23個基礎(chǔ)的圓錐曲線問題 23-高中數(shù)學(xué)資料文檔

23個基礎(chǔ)的圓錐曲線專題

221

1、設(shè)橢圓E：三+上不=1,其焦點在X軸上，若其準(zhǔn)焦距（焦點到準(zhǔn)線的距離）〃=），求

a11-a24

橢圓的方程.

22/T

2、設(shè)橢圓E:三+==1①〉匕>0）的離心率6=,，其通徑（過焦點且垂直于長軸的焦直

/b12

徑）d=l,分,弓為兩焦點，P是E上除長軸端點外的任一點，/勺尸弓的角平分線加交

長軸于M（zn,0）,求相的取值范圍.

1*424I

3、設(shè)橢圓E：f+\=13>人>0）的離心率6=—,乙為兩焦點，橢圓E與），軸的交點

a1b2212

為A（0,3）,求三角形的面積4。=?

SZAXr?iA//,

2,2

4,如圖，設(shè)橢圓E:=+二=1（a>/?>0）,A/,N為長軸頂

a2//

點，過左焦點尸、斜率為％=道的直線/交橢圓E于A、B

5

兩點，若|E4|=2|EB|,求A￡AM.=?

S^FBN

5、設(shè)橢圓E：W+g=l（a>h>0）,其離心率6=9，其通徑4=季，①求橢圓E的方

M//33

程.②兩條焦直徑（過焦點的弦）AB與CD互相垂直.求1二+1二=?

\AB\\CD\

6、設(shè)橢圓石：匚+二=1,左焦點為尸，在橢圓上任取三個不同

3627

27r

點牛馬、弓，使得/弓叫=/弓％=/4巧=7,求：

_L+_L+_L=9

網(wǎng)圈陶

22

7、如圖所示，橢圓E:回上+匕=1,過原點的兩條直線交圓

169

于ABC。，AO與CB的延長線相交于M,4c與。8的延長線

相交于N,求MN所在的直線方程.

8、設(shè)橢圓氏=+二=1(。>匕>0),過右焦點的直線/：x+y-石=0交E于4B兩點,P為

AB中點.

⑴若OP的斜率為：k=L求橢圓E的方程；

2

⑵若直線根:x—y—W=0交E于C、。兩點，AQ與8C相交于Q,求。點的坐標(biāo).

22

9、設(shè)橢圓E:^+1-=l的長軸端點為A、B,與y軸平行的直線交橢圓E于P、Q兩點,

PA.Q8的延長線相交于S點，求S點的軌跡.

10、已知拋物線P：，=2px(p>0),F為P的焦點，M為P上任一點，/為過M點的切線,

求證：與/的夾角等于/與x軸的夾角.

11、已知拋物線P的頂點為原點，其焦點尸(0,c)到直線/:x-y-2=0的距離為〃=4，M

在/上，過“作拋物線P的兩條切線M4、MB,其中A、B為切點.

⑴當(dāng)M的坐標(biāo)為(4,2)時，求AB的直線方程；

(2)當(dāng)M在/上移動時，求目的最小值.

12、過拋物線P:/=2“y(p>0)的焦點/作斜率分別為勺、左2兩條不同弦A3和CQ,

勺+勺=2,以A3、CO為直徑的圓M圓N(M、N為圓心)的公共弦所在的直線記為/,

7R

若圓心M到/距離的最小值為年，求拋物線P的方程.

13、已知動圓。過定點A(4,0),且在)，軸上截得的弦用N的長為8,

求動圓圓心C的軌跡方程.

14、如圖已知，在拋物線P:y2=4x的焦點為F,其準(zhǔn)線與x軸的

交點為A.過原點的圓。其圓心在拋物線P上，與拋物線的準(zhǔn)

線/交于不同的兩點“、N,若|AFF=MMHAN|,求圓。的

半徑.

15、如圖，拋物線6：，=4),拋物線弓：*2=_2py(p>0),點

M(X0,)b)在拋物線弓上，過M作6的兩條切線M4和M8,

當(dāng)

第2頁，共23頁

&=1-0時，切線M4的斜率為攵=-L

02

⑴求：AB所在的直線方程；

(2)當(dāng)點M在拋物線馬上運動時，求43中點的軌跡方程.

