小題壓軸考法-數(shù)列的綜合問題

小題壓軸考法——數(shù)列的綜合問題12目錄3命題點(diǎn)一構(gòu)造輔助數(shù)列命題點(diǎn)二數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題命題點(diǎn)三數(shù)列的新情境問題[升維突破]教材母題(人教A版選擇性必修二P41T8)若數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且滿足an＋1＝2an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________；前10項(xiàng)的和為________．答案：an＝2n－1

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命題點(diǎn)一構(gòu)造輔助數(shù)列解析：設(shè)an＋1＋λ＝2(an＋λ)，則an＋1＝2an＋λ，∴λ＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)．又a1＋1＝2，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1.基本方略：形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的遞推公式，可用構(gòu)造法求通項(xiàng)公式．構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．[升維1]已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(

)A．a(chǎn)n＝－3×2n－1

B．a(chǎn)n＝3×2n－1C．a(chǎn)n＝5n＋3×2n－1

D．a(chǎn)n＝5n－3×2n－1答案：D

答案：C

思維升華：非零常數(shù)數(shù)列既是公比為1的等比數(shù)列，也是公差為零的等差數(shù)列．在數(shù)列{an}中，若對(duì)任意的正整數(shù)n都有an＋1＝an，則數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an＝a1.在求某些遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，若能構(gòu)造出一個(gè)新的常數(shù)數(shù)列，便能簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式．如本例通過變形，兩邊乘以(n＋1)后成為常數(shù)數(shù)列求解．答案：C

2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2,2n(n＋1)anan＋1＋(n＋1)·an＋1－nan＝0(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．3．若數(shù)列{an}滿足(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，n∈N*，且a1＝1，則a5＝________.答案：15[典例導(dǎo)析](1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝4，an＋an＋1＝4n＋2(n∈N*)，則使得Sn>2023成立的n的最小值為

()A．32 B．33C．44 D．45命題點(diǎn)二數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題[答案]

(1)D

(2)4×3n－4n－4[解析]

(1)an＋an＋1＝4n＋2

①，當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＋an＝4(n－1)＋2

②，兩式相減得an＋1－an－1＝4.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為4，在an＋an＋1＝4n＋2中，令n＝1得a1＋a2＝6，故a2＝6－4＝2，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n2＋n＋2>2023，解得n≥45，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n2＋n>2023，解得n≥46，所以Sn>2023成立的n的最小值為45.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＋2＝3an＋1＝3(an＋2)，即an＋2＋3＝3(an＋3)，此時(shí){an＋3}是以a1＋3＝4為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，[思維建模]數(shù)列中的奇偶項(xiàng)問題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和，主要從奇偶項(xiàng)角度分析通項(xiàng)和求和．解決此類問題的難點(diǎn)在于搞清數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差等，注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用．答案：C

5．(2023·湖南模擬)已知非零數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a2＝3，anan＋1＝2Sn＋2，則S10的值為________．答案：65解析：由anan＋1＝2Sn＋2得an＋2an＋1＝2Sn＋1＋2，故兩式相減得an＋2an＋1－anan＋1＝2Sn＋1＋2－(2Sn＋2)＝2an＋1，所以an＋1(an＋2－an)＝2an＋1.由于{an}為非零數(shù)列，故an＋2－an＝2，所以{an}的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，且公差均為2，所以S10＝(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＋(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝2×5＋[典例導(dǎo)析](2021·新課標(biāo)Ⅰ卷)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm,20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折n次，

命題點(diǎn)三數(shù)列的新情境問題[解析]

由題意知，對(duì)折3次可以得到12dm×2.5dm，6dm×5dm,3dm×10dm,1.5dm×20dm四種規(guī)格的圖形，面積之和S3＝120dm2，對(duì)折4次可以得到12dm×1.25dm,6dm×2.5dm,3dm×5dm，1.5dm×10dm，0.75dm×20dm五種規(guī)格的圖形，面積之和S4＝75dm2.因?yàn)镾1＝240dm2＝(120×2)dm2，S2＝180dm2＝(60×3)dm2，S3＝120dm2＝(30×4)dm2，S4＝75dm2＝(15×5)dm2，以此類推，Sn＝120(n＋1)·[思維建模]新情境背景的數(shù)列問題，“難”在兩方面：一是對(duì)于新情境，學(xué)生不易抓住信息的關(guān)鍵部分并用于解題之中；二是學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)問題所指向的知識(shí)點(diǎn)．傳統(tǒng)題目通常在問法上就直接表明該用哪些知識(shí)進(jìn)行處理，例如“求通項(xiàng)，求和”．但新情境問題考查的知識(shí)與新情境相關(guān)，知識(shí)隱藏較深，不易讓學(xué)生找到解題的方向．解決此類問題的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，掌握數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式．[針對(duì)訓(xùn)練]6．土壤中微量元素(如N，P，K等)的含量直接影響植物的生長(zhǎng)發(fā)育，進(jìn)而影響植物群落內(nèi)植物種類的分布．某次實(shí)驗(yàn)中，為研究某微量元素對(duì)植物生長(zhǎng)發(fā)育的具體影響，實(shí)驗(yàn)人員配比了不同濃度的溶液若干，其濃度指標(biāo)值可近似擬合為e，e，e2，e3，e5，e8，e13，…，并記這個(gè)指標(biāo)值為bn，A．lnb19lnb20

B．lnb20lnb21C．lnb19＋lnb20

D．lnb20＋lnb21答案：B

7．(2023·綿陽模擬)現(xiàn)取長(zhǎng)