2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案05（A基礎(chǔ)）距離與截面 （教師版）

第5課：距離與截面

1、掌握空間中點(diǎn)、直線、平面到平面的距離的概念，能用這些概念進(jìn)行論證和解決有關(guān)問題

2、理解異面直線間的距離定義，會(huì)作異面直線的公垂線線段，學(xué)會(huì)將異面直線間距離的轉(zhuǎn)化

教學(xué)目標(biāo)

為線面距離，再到點(diǎn)到面的距離問題，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化能力

3、會(huì)作一些經(jīng)過長(zhǎng)方體棱上三點(diǎn)的截面問題，求一些相關(guān)長(zhǎng)度問題

1、掌握求點(diǎn)到平面距離的計(jì)算題步驟是“一作、二證、三計(jì)算”，思想方法是將空間圖形轉(zhuǎn)

化為平面圖形即“降維”的思想方法；

重點(diǎn)

2、空間距離向平面距離的轉(zhuǎn)化過程中，重點(diǎn)是確定垂足，作出輔助圖形解三角形。

難點(diǎn)經(jīng)過幾何體棱上不共線三點(diǎn)作截面多邊形

（一）點(diǎn)到平面的距離

當(dāng)知識(shí)梳理

1、點(diǎn)到平面的距離定義：過平面a外任意給定的一點(diǎn)M,有且只有一條直線與平面。垂直，從而把點(diǎn)M

與垂足N之間的距離叫做點(diǎn)M到平面a的距離；

備注：（1）如果一條直線/平行于一個(gè)平面a,那么直線/上任意兩點(diǎn)到平面a的距離都相等，從而直

線/與平面a的距離可以轉(zhuǎn)化為直線/上任意一點(diǎn)M到平面a的距離問題.

，例題精講

【例1】在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-ABC。中.

(1)求點(diǎn)4到平面的距離；

(2)求直線AB到CD4,4的距離.

(3)求平面AAR與平面BCQ的距離；

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】解：(1)正方體的體對(duì)角線為右而點(diǎn)A到平面ABQ的距離是正方體的體對(duì)角線的g

A到平面4BQ的距離為g；

歷/?

(2)AO^A^D：.A到CDA,百的距離為A0=已-而AB//平面CD\B,直線AB到CDA,Bx的距離；

(3)平面AB1A//平面BG。這兩個(gè)平面將體對(duì)角線分成三等分平面AB.D,與平面BCtD的距離為曰:

【例2】A4BC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面a的距離分別為2cm、3cm.4cm,且它們?cè)赼的同側(cè)，則AABC

的重心到平面a的距離為.

【難度】★★★

【答案】3a〃

【解析】解析：如圖，設(shè)A、B、C在平面a上的射影分別為4、B'、C,A48c的重心為G,

連接CG交/記于中點(diǎn)E,又設(shè)￡、G在平面。上的射影分別為￡、GL則EeAB,GwCE,

EE'=-（A'A+B'B）=~,CC'=4,CG:GE=2:1.在直角梯形EECC中可求得GG=3.答案為：3cm.

22

【例3】已知正方形的邊長(zhǎng)為4,E、P分別是45、AZ）的中點(diǎn)，GC_L平面/WCD,且GC=2,則

點(diǎn)B到平面EFG的距離為.

【難度】★★★

【答案】—

11

【解析】解：如圖，。到面G跖的距離是0到面GE尸距離的3倍，設(shè)。到面GE尸距離為〃，

則PG.h=GC.PCnh=2一=誓,又BD//EF,可得8。//平面GEF，可得5到面GEF的距離等于

V22V22

。到面GEF的距離：”=3=迎.故答案為：主叵.

3日1111

【例4】（1）長(zhǎng)方體ABC。-48GA中，M=5,A6=12,那么直線4G和平面48cA的距離是

【難度】★★

【答案】

【解析】回直線gG//平面ABC",回宜線和平面A8CR的距離即為點(diǎn)片和平面A8CR的距離.

