2023-2024學(xué)年湖南省瀏陽一中湘東九校高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

絕密★啟用前2024屆11月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名﹑準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，且，則A.6 B.4 C. D.2.若，則A. B.0 C. D.3.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，設(shè)甲：，乙：是單調(diào)遞減數(shù)列，則A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件4.在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).設(shè)，，則A. B. C. D.5.某校學(xué)生在研究折紙試驗中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對折后紙張達(dá)到一定的厚度時，便不能繼續(xù)對折了.在理想情況下，對折次數(shù)n與紙的長邊長（cm）和厚度x（cm）滿足：.一張長邊長為26cm，厚度為0.01cm的矩形紙最多能對折的次數(shù)為A.6 B.7 C.8 D.96.在△ABC中，，，且△ABC的面積為，則A. B. C. D.7.設(shè)為數(shù)列的前n項積，若，，且，當(dāng)取得最大值時，A.6 B.8 C.9 D.108.已知正三棱柱的底面邊長為，高為3，截去該三棱柱的三個角（如圖1所示，D，E，F(xiàn)分別是三邊的中點(diǎn)），得到幾何體如圖2所示，則所得幾何體外接球的表面積是圖1 圖2A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知實數(shù)a，b滿足，則下列不等式一定正確的是A. B. C. D.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.則A.B.在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點(diǎn)C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到函數(shù)的圖象D.A，B，C是直線與曲線的從左至右相鄰的三個交點(diǎn)，若，則11.正方體中，P是體對角線上的動點(diǎn)，M是棱上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是A.異面直線與所成的角的最小值為 B.異面直線與所成的角的最大值為C.對于任意的P，存在點(diǎn)M使得 D.對于任意的M，存在點(diǎn)P使得12.已知函數(shù)，則A.曲線在處的切線方程為B.在上單調(diào)遞增C.對任意的，，有D.對任意的，，，，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.14.已知同一平面內(nèi)的單位向量，，，滿足，則.15.若直線l：與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，≥8，則直線l的斜率的取值范圍為.16.已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為P，若，則雙曲線C的離心率為，過雙曲線C上任一點(diǎn)Q作兩漸近線的平行線QM，QN，它們和兩條漸近線圍成的平行四邊形OMQN的面積為，則雙曲線C的方程為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.18.（12分）已知在△ABC中，，.（1）求的值；（2）若，求AC邊上的高.19.（12分）抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中3雙是一次性筷子，2雙是非一次性筷子，每次使用筷子時，從抽屜中隨機(jī)取出1雙（2只都為一次性筷子或都為非一次性筷子），若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中，求：（1）在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）取了3次后，取出的一次性筷子的雙數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.（12分）如圖，在梯形ABCD中，，，，，AC與BD交于點(diǎn)M，將△ABD沿BD翻折至△PBD，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置.（1）證明：；（2）若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為，求三棱錐P-BCD的體積.21.（12分）已知橢圓C：（）的長軸長為，且其離心率小于，P為橢圓C上一點(diǎn)，、分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，的面積的最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）A為橢圓C的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，直線為過點(diǎn)D且與AM平行的直線，設(shè)與直線的交點(diǎn)為Q.證明：直線QN過定點(diǎn).22.（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；（2）若，是函數(shù)的兩個零點(diǎn)（），且恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2024屆11月高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案DDACBDBA1.D【解析】，，∵，∴，∴，故選D.2.D【解析】，∴，∴.故選D.3.A【解析】若，則（），所以是單調(diào)遞減數(shù)列；若是單調(diào)遞減數(shù)列，則（），即（），但不一定小于0.所以甲是乙的充分不必要條件，故選A.4.C【解析】如圖，，故選C.5.B【解析】，因為，所以，故.