高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題40 空間幾何體、三視圖和直觀圖理（含解析）

第八章立體幾何40空間幾何體、三視圖和直觀圖導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，并且會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖．自主梳理1．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的上下底面________，側(cè)棱都________且____________，上底面和下底面是________的多邊形．(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)________的三角形．(3)棱臺(tái)可由__________________的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形________．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其____________旋轉(zhuǎn)得到．(2)圓錐可以由直角三角形繞其__________________旋轉(zhuǎn)得到．(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞__________________或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(4)球可以由半圓或圓繞其________旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括________、____________、________.4．空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用________畫法，基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝________.(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于__________的線段．(3)已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度________，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)開__________________．(4)在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度________．5．中心投影與平行投影(1)平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．(2)從投影的角度看，三視圖和用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖都是在平行投影下畫出來(lái)的圖形．自我檢測(cè)1．如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．(2011·浙江)若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()3．(2011·金華月考)將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖1所示)，A，B，C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)，得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為()4.(2010·廣東)如圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝eq\f(3,2)BB′＝CC′＝AB，則多面體ABC－A′B′C′的正視圖(也稱主視圖)是()5．(2011·山東)如圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形，給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．3 B．2 C．1 D．0探究點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)例1給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；④若有兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；⑤存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；⑥棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．變式遷移1下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線探究點(diǎn)二空間幾何體的三視圖例2(2009·福建)如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()變式遷移2(2011·課標(biāo)全國(guó))在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()探究點(diǎn)三直觀圖及斜二測(cè)畫法例3用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是()變式遷移3一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于()A.eq\f(\r(2),4)a2 B．2eq\r(2)a2 C.eq\f(\r(2),2)a2 D.eq\f(2\r(2),3)a21．畫幾何體三視圖的基本要求是：正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；正視圖與側(cè)視圖高平齊；側(cè)視圖與俯視圖寬相等．2．三視圖的安排規(guī)則是：正視圖與側(cè)視圖分別在左右兩邊，俯視圖畫在正視圖的下方．3．用斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關(guān)系是S′＝eq\f(\r(2),4)S.(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是()A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形，具有一個(gè)頂點(diǎn)處的三條棱兩兩垂直D．每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱2．(2011·汕頭月考)已知水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′(斜二測(cè)畫法)是邊長(zhǎng)為eq\r(2)a的正三角形，則原△ABC的面積為()A.eq\r(2)a2 B.eq\f(\r(3),2)a2C.eq\f(\r(6),2)a2 D.eq\r(6)a23．有一個(gè)正三棱柱，其三視圖如圖所示：則其體積等于()A．3cm3 B．1cm3 C.eq\f(3\r(3),2)cm3 D．44．(2011·青島模擬)如下圖，一個(gè)簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖其正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其俯視圖輪廓為正方形，則其體積是()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(4\r(2),3) C.eq\f(4\r(3),3) D.eq\f(8,3)5．(2011·福州質(zhì)檢)某簡(jiǎn)單幾何體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為a，在該幾何體的正視圖、側(cè)視圖與俯視圖中，這條對(duì)角線的投影都是長(zhǎng)為eq\r(2)的線段，則a等于()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C．1 D．2二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2010·湖南)圖中的三個(gè)直角三角形是一個(gè)體積為20cm3的幾何體的三視圖，則h＝________cm7．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，則△ABC的水平放置直觀圖△A′B′C′的面積為________．8．