16、已知拋物線P:，=8x,焦弦43被尸分為|刑、|冏兩段,

求：1—[+1—[=?

解\FB\

17、如圖，在正方形中，。為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(10,0),

點C的坐標(biāo)為(0,10),分別將線段。4和A3等分成十等

分，分點分別記為屯,…，出和陣/，…，號,連接。鳥，

過A,作軸的垂線與。與交于點弓(ze/V*,l<z<9).

(1)求：點弓的軌跡方程；

(2)求：過點弓的切線方程。

22

18、已知，雙曲線H：亍=過右焦點F的直線交”于4B兩點,以|A8|為直徑的圓C

與”的準(zhǔn)線還有另外兩個交點M、N,與原點。構(gòu)成的三角形，求：S&WON的最小值?

19、如圖橢圓：p=—^―,

l-ecos0

焦弦A3交橢圓A,5.

戶為左焦點，

P,。為橢圓頂點，

連結(jié)Q4的直線交準(zhǔn)線與M,

連結(jié)。B的直線交準(zhǔn)線與N,

MN是準(zhǔn)線：pcos0=-p.

或*M,N=-土，長軸于準(zhǔn)線交點為Z。求證：MFkNF

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23個基礎(chǔ)的圓錐曲線專題解答

22a

1,設(shè)橢圓氏三+，=1,其焦點在x軸上，若其準(zhǔn)焦距(焦點到準(zhǔn)線的距離)〃=』，求橢圓

a11-a24

的方程.

解：⑴先求/的范圍：

由焦點在X軸上，貝!I：a2>l-a2,即：a2>-；

2

另外，b2=l-a2>0,所以膜<1；所以/eg,1).

⑵求君的值：

焦點坐標(biāo)：c2=a2-b2=iz2-(l-fl2)=2o2-1；

2

橢圓的準(zhǔn)線：x=—；

C

2221212o

準(zhǔn)焦距：p=L-c=^~^=」『a=」

c。c7^4

貝(I：16(l-a2)2=9(2a2-l),即：16?4-50?2+25=0

一“上HAM250+305、,&、j250-305,1,、,,25

方程有兩個解：a-.....=—>1(舍)，和a=------=—e(—,1),故a--.

32232828

⑶確定橢圓方程：

將“2=3,i—。2=3代入方程得：§?+8?=1

8853

22r

2、設(shè)橢圓E:三+二=1(a>/2>0)的離心率6=半，其通徑(過焦點且垂直于長軸的焦直

a1產(chǎn)2

徑)d=l,弓,弓為兩焦點，P是￡上除長軸端點外的任一點，/々P%的角平分線PM交

長軸于M(m,0),求〃?的取值范圍.

解：⑴通徑，即x=c時的八兒.

戶22_2,2

當(dāng)x=c時代入方程得：4=1—==巴苧-=」，

b1crcr/

即：9故通徑：d-Ay=2"=1,即：a=2b^①

Ca2Cu0

第4頁，共23頁

⑵由離心率e=￡=-立，即：心了=3，即：g=L

?Va12J4.4

貝U：a=2b②

聯(lián)立①②解得：a=2,b=l,則c=6

2

⑶寫出橢圓E的方程：—%+/=1③

4

⑷求/々/的角平分線PM的直線方程：

%x

由③得過P(X0,y0)點的切線方程為：手+為y=1

即…=J_(1一〃)=J_一顯，其斜率為：k=F

V04>04)'o4yo

根據(jù)橢圓的切線定理，PM是過「(叼,為)點的法線，其斜率為：K==?

4為

則PM的直線方程為:，一九丁…。)

0

4y()

將M(m,0)代入上式得：0-均=U(〃LX())

0

x3%

即：m-x=--—,故：m=--④

(n)44

(5)求出團的范圍

因為「(々，為)點是E上除長軸端點外的任一點，故：E(-a,a),

即：e(-2,2).代入④式得：/〃€(-]，5).