故選B.6.D【解析】設(shè)△ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∵，∴，，∴.∴，∴.7.B【解析】由題易知，，∵，∴，故是公比為的等比數(shù)列，∵，∴，故.∴，∴，要使取得最大值，則為偶數(shù)，且取最小值，結(jié)合二次函數(shù)知識知，當(dāng)時，符合要求.故選B.8.A【解析】易知△DEF的外心即為的外心，如圖，設(shè)△DEF的外心為，△ABC的外心為，則所得幾何體外接球的球心O在直線上，，，設(shè)外接球的半徑為R，則，聯(lián)立解得：，，所以外接球的表面積為.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.題號9101112答案ACABDABDBCD9.AC【解析】A.由得，∴，故A正確；B取，，可得，，故B錯誤；C.∵，∴，故C正確；D.設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，故時，，即，，故D錯誤.10.ABD【解析】A.由的部分圖象可知，，可得，所以，由五點(diǎn)作圖法可得，解得，，又，所以，所以函數(shù)的解析式為，故A正確；B.令得，，所以在區(qū)間上有和兩個極值點(diǎn)，故B正確；C.函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象，故C錯誤；D..若，不妨設(shè)A，B，C的位置如圖1所示，圖1則，，同理時，如圖2，，，所以，故D正確.圖211.ABD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，設(shè)正方體的邊長為1，則，設(shè)，，則，設(shè)異面直線與所成的角為，則，A.當(dāng)時，，，故A正確；B.當(dāng)時，，，故B正確；C.設(shè)，，則，，當(dāng)時，無解，故C錯誤；D.，令，得，即對于任意的M，存在點(diǎn)P使得，故D正確.12.BCD【解析】A.由題意可知：，，則，則曲線在處的切線方程為.故A錯誤；B.令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，則，則，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C.令，則，則在上單調(diào)遞增，則，則，∴，故C正確；D.令，則，令，則，則在上單調(diào)遞增﹐則，則，則在上單調(diào)遞增，則，則，故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】的系數(shù)為.14.【解析】由題意可知：，則，則，∴.15.【解析】將圓C的方程整理得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，要求，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，∴，即（），∴，，設(shè)直線l的斜率為k，則，∴，直線l的斜率的取值范圍是.16.；（第一空2分，第二空3分）【解析】因為，所以，作于H，如圖1，則|，.圖1又∵，∴，∴.∴.因為，所以雙曲線C的漸近線方程為，如圖2，圖2設(shè)，因為，所以，所以.設(shè)，點(diǎn)Q到兩條漸近線的距離分別為，，則四邊形OMQN的面積為，而，所以，解得：，∴，故雙曲線C的方程為.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）由得：，∵，所以數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；（2），所以，18.【解析】（1）∵，∴，，又∵，∴，，∴，，∴；（2）∵，∴B是鈍角，∴，，即.又，，所以，又因為C為銳角，，所以解得，∴，設(shè)AC邊上的高為BD，則，得，故AC邊上的高為.19.【解析】（1）設(shè)第1次取出的是一次性筷子為事件A，第2次取出的是非一次性筷子為事件B，則，，所以在第2次取出的是非一次性筷子的前提下，第1次取出的是一次性筷子的概率；（2）記取出的一次性筷子的雙數(shù)為X，則，1，2，3，則，，，則，則X的分布列為X0123P0.0640.3660.470.1數(shù)學(xué)期望.20.【解析】（1）∵，，∴，∴，∴，即，，∴，，又，∴平面PMC，∴；（2）直角△ABC中，，∵，∴，∴，，，由（1）平面PMC，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-xyz，則，，，設(shè)，其中，所以，，，設(shè)平面PBD的一個法向量為，則，取，，設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，取，則，，解得，或，.故或.21.【解析】（1）由題意可知：，∵，∴，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，MN：.聯(lián)立直線MN與橢圓C的方程可得：，則，∴，∵，則：，令，解得，∴，故直線QN的方程為：，根據(jù)對稱性，直線QN所過的定點(diǎn)在y軸上，不妨令，則，故直線QN過定點(diǎn).22.【解析】（1）法一：易知的定義域為，∵，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴在上有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，由得，由得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，ⅰ.當(dāng)時，，所以恒成立，故函數(shù)沒有零點(diǎn)；ⅱ.當(dāng)時，，故函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)；ⅲ.當(dāng)時，，，，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn)，，設(shè)，令，，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)沒有零點(diǎn)；法二：令，得，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)，