第7關(guān) 以幾何圖形中的圖形操作與變換問題為背景的解答題【無答案】

第七關(guān)以幾何圖形中的圖形操作與變換問題為背景的解答題【考查知識(shí)點(diǎn)】圖形的變換有軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)，在此類問題中軸對(duì)稱問題多以折疊的形式出現(xiàn)。折疊問題也是最近中考的熱點(diǎn)，這類問題不但考察學(xué)生對(duì)基本幾何圖形性質(zhì)的掌握情況，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力和運(yùn)動(dòng)變化觀念，提高學(xué)生的實(shí)踐操作水平。圖形的旋轉(zhuǎn)是中考題的新題型，熱點(diǎn)題型，考察內(nèi)容：①中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)和別。②旋轉(zhuǎn)，平移的性質(zhì).【解題思路】折疊類題目的主要出題結(jié)合點(diǎn)有：與三角形結(jié)合，與平行四邊形結(jié)合，與圓結(jié)合，與函數(shù)圖像結(jié)合，題型多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，少數(shù)題目也會(huì)在大題中作為輔助背景。在解決這類問題時(shí)，要注意折疊出等角，折疊出等長(zhǎng)，折疊出等腰三角形，折疊出全等與相似等。圖形的旋轉(zhuǎn)是中考題的新題型，熱點(diǎn)題型，解題方法①熟練掌握?qǐng)D形的對(duì)稱，圖形的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本作圖法。②結(jié)合具體的問題大膽嘗試，動(dòng)手操作平移，旋轉(zhuǎn)，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的規(guī)律。③注重對(duì)網(wǎng)格內(nèi)和坐標(biāo)內(nèi)的圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法。④關(guān)注圖形與變換創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握基本解題方法，如動(dòng)手操作法，折疊法，旋轉(zhuǎn)法,旋轉(zhuǎn)可以移動(dòng)圖形的位置而不改變圖形的大小，是全等變換.變換的目的是為了實(shí)現(xiàn)已知與結(jié)論中的相關(guān)元素的相對(duì)集中或分散重組，使表面上不能發(fā)生聯(lián)系的元素聯(lián)系起來．在轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上為問題的解決鋪設(shè)橋梁，溝通到路．一些難度較大的問題借助平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的合成及相互關(guān)系可能會(huì)更容易一些．【典型例題】【例1】（2019·河北中考模擬）如圖1，在?ABCD中，DH⊥AB于點(diǎn)H，CD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．（1）如圖2，作FG⊥AD于點(diǎn)G，交DH于點(diǎn)M，將△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，連接M′B．①求四邊形BHMM′的面積；②直線EF上有一動(dòng)點(diǎn)N，求△DNM周長(zhǎng)的最小值．（2）如圖3，延長(zhǎng)CB交EF于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QK∥AB，過CD邊上的動(dòng)點(diǎn)P作PK∥EF，并與QK交于點(diǎn)K，將△PKQ沿直線PQ翻折，使點(diǎn)K的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K′恰好落在直線AB上，求線段CP的長(zhǎng)．【例2】（2019·湖南中考模擬）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：△AEB≌△DEC；（2）如圖2，①求證：BP=BF；②當(dāng)AD=25，且AE＜DE時(shí)，求cos∠PCB的值；③當(dāng)BP=9時(shí)，求BE?EF的值．【例3】（2019·遼寧中考真題）思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長(zhǎng)，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過點(diǎn)C作CD∥AB交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD＝200米，那么A，B間的距離是米．思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)△ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連接PC，PE．①如圖2，當(dāng)△ADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是；②如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；③當(dāng)α＝150°時(shí)，若BC＝3，DE＝l，請(qǐng)直接寫出PC2的值．【方法歸納】實(shí)踐操作性試題以成為中考命題的熱點(diǎn)，很多省市的壓軸的都是這類題型，解決這種類型的題目可從以下方面切入：1.構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形.在解決問題的過程中，有時(shí)添輔助線是必不可少的。中考對(duì)學(xué)生添線的要求不是很高，只需連接兩點(diǎn)或作垂直、平行，而且添輔助線幾乎都遵循這樣一個(gè)原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形.2.切入點(diǎn)二：做不出、找相似，有相似，用相似.壓軸題牽涉到的知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時(shí)往往應(yīng)根據(jù)題意去尋找相似三角形。3.緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論.在圖形運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個(gè)角或某兩個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。4.展開聯(lián)想，尋找解決過的問題.在題目中你總可以找到與你解決過的問題有相類似的情況，可能圖形相似，可能條件相似，可能結(jié)論相似，此時(shí)你就應(yīng)考慮原來題目是怎樣解決的，與現(xiàn)題目有何不同。原有的題目是如何解決的，所使用的方法或結(jié)論在這里是不是可以使用，或有借鑒之處。5.在題目中尋找多解的信息圖形在運(yùn)動(dòng)變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解.【針對(duì)練習(xí)】1．（2019·山東中考真題）(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一條直線上.