221

3、設(shè)橢圓E:上y+q=l(a>〃>0)的離心率e=],々，%為兩焦點，橢圓E與)，軸的交點

為40,3),求三角形的面積

解：⑴先求E的方程：

將A(0,3)代入E的方程得：—+—=1,故：b=3

a1

再由e=￡=:,即：A-,=：,a2=^-/j2=12,

。22a243

第5頁，共23頁

則：a-2^3,c--=_^/3￡的方程為：—+-—=1①

22129

⑵求三角形的強的面積“々人%：

第%的高，即|3=8=3;

鈣A%的底，即焦距近引=2c=2g；

故：S:例他巧歸向。川=；.243=36

⑶另外，第4%是橢圓的焦點三角形，可以用橢圓的焦點三角形公式秒之.

S入口APtan—=/?C=3A/3

△弓圾2b

%2

4、如圖，設(shè)橢圓E:±y+1(a>/?>0),M,N為長軸頂

點，過左焦點產(chǎn)、斜率為％=G的直線/交橢圓E于A、B

兩點，若|E4|=2|EB|,求A&M=?

S^FBN

解：本題由于直線/過左焦點/，所以采用以左焦點為原點的

極坐標(biāo)，可使問題大大簡化.

橢圓的極坐標(biāo)方程為：p-^―①

l-ecosff

直線」的方程為：。后②

epep2ep

那么：I刑=4=乙-------------=----;

7ie2-e

一31-ecos—1——

32

_ep_ep_2ep

l-ecos(y+^-)1+；2+，

1_22

代入|冏=2］冏得:,即：2+e=2(2-e)=4-2e,故:e=—

2—e2+e3

叩epepep

FM；|孫=血=乃=匚

于是:\\=P\O=O1-ecosO1-eecos/rl+e

.2

1+

凡2|FM|_l+g_3^5_5

故:

兩'

\FN\1-el21

3

第6頁，共23頁

—§B||FA||FM|sin?lFA|lFM|

所以：MAM=2------------------=1——U-----1=2x5=10

SbFBN口陽「村卜由二|陽怛M

5、設(shè)橢圓E：W+g=l(a>b>0),其離心率6=至，其通徑〃=孥，①求橢圓E的方

a1b133

程.②兩條焦直徑（過焦點的弦）AB與CD互相垂直.求1二+1二=?

解：⑴先求橢圓E的方程：

由離心率e=￡=坐得：4=七岐=?，貝!I：4=1①

a3a1a13a13

由通徑d=8=超得：成=空②

a3a3

聯(lián)立①②得…=6…故橢圓￡的方程為：爭

⑵兩條焦直徑都過焦點，所以采用以焦點為原點的極坐標(biāo)解題更便捷.

以左焦點為原點的橢圓極坐標(biāo)方程為：p="八③

1-ecos。

那么，設(shè)：A（q,e）,則:8（22，夕+乃），以勺外鄉(xiāng)，。（。44+”）

代入方程③式得：

epepepep2ep

\AB\=pi+p2-------------1-------------------=-------------1-------------=----------------

1-ecos。1-ecos(6+?)l-ecos。1+ecos。cos2g

1_l-e2cos2。

④

\AB\2ep

epepepep2ep

\CD\=P+P-------------------1---------------------=-------------1------------=---------------

34l-ecos(e+§1-ecos(6+^)1+esin^l-es[n3l-e2sin20

TB1l-^^sin2o

寸\CD\=―⑤

由④式⑤式得：

11_l-e2cos2。1-e2sin?。_2-J

⑥

畫畫-2ep2ep2ep

將"今P=-=2代入⑥式得：向+向=￥

第7頁，共23頁

22

6、設(shè)橢圓后：二+二=1,左焦點為尸，在橢圓上任取三個不同點牛弓、鳥，使得

3627123

_24

司嗎=7%=/弓%-y

解：橢圓石的參數(shù)：。=6,/?=36,C=39

故離心率e=￡=』，準(zhǔn)焦距p=——c=—=—=9.

a2cc3

采用極坐標(biāo)，以左焦點為原點的極坐標(biāo)方程為：

ep1l-ecos。小

P=~~~f，即：—二-------①

［一ecosepep

2424

設(shè)巧=（/?1,a）,貝！I尸弓=（22，&+7），％=（Py°一-3）

分別代入①式得：

1111—ccos(cifH---)11—ecos(a----)

1_l-ecos6z1_'31_3

——--------，——---------------9——-------------

將原點坐標(biāo)代入心止+2-1得：-1=--1<0

16916916

小于0表明原點在橢圓內(nèi)部.