回面AB4A_1面48?？?，在面AB4A內(nèi)過名作A產(chǎn)的垂線，即為面ABC。的垂線，也就是直角三角形

A8片斜邊上的高d,由面積法得：4=,故答案為：—.

131313

（2）如圖，立方體ABC。-A耳GR的棱長(zhǎng)為。，E,F,G分別是CC,,。。的中點(diǎn)，求：AP到

截面AEFZ）的距離;

【難度】★★★

【答案】（1）正a

5

【解析】解：AA到平面AEFD的距離即為A到平面AEFE＞的距離在平面AB4A中,

作AHLAE,如圖所示，連接AE，

又94上面AB4A，A”u面AB4A，則D4J_A"，

又D4CAE=A,得A”L面AEEO,即A”的長(zhǎng)度即為所求的距離,

則S，AA￡=；/=1AE-A"，又AE=半，得A”=半。；即AA到平面用'。的距離為

【例5】用六個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體ABC。-A4G。的棱長(zhǎng)為4,

則平面與平面間的距離為（）

4拒

人,上B.當(dāng)Lr.------D.2石

3

【難度】★★★

【答案】C

【解析】由題意知：正六面體A88-A4Gp是棱長(zhǎng)為4的正方體,

:ABJ/CQ,B\D、HBD,AB,IBtDt=B,,C.DIBD=D,平面ABQ〃平面BCQ,連接AC,

???81A_LAG，IA4,,AC,AM=A,_L平面AAC,

又ACu平面AAC，??.BQiJ.AC，同理可證得：AD.1X.C,

又8Q,A"u平面AB。，BQ|C4O|=R,..AC_L平面.?.AC，平面BCQ,

設(shè)垂足分別為E,F,則平面ABR與平面BC,D間的距離為|即|.正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為742+42+42=4石.

Ix4x4x44R

在三棱錐中，由等體積法求得：|4同=1--------------后=等，

93

22

團(tuán)平面A8Q與平面BCQ間的距離為：4石-述=速.故選：C.

33

y鞏固訓(xùn)練

1、四邊形A8CQ為正方形，且PA_L平面ABC。，PA=AB=a,則點(diǎn)P到直線BC的距離為.

【難度】★★

【答案】缶

【解析】點(diǎn)P到直線8C的距離即為PB的長(zhǎng)

2、在正方體AB8-ABCR中，底面邊長(zhǎng)為2夜，3￡）與AC交于點(diǎn)O,

（1）求直線DO與平面A88所成角.

（2）求點(diǎn)。到AC0的距離.

【難度】★★

【答案】見解析

【解析】解：（1）山題意，NRO。是直線R0與平面ABCD所成角,

?.?正方體ABCZ)-A與GR中，底面邊長(zhǎng)為2應(yīng)，:.DO=2,￡>,￡>=2x/2,..tanN。。。=夜,

〃03=arctan夜，直線R。與平面4夕8所成角是arctan0.

(2)過。作DE_L〃O,則短EJ_平面AC。，Z史為點(diǎn)。到AC4的距離.-.1X)=2,OQ=2點(diǎn)，〃。=26

，，由等面積可得DE==1￥=￥，點(diǎn)力到AC。的距離為孚.

3、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐產(chǎn)一438中，側(cè)棱以_L底面XABC=90,

PA-AB=BC-2,AD!IBC,則AE>到PBC的距離為.

【難度】★★★

【答案】V2

【解析】因?yàn)?J//BC,A￡><z平面P8C,BCu平面P8C,所以小>〃平面PBC,

所以AO到PBC的距離等于點(diǎn)A到平面P8C的距離，

因?yàn)閭?cè)棱^4_1底面488,所以抬_LAB,PAA.BC,因?yàn)镹A8C=9(y,即/WL8C,

因?yàn)镻4nAs=A,所以8cl.平面Q4B,所以3C_LPB,因?yàn)?=A3=BC=2,所以尸8=2近，

設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d,則由匕“c=匕-詠得|PA-S^K.=9.S^PBC，

所以gx2x；x2x2=；dx；x2&x2,得1=0,所以AD到PBC的距離為0.故答案為：正

4、平面a〃尸，點(diǎn)ACea,點(diǎn)8,Oe/7,如果Afi+CD=28,且AB,CD在月內(nèi)射影長(zhǎng)分別為5和9,則

平面a與夕間的距離為.