(2011·宜昌月考)棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球面上，則此球的半徑R＝________.三、解答題(共38分)9．(12分)畫出下列幾何體的三視圖．10．(12分)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和俯視圖．(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；(2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積．11．(14分)(2011·石家莊月考)已知正三棱錐V－ABC的正視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的側(cè)視圖和直觀圖．(2)求出側(cè)視圖的面積．40空間幾何體、三視圖和直觀圖自主梳理1．(1)平行平行長(zhǎng)度相等全等(2)公共頂點(diǎn)(3)平行于棱錐底面相似2.(1)一邊所在直線(2)一條直角邊所在直線(3)垂直于底邊的腰所在直線(4)直徑3.正視圖側(cè)視圖俯視圖4.斜二測(cè)(1)45°(或135°)(2)x′軸、y′軸(3)不變?cè)瓉?lái)的一半(4)不變自我檢測(cè)1．D[在各自的三視圖中①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同．]2．D[A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D.]3．A[∵原幾何體是正三棱柱，且AE在平面EG中，∴在側(cè)視圖中，AE應(yīng)為豎直的．]4．D[由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝eq\f(3,2)BB′，且△ABC為正三角形，故正視圖應(yīng)為D中的圖形．]5．A[底面是等腰直角三角形的三棱柱，當(dāng)它的一個(gè)矩形側(cè)面放置在水平面上時(shí)，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此①正確；若長(zhǎng)方體的高和寬相等，則存在滿足題意的兩個(gè)相等的矩形，因此②正確；當(dāng)圓柱側(cè)放時(shí)(即側(cè)視圖為圓時(shí))，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此③正確．]課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引解決這種判斷題的關(guān)鍵是：①準(zhǔn)確理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念；②正確運(yùn)用平行、垂直的判定及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，整體把握立體幾何知識(shí)．③④⑤⑥解析①錯(cuò)誤，因?yàn)槔庵牡酌娌灰欢ㄊ钦噙呅?，故?cè)面不一定都全等；②錯(cuò)誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺(tái)；③正確，因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；④正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；⑤正確，如圖所示，正方體AC1中的四棱錐C1—ABC，四個(gè)面都是直角三角形；⑥正確，由棱臺(tái)的概念可知．因此，正確命題的序號(hào)是③④⑤⑥.變式遷移1D[A錯(cuò)誤．如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．]例2解題導(dǎo)引三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清三視圖“長(zhǎng)、寬、高”的關(guān)系．C[當(dāng)俯視圖為A中正方形時(shí)，幾何體為邊長(zhǎng)為1的正方體，體積為1；當(dāng)俯視圖為B中圓時(shí)，幾何體為底面半徑為eq\f(1,2)，高為1的圓柱，體積為eq\f(π,4)；當(dāng)俯視圖為C中三角形時(shí)，幾何體為三棱柱，且底面為直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，高為1，體積為eq\f(1,2)；當(dāng)俯視圖為D中扇形時(shí)，幾何體為圓柱的eq\f(1,4)，且體積為eq\f(π,4).]變式遷移2D[由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形，故應(yīng)選D.]例3解題導(dǎo)引本題是已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力．要熟悉運(yùn)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對(duì)應(yīng)線段、角的關(guān)系．A[按照斜二測(cè)畫法的作圖規(guī)則，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，可知只有選項(xiàng)A符合題意．]變式遷移3B[根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在x軸上(或與x軸平行)的線段，其長(zhǎng)度保持不變；在y軸上(或與y軸平行)的線段，其長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)·S＝eq\f(\r(2),4)S.可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′＝eq\f(\r(2),4)S，本題中直觀圖的面積為a2，所以原平面四邊形的面積S＝eq\f(a2,\f(\r(2),4))＝2eq\r(2)a2.]課后練習(xí)區(qū)1．C2．D[斜二測(cè)畫法中原圖面積與直觀圖面積之比為1∶eq\f(\r(2),4)，則易知eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(3),4)(eq\r(2)a)2，∴S＝eq\r(6)a2.]3．D[由給出的三視圖可以得知該正三棱柱的高等于正視圖和側(cè)視圖的高為eq\r(3)cm，若設(shè)該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為acm，則有eq\f(\r(3),2)a＝2，所以a＝eq\f(4\r(3),3)，故該正三棱柱的體積為V＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3),2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)))2·eq\r(3)＝4(cm3)．]4．C[由三視圖知該幾何體為一正四棱錐，記為S—ABCD，如圖，其中AB＝2，△SCD中CD上的高為2，即SE＝2，設(shè)S在底面上的射影為O，在Rt△SOE中，SO＝eq\r(SE2－OE2)，∴SO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)SABCD×SO＝eq\f(1,3)×4×eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),3).]5．B[可以把該幾何體形象為一長(zhǎng)方體AC1，設(shè)AC1＝a，則由題意知A1C1＝AB1＝BC1＝eq\r(2)，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，則x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝eq\r(3).]6．4解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，其底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別是5和6的直角三角形，幾何體的高為h，則該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·5·6·h＝20.∴h＝4.7.eq\f(\r(6),16)a2解析如圖A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，過(guò)點(diǎn)C′作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A‘B’‘′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(\r(6),16)a2.8.eq\f(\r(6),4)