⑵本題中，原點。和直線MN是橢圓E的一對極點和極線.

這里先簡單介紹一下極點和極線：

過橢圓外一點P向橢圓E作的所有割線點的連線，相交于兩點A和3,

一個點在橢圓內(nèi)（假設(shè)A）,一個點在橢圓外（假設(shè)B）.這3個點P、A和3構(gòu)成特殊

的三角形，稱為自極三點形.其中，點P和直線4?是一對極點和極線；點A和直線

第8頁，共23頁

是一對極點和極線；點3和直線是一對極點和極線.如果將極點的坐標(biāo)，做等

效代入橢圓方程，得到的就是其極線方程.這樣使得求極線方程變得極為簡單.

本題，將原點坐標(biāo)做等效代入橢圓方程，就得到所在的直線方程.

將極點坐標(biāo)（2,為）做等效代入橢圓方程得到極線方程：（咒卜+1）+冬=]

故：代入々=0,y=0后得到：（0+l）（x+l）+21Z=i

00169

即：x+l=16,即：x=l5

所以MN所在的直線方程是：x=15

22

8、設(shè)橢圓氏三+==1（。＞。＞0）,過右焦點的直線/：x+y-百=0交E于4B兩點，P為

azbz

AB中點.

⑴若。P的斜率為：k=-,求橢圓E的方程；

2

⑵若直線加:尤—y—G=0交E于C、。兩點，AD與BC相交于Q,求。點的坐標(biāo).

解：⑴由于右焦點在直線/上，將右焦點尸（c,0）的坐標(biāo)代入/：x+y-G=0,得：c+0-岔=0,

故：c=6,c2=3

[22

上+二=1

聯(lián)立橢圓E和直線/得到交點43的坐標(biāo)：02科一

x+y-6=0

消元法消去y得：彳+”7；2=1

a'a1-c1

即：（Q2_3）尤2+_1）2_Q2（Q2_3）=0

整理得：（2a2一3*2-2&21+。2（6_。2）=0①

由于P為中點，所以=；（*A+x§），yp=G—Xp

代進①式由韋達定理得：

I,、12&273a2

XX)②

P'=2A+Bt5=n22a52-_3~2a52~-3

y=6-x-耍=嗎也③

r12/-32a2-3

由此得到。尸的斜率為：左="=岳2-產(chǎn)=馬2

Xp6a1a1

第9頁，共23頁

已知Z=L故：。2=6,于是廬=。2-3=3

2

22

所以橢圓￡的方程為：二+二=1

63

⑵直線x-y-6=0經(jīng)過產(chǎn)(后0)點,直線/也經(jīng)過戶(60)點,

故Q點必在關(guān)于橢圓E以尸為極點的極線上.

代入極線方程得：羋+等=1；即：％=4=2百

63。百

由于AO與BC關(guān)于x軸對稱，根據(jù)對稱性，)，。=0

所以0點的坐標(biāo)為：Q(20,0)

9、設(shè)橢圓E：二+二=1的長軸端點為4B,與y軸平行的直線交橢圓E于尸、Q兩點,

168

PA.QB的延長線相交于S點，求S點的軌跡.

解：設(shè)S(x0,y。)，P(m,n),Q(m,-n)

由PA//AS得：kpA=kAS

,n-0n

k--------=-----

PNm-(-a)m-\-a

k；°』一y。

AS(一〃)-+〃

故：」_=4_①

m+a+a

由BQ//QS得：小=人

k「一0_nk」0一°_,0

BQm-aa-m，QS'一a"一〃

故：上=2-②

a-mxQ~a

2)2

由①X②式得：=③

第10頁，共23頁

又，P、。兩點在橢圓E上，滿足：4+3=1

a1b1

2222,2222

Hwn.ma-mHnbaan

b；2a2a2n2a2-m2n2a2-m2

2

,2222v

代入③式得：=—=^-—

ya"a"a"/

22

即：吟—」=1，這就是S點的軌跡方程?

168

10、已知拋物線產(chǎn)：，=2內(nèi)(p>0),F為P的焦點，例為P上任一點，/為過M點的切線,

求證：與/的夾角等于/與x軸的夾角.