填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為

.(2)拓展探究

如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,請(qǐng)判斷AD,BE的關(guān)系,并說明理由.

(3)解決問題

如圖3,線段PA=3,點(diǎn)B是線段PA外一點(diǎn),PB=5,連接AB,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,隨著點(diǎn)B的位置的變化,直接寫出PC的范圍.

2．（2019·山東中考真題）如圖1，菱形的頂點(diǎn)，在直線上，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將菱形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到菱形，交對(duì)角線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)時(shí)，求的大小．（2）如圖2，對(duì)角線交于點(diǎn)，交直線與點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為2時(shí)，求菱形的周長(zhǎng)．3．（2019·遼寧中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，連接AC，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得，連接CF，O為CF的中點(diǎn)，連接OE，OD．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出OE與OD的關(guān)系（不用證明）．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．（3）當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．4．（2019·遼寧中考真題）如圖1，在中，，，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接MC，點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接MP交AC于點(diǎn)H．將射線MP繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）找出與相等的角，并說明理由．（2）如圖2，，求的值．（3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長(zhǎng)．5．（2019·貴州中考真題）將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BC，DE．探究S△ABC與S△ADC的比是否為定值．（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時(shí)，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖①）（2）一塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30°角的直角三角板時(shí)，S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由．（圖②）（3）兩塊三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n為常數(shù)），S△ABC：S△ADE是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由．（圖③）6．（2019·天津中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（6,0），點(diǎn)B在y軸的正半軸上，．矩形CODE的頂點(diǎn)D，E，C分別在OA，AB，OB上，OD=2.．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（Ⅱ）將矩形CODE沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)C，O，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為．設(shè)，矩形與重疊部分的面積為S．①如圖②，當(dāng)矩形與重疊部分為五邊形時(shí)，，分別與AB相交于點(diǎn)M，F(xiàn)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求t的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．7．（2019·江蘇中考真題）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B’.（1）如圖1，當(dāng)PB=4時(shí)，若點(diǎn)B’恰好在AC邊上，則AB’的長(zhǎng)度為_____；（2）如圖2，當(dāng)PB=5時(shí)，若直線l//AC，則BB’的長(zhǎng)度為；（3）如圖3，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)過程中，若直線l始終垂直于AC，△ACB’的面積是否變化？若變化，說明理由；若不變化，求出面積；（4）當(dāng)PB=6時(shí)，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值.8．（2019·浙江中考真題）如圖，在等腰中，．點(diǎn)D,E分別在邊AB,BC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90o得到EF．（1）如圖1，若，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O．求證：．（2）已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)．①如圖2，若，求DG的長(zhǎng)．②若，是否存在點(diǎn)E，使得是直角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說明理由．9．（2019·山東中考模擬）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題：探究1：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，，，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD，連接求證：的面積為提示：過點(diǎn)D作BC邊上的高DE，可證≌探究2：如圖2，在一般的中，，，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD，連接請(qǐng)用含a的式子表示的面積，并說明理由．