【難度】★★

【答案】12

【解析】如圖，AE'B,CF,由題意可知，BE=5,DF=9,設(shè)A3=x,CD=28-x,

則x2-25=(28-x)2-81,解得：x=13,平面a與平面夕間的距離他=而二？'=12；故答案為：12

5、如圖，點(diǎn)。是平面ABC。外一點(diǎn)，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，Q4_L底面ABCD,04=2,M為。4

的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，ZABC=60°.

(1)證明：直線MW〃平面08；

(2)求點(diǎn)8到平面OCD的距離.

【難度】★★★

【答案】見解析

【解析】證明：（1）取08的中點(diǎn)E,連接ME,NE

-,-ME//AB,AB//CD,:.MEI/CD,-.-NE//OC,ME^\EN=E,OC[\CD=C,

.?.平面MNE〃平面OCD，.1MN//平面OS.

解：（2）點(diǎn)8到平面OS的距離，即為A點(diǎn)到平面08距離.

作AP_LC￡）了P,連接OP,過點(diǎn)A作AQ_LOPF點(diǎn)Q,vAPiCD.OA±CD.

平面G4P,AQLCD,-/AQVOP,，AQ_L平面08，

?.?底面A8CD是邊長(zhǎng)為2的菱形，底面A8C￡>,。4=2,

M為。4的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，ZABC=60°,:.PD=-AD=1,AP="7=百，

2

線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，

OP=^ODr-DP-=>/0A2+AD2-DP2=J4+4-1=5，AQ=0A，AP=,

OP幣1

故B到平面OCD的距離為冬包.

7

（二）異面直線間的距離

土知識(shí)梳理

定理對(duì)于任意給定的兩條異面直線，存在唯一的一條直線與這兩條直線都垂直并且相交.

已知：直線。力是異面直線.

求證：存在唯一的直線與a力都垂直且相交.

證明：先證明存在性.如圖，在直線。上任取一點(diǎn)P,過P作直線〃，使得仇〃從設(shè)。與“所確定的平

面為a,則人〃a.過直線b作平面夕，使得夕_La,交線為名，由b〃a,有為〃又仇〃力,故仇〃仇.

設(shè)a與打的交點(diǎn)為A,在平面p上過點(diǎn)A作直線AB垂直于打，交直線。于點(diǎn)8,因口_￡戶，所以48,2,

這樣直線AB與異面直線。力都垂直且相交.

再證明唯一性.（反證法）如圖，假設(shè)除了AB,還有一條共垂線MN,使得垂足分別為

M,N.

因?yàn)榇颉ㄈ?，所以而a與為是平面a上兩條相交直線，所以又所以

MN//AB,從而A、B、M、N共面，而這與AM、BN是異面直線相矛盾.

異面直線間的距離定義

將與兩條異面直線都垂直且相交的直線稱為這兩條異面直線的公垂線，公垂線的兩個(gè)垂足之間的線段

稱為異面直線的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度就叫做兩條異面直線的距離.

備注：（1）兩條異面直線的公垂線段是連接兩條異面直線所有線段中的最短線段.

（2）異面直線的距離可以轉(zhuǎn)化為直線與平面的距離，如上圖a力距離轉(zhuǎn)化為。與a的距離.

，例題精講

【例6】已知正方體ABCD-A4G。的棱長(zhǎng)為。，異面直線8。與4A的距離為.

【難度】★★

【答案】西

2

【詳解】連接AC,與BD交于。點(diǎn)；由正方體的性質(zhì)可知，AO1BD,抽，平面ABC。,

QAOu面A8C。，，AO是異面直線8。與4A的共垂線段，

.??異面直線8D與A%的距離為AO=叵.故答案為：回.