證明：FN為拋物線的焦半徑，設(shè)其傾角為a,F(g,0)

我們看上半軸即y〉O部分，下半軸與上半軸》

7T

二￡(0,狗，。6(0,一]

2

貝!]：tancr=——---

xA.-xnyP

MF九一2

拋物線/=2px兩邊對x求導(dǎo)：2yy'=2p9即歹="

y

故M點的切線為：tane=y，_r=—二

MyM

2，

tan(26)==_2M_=

l-tan0)%-P

-VM

22pyy

pyMMM.

22c2p

-p2px.,-px--

11M1人M2

即：a=26,FM與l的夾角為a—9=26—8=6,而。就是/與x軸的夾角.

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11、已知拋物線P的頂點為原點，其焦點尸(0,c)到直線/:x—y-2=0的距離為〃=乎，M

在/上，過M作拋物線P的兩條切線M4、MB,其中A、B為切點.

⑴當(dāng)M的坐標(biāo)為(4,2)時，求的直線方程；

(2)當(dāng)M在/上移動時，求目的最小值.

解：⑴先求拋物線P的方程

由焦點F(0,c)到直線/“一y一2=0的距離為〃=當(dāng)?shù)茫?/p>

=噌=逑,即…印

d=[j"|

歷，叵2

拋物線P的方程為：x2=4cy^4y①

下面求AB的直線方程：

的直線方程與M點是拋物線P的一對極線和極點，故用極線方程秒之.

AB的直線方程：xMx=2(yM+y)

將M(4,2)的坐標(biāo)值代入得：4x=2(2+y)=4+2y,即：2x-y-2=0

⑵|AE|=A點到準(zhǔn)線的距離，忸尸|=8點到準(zhǔn)線的距離.

M.網(wǎng)=(以+c\yB+c)=(以+1)(為+1)

即：|44忸6=(、+1)(為+1)=~為+(以+為)+1②

由于Me/,可將/:x-y-2=0作為極線，來求其極點N.

極點N(XN，NN)關(guān)于拋物線產(chǎn)的極線為：

xNX=2(yN+y),即：工產(chǎn)-2y-2為=。

與/:x-y—2=0對比得：XN=2,升=2

當(dāng)M在/上移動時，其極線AB必過N點.

設(shè)A3的直線的斜率為％,則43的直線方程為：y^k(x-xN)+yN

即：y-kx—2k+2③

AB點為①與③的交點.

,「12I2

將③代入①式得：4y—x-—y+—(Z-1)

第12頁，共23頁

即：4k2y=y2+4(k-l)y+4(k-1)2

222

即：y-4(k-k+l)y+4(A:-1)=0④

方程④的兩個根就是和

22

由韋達定理得：yAyB=^k-l),yA+yB=4(k-k+l)

代入②式得：

|AF|-|BF|=4(Jt-l)2+4(攵2-k+\)+l

=4必一2%+1+%2-2+1)+1=4(242-3%)+9

7733?3?

4(2A:2-3Z:)+9=8[A:2-2---Z:+(-)2]-8-(-)2+9

444

故|A斗怛口的最小值是g.

12、過拋物線P:x2=2py（p>0）的焦點E作斜率分別為勺、攵2兩條不同弦和C。，

勺+42=2,以AB、為直徑的圓/圓N（M、N為圓心）的公共弦所在的直線記為/,

若圓心M到/距離的最小值為苧，求拋物線P的方程.

解：拋物線，=2py的焦點/（。苧.