探究3：如圖3，在等腰三角形ABC中，，，將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段BD，連接試探究用含a的式子表示的面積，要有探究過程．10．（2019·湖南中考真題）（1）如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，將平行四邊形ABCD分割成兩部分，然后拼成一個(gè)矩形，請(qǐng)畫出拼成的矩形，并說明矩形的長(zhǎng)和寬．（保留分割線的痕跡）（2）若將一邊長(zhǎng)為1的正方形按如圖2﹣1所示剪開，恰好能拼成如圖2﹣2所示的矩形，則m的值是多少？（3）四邊形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為7，寬為5的矩形（面積為35），若把它按如圖3﹣1所示的方式剪開，分成四部分，重新拼成如圖3﹣2所示的圖形，得到一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形（面積為36）．問：重新拼成的圖形的面積為什么會(huì)增加？請(qǐng)說明理由．11．（2019·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的邊AB＝4，BC＝6．若不改變矩形ABCD的形狀和大小，當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí)，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)．(1)當(dāng)∠OAD＝30°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M，連接OM、MC，當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí)，求OA的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值，請(qǐng)直接寫出最大值，并求此時(shí)cos∠OAD的值．12．（2019·四川中考真題）如圖1，在正方形中，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：平分；(3)如圖3，連接交于點(diǎn)，求的值．13．（2019·江西中考真題）在圖1，2，3中，已知?ABCD，∠ABC=120°，點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，∠CEF=（2）如圖2，連接AF．①填空：∠FAD_________∠EAB（填“>”，“<”，②求證：點(diǎn)F在∠ABC（3）如圖3，連接EG，DG，并延長(zhǎng)DG交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，當(dāng)四邊形AEGH是平行四邊形時(shí)，求BCAB14．（2019·山西中考真題）綜合與實(shí)踐動(dòng)手操作：第一步：如圖1，正方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC所在直線折疊，展開鋪平.在沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B，點(diǎn)D都落在對(duì)角線AC上.此時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)N，且點(diǎn)E，點(diǎn)N，點(diǎn)F三點(diǎn)在同一直線上，折痕分別為CE，CF.如圖2.第二步：再沿AC所在的直線折疊，△ACE與△ACF重合，得到圖3第三步：在圖3的基礎(chǔ)上繼續(xù)折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，如圖4，展開鋪平，連接EF，F(xiàn)G，GM，ME，如圖5，圖中的虛線為折痕.問題解決：(1)在圖5中，∠BEC的度數(shù)是，的值是；(2)在圖5中，請(qǐng)判斷四邊形EMGF的形狀，并說明理由；(3)在不增加字母的條件下，請(qǐng)你以圖中5中的字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)，動(dòng)手畫出一個(gè)菱形(正方形除外)，并寫出這個(gè)菱形：.15．（2019·四川中考真題）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用:（1）直接應(yīng)用：①如圖2，．②如圖3，的2等分線（即角平分線）交于點(diǎn)F，已知，則③如圖4，分別為的2019等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為．已知，則度（2）拓展應(yīng)用：如圖5，在四邊形ABCD中，．O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且．求證：四邊形OBCD是菱形．16．（2019·山東中考真題）如圖1，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，連接，將矩形沿折疊，頂點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）如圖2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且，設(shè)，．①寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最小值；②是否存在這樣的點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（2019·遼寧初三期末）如圖1，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，以點(diǎn)E直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF，EG分別過點(diǎn)B，C，∠F＝30°.（1）求證：BE＝CE（2）將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng).若EF，EG分別與AB，BC相交于點(diǎn)M，N.（如圖2）①求證：△BEM≌△CEN；②若AB＝2，求△BMN面積的最大值；③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時(shí)，點(diǎn)B恰好在FG上（如圖3），求sin∠EBG的值.18．（2019·遼寧中考真題）已知：在△ABC外分別以AB，AC為邊作△AEB與△A