－Tn-1，n=1,2,…，則Xn是第n個顧客與第n-1個顧客到達的時間間隔。一般地，假設(shè){Xn}是獨立同分布的。關(guān)于{Xn}的分布（顧客流的概率分布），在排隊論中經(jīng)常用到的有定長分布、負指數(shù)分布、愛爾朗分布等等。2.排隊規(guī)則主要是描述服務(wù)機構(gòu)是否允許顧客排隊，顧客對排隊長度、時間和容忍程度以及在排隊隊列中等待服務(wù)的順序。常見的排隊規(guī)則有如下幾種情形：(1)損失制指當顧客到達系統(tǒng)時，所有服務(wù)臺都已被占用，顧客不愿等待而離開系統(tǒng)。例如，某些電話系統(tǒng)可以看作是損失制排隊系統(tǒng)。(2)等待制指顧客到達系統(tǒng)后，所有服務(wù)臺都不空，顧客加入排隊行列等待服務(wù)，一直等到服務(wù)完畢以后才離去；①先到先服務(wù)（FIFO，F(xiàn)irstInFirstOut）；②后到先服務(wù)（LIFO，LastInFirstOut）；③有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)（PS，PriorityService）④隨機服務(wù)（RS，RandomService）(3)混合制這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊，但又不允許隊列無限長下去。大體有以下三種：①隊長有限。當?shù)却?wù)的顧客人數(shù)超過規(guī)定數(shù)量時，后來的顧客就自動離去，另求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。如旅館的床位是有限的。②等待時間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時間不超過某一給定的長度T，當?shù)却龝r間超過時間T時，顧客將自動離去，并不再回來。如易損壞的電子元器件的庫存問題，超過一定存儲時間的元器件被自動認為失效。③逗留時間（等待時間與服務(wù)時間之和）有限。例如，用高射炮射擊敵機，當敵機飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時間為t時，若在這個時間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。損失制和等待制可以看成是混合制的特殊情形。如記s為系統(tǒng)中服務(wù)臺的個數(shù)，K為系統(tǒng)的容量（即系統(tǒng)只能容納K個顧客），則當K=s時，混合制即為損失制；當K=∞時，即為等待制。3.服務(wù)臺（也稱為服務(wù)機構(gòu)）服務(wù)臺可以從以下三個方面來描述：(1)服務(wù)臺數(shù)量及構(gòu)成形式從數(shù)量上說，服務(wù)臺有單臺和多臺之分。從構(gòu)成形式上看，有單隊單服務(wù)臺式、單隊多服務(wù)臺并聯(lián)式、單隊多服務(wù)臺串聯(lián)式\多隊多服務(wù)臺并聯(lián)式等等；…顧