設(shè)AB直線的方程為：y=k.x+—,CD直線的方程為：y=k^x+—

1222

貝（I：A8點的坐標(biāo)滿足拋物線方程和AB直線的方程

fx2=20py

即：,J〃

y=k.x—

l12

于是：x2=2py=2p（k]X+與=2pk1X+p2

故：—2pk^x—p^"=0①

AB是圓M的直徑，圓心是“（、，丁加），

則由韋達定理得：

[2

XM=2（XA+XB）=pk\fXAXB^-P②

第13頁，共23頁

以-yB=（勺以+9-（勺0+9=勺（。-XB）

圓M的直徑平方為：

|陰2=（0』）2+（~-力）2=（1+城）（"』）2=（1+/）"4+5）2-4。勺

將②式代入上式得：

|AB|2=（1+彳）（4〃2彳+4p2）=4P2（1+k^）2

故圓M的直徑為:\AB\=2p（l+k^

圓M的半徑為：為=〃（1+勺

圓”的方程為：（一%）2+（八加）2=右=p2（l+4）2③

同理，圓N的方程為：（》一、）2+（y一為）2=/（1+g）2④

由③-④得：

"N一九）［2*-（々+XM"（，N）［2>-（為+）1=P?（&：-g）（2+Z：+g）

將XN~XM=P（^2-勺），XN+XM=P（左2+勺）=2P

y=y+y

yN-MP吟一,），NM=*+g+&：）

代入上式化簡得：x+2y=0⑤這就是兩圓的公共弦/的直線方程.

由圓心M到/距離為：:/+2加=

護+（_2）2亞

將加=pkyyM=k^M+g=PR+g

代入上式，并由圓心M到/距離的最小值為竽得:

}_J___1_J

故：p=8,則拋物線方程為：，=16）,.

13、已知動圓C過定點A（4,0）,且在），軸上截得的弦MN的長為8,求動圓圓心C的軌跡方

程.

第14頁，共23頁

解：解題思路：弦MV和AM的垂直平分線相交于圓心.

設(shè)：M（O,yQ）,貝（I：N（O,），o+8）,

例N的垂直平分線方程為：y=/（y〃+^^）=,（）+4①

yM-yAy0-Q

AM的斜率為：k

AMx..~x0-44

MAA

則A"的垂直平分線的斜率為：k=------=二

kAMV0

AM的中點K為：

0+4y+yy+Qy

_%+。_v_MA_O_O

K—-「一丁fyK~-2--

則AM的垂直平分線方程為：

y=-(x-x)+y=—(x-2)+^-②

>0長

K%2

聯(lián)立①②，消去為得：y=.，用（8_去+^~^

即：111=_1_甕_2),即：J；2-42=8(X-2)=8X-16,即：y2=Sx

2(y-4)

這就是求動圓圓心C的軌跡方程，是條拋物線.

14、如圖已知，在拋物線P:『=4x的焦點為產(chǎn)，其準(zhǔn)線與x軸的交點為A.過原點的圓。其

圓心在拋物線P上，與拋物線的準(zhǔn)線/交于不同的兩點

M.N,若［4尸|2=|40卜］47|,求圓C的半徑.

解：拋物線的準(zhǔn)線方程：x=-?=-l

2

設(shè)圓。其圓心坐標(biāo)為：*0,為），

因圓心在拋物線P上，則：

u4

,4

又圓C過原點，貝I：彳=工友+）行志①

/2124

故圓c得方程為：％-于+｝一媼=7^~+,

7

第15頁，共23頁

,2,4,4

即「2_家+條+y2_2%y+浸++#

),2

即：/一段.%+y2_2y^y=Q

對于在準(zhǔn)線/上的M、N兩點，其x=—4=-1,

2

代入上式得：1+乎+y2—2吁=0

y2

即：-2y0y+-^~+1=0

方程的兩個解就是例、N的縱坐標(biāo).

2

=+x

由韋達定理得：yM+yN-^yM-yN'-Y②

I刎=y"I訓(xùn)=為;

代入|AF|2=kM.|AN|得：yM-^=4

2

將結(jié)果代入②式得：￡+1=4,即：其=6.

,4

將結(jié)果代入①式得：搟=3+*=當(dāng)+6=3+6=半

C16U1644

故：圓c的半徑為：b=半

15、如圖，拋物線0：X2=4y,拋物線與：/=_2py(p>0),點知(%,%)在拋物線為上,

過M作4的兩條切線M4和MB,當(dāng)、=1-及時，切線

M4的斜率為％=-L

2

⑴求：AB所在的直線方程；

⑵當(dāng)點M在拋物線與上運動時，求A3中點的軌跡方程.

解：(1帙求A點的坐標(biāo)|:

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拋物線中％2=4〉的導(dǎo)函數(shù)為：4y=2x,即：y

X.1

拋物線在A點的斜率■就是切線的斜率為攵=-L,

”A22

x2

故：'=寸="即：4T》

再求AB所在的直線方制:

M（%0，J0）點與4?所在的直線是關(guān)于6的一對極點和極線，

故：A3所在的直線方程為：叼％=2（丁+為）

即：y=-^-x-yQ①

求小毛%）的坐標(biāo)上

因為方程①過A點，故：＜；

42。

當(dāng)%=1-0時，為=g一卜2-2V2+13-272

4—4-

確定A8所在的直線方程:

將加（、，均）代入①式得:

這就是A3所在的直線方程.

⑵設(shè)AB的中點為N（XN，＞N），則:

1。0不

XN^2（XA+XB）f^=TX7V-＞'O=TX7V+T

將①代入拋物線外方程得：

22,

x=4y=4(-^-x-yQ)=2xQx-4yQt即：x-2xQx+4yQ=0

由韋達定理得：

1、1c

X.=-(zx.+x0)=——2%=h

NT2'AB200

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x（）x（）'（）3?3?

yvN=—2xN—’v0=—24—4—0JC=4-N

或者：x^=^yN.這就是AB中點的軌跡方程.

16、已知拋物線P:，=8x,焦弦4?被尸分為I砌、|冏兩段,

求：1—[+1—[=?

解\FB\

解：拋物線的焦點廠（5,0）,即：F（2,0）,p=4,e=l

以焦點為原點建極坐標(biāo)，則拋物線的極坐標(biāo)方程為：p=—":=」一

l-ecosg1-cos0

設(shè)：A（pptt）,則:B（02，a+乃）

1_1_1-COSOf

：國=「=4

1_1_1-cos(a+?)_1+cosa

畫為二44

111-coscif1+cosa1

?-----1-----=----------1---------=一

?|FA|\FB\442

17、如圖，在正方形中，。為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（10,0）,點。的坐標(biāo)為（0,10）,分別

將線段OA和A6等分成十等分，分點分別記為4,4,…,％和勺,4,???,%,連接。斗,

過A.作軸的垂線與08.交于點P.（ieN*/KzW9）.

111v7

⑴求：點々的軌跡方程；

⑵求：過點々的切線方程。

解：⑴因為8.（107）,所以。區(qū)的直線方程為：）=工，即：y=^-x

11x1010

4所在的的垂線方程為：x=i

I

，2.2

那么過A.作軸的垂線與08.交于點P.（i,L）,故：X=i,y,

I1110P.〃10

%2

則：y=—,這就是點尸.的軌跡方程.

mI

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⑵尸.點的坐標(biāo)為：P.(/,—)

1I10

y+y.X.XX.

則該點的切線方程為：一L=.，即：y=-^x-y.

21051

22

18、已知，雙曲線”:菅—匕=i,過右焦點廠的直線交H于4B兩點，以|A3|為直徑的圓c

與”的準(zhǔn)線還有另外兩個交點M、N,與原點。構(gòu)成的三角形，求：S“c"的最小值.

tAj\lMON

解：|該雙曲線的基本參數(shù)卜a2=4,岸=5,。2=。2+.=9,

故：c=3,焦點E(3,0)

設(shè)過右焦點尸的直線方程為：y=k(x-3),則I：x=—+3.

k

代入雙曲線方程4y2-5%2+2。=0得：4y2-5(^-+3)2+20=0

k

化簡得：4k2y2-5(y+3k)2+20k2=0(左。0時)

即：(4攵2—5)y2—30^-25女2=0①

當(dāng)左=0時，直線方程為)，=0,與”的準(zhǔn)線的交點，不構(gòu)成三角形.

圓c的方程:

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為：C(xc，jc)?A、8兩點為圓直徑上的點,

故由①式得韋達定理得：

1、15k

々=5(z以+與)=彳；②

一25女2

以心=3③

y,cc15c12k2小

貝!I：工］=/+3=+3=----④

ek4M-54M-5

圓直徑的平方為：

|陰2=J+(N-獷=十(以-獷+(以-

K

2

故:|AB|2=（1+爰）（以->8門=^7（yA~yB）2

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即:

2（30%丫25k2

?xnI21+&21V、2.11+k

網(wǎng)=丁以+力）-4%加=r———+4-----------

{4k2-5）（4攵2一5）

94戶—5

=l+k2—,00+_毋2一=100（1+A2）

_（4%2_5）2（4^2-5）J