22

【例7】（1）正方體ABCO-ABCQ的棱長(zhǎng)為1，M、N分別在線段AC與8。上，MN的最小值為

【難度】★★★

【答案】1

【解析】方法一（定義轉(zhuǎn)化法）：因?yàn)橹本€AG與即是異面直線，所以當(dāng)MN是兩直線的共垂線段時(shí)，MN取

得最小值.取AC的中點(diǎn)P,的中點(diǎn)。.則線段PQ就是兩異面直線4G與BD的共垂線段.

下證明之.

在矩形BAR與中，P。為中位線，所以PQ/叫又因?yàn)榫W(wǎng)，平面A8CO,所以FQ，平面ABC。

又因?yàn)锽Oq平面ABC。，所以PQ_LBO.同理可證尸Q，A￡，而PQC8O=。，PQOA.C^P,

所以線段PQ就是兩異面直線AG與8。的共垂線段，同尸。=1.

由異面直線公垂線段的定義可得MN2PQ=1,故MN的最小值為1.

【教法指導(dǎo)】方法一，該題可以結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，將其轉(zhuǎn)化為兩異面直線的距離來求；

方法二，可設(shè)出變量，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的最值求解；

方法三，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)的坐標(biāo)以及距離公式表示出目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)方法求解最值.

(2)已知平面a〃平面夕，根ua,riu。,且直線機(jī)與〃不平行.記平面a、4的距離為4,直線〃?、”的

距離為4，則()

A.4Vd2B.4=4c.dt>d2D.4與4大小不確定

【難度】★★

【答案】B

【解析】因?yàn)槠矫鎍〃平面產(chǎn)，機(jī)ua,nuB,且直線加與”不平行,

所以平面白、4的距離等于直線機(jī)、〃的距離，所以4=%，故選8.

［例8］已知正方體ABCD-A^C^棱長(zhǎng)為1,則直線AB與直線C盧的距離為.

【難度】★★★

【答案】1

【解析】連接Ag,A4nA8=M，連接C，,CQnGO=N,連接MN,

由正方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知：MV_L平面CD。?,MVL平面4即A,且A^u平面，CQu平面CDRG,

所以MN，A5MN_LCQ,所以MN為4伉CQ的公垂線，

所以直線AB與直線￡￡＞的距離為MN,又MN=1,所以直線與直線G。的距離為1，故答案為：1.

［例9］已知空間四邊形必8c各邊及對(duì)角線的長(zhǎng)都是1.

（1）求邊SA、8c的距離；

（2）求異面直線S3與4C所成角大小.

【難度】★★★

【答案】（1）亞；（2）g.

22

【解析】解：（1）依題意將四面體SABC放入如圖所示正方體中，

因?yàn)榭臻g四邊形SABC各邊及對(duì)角線的長(zhǎng)都是1,所以正方體的棱長(zhǎng)為"，在矩形MCBE中，

2

0,4分別為EM、BC的中點(diǎn)，所以。。"8七，所以面O8CN,BCu面DBCN,所以O(shè)QLBC,

同理可證。。LAS,所以0a為弘與8c的公垂線，所以54與8C的距高為正：

2

（2）連接MN,因?yàn)镾例=BN且SM//BN，所以四邊形SMNB為平行四邊形，所以SB//MN,又因?yàn)锳C上MN,

■JT

所以ACLS8,所以異面直線S3與AC所成角為

鞏固訓(xùn)練

1、正方體ABC￡>-A4G。的棱長(zhǎng)為“，E是棱。。的中點(diǎn)，則異面直線A8與CE的距離為.

【答案】a

【解析】解：依題意可得3CLAB,8cCEu面GCZ）。，所以BCLCE,即8c為AB與CE

的公垂線，所以忸C|=a即為異面直線與CE的距離，故答案為：。

2、己知AB是異面直線a、〃的公垂線段，AB=2,且a與匕成30。角，在直線。上取AP=4,則點(diǎn)P到直

線匕的距離為.

【答案】2夜

【解析】解：過3作直線c,clla,過尸作PO垂直于c,垂足為O,過O作OCL6垂足為C，

.?旗是異面直線。、人的公垂線段，AB//PO.:.PO±a,

根據(jù)三垂線定理，PCLb.PC長(zhǎng)為點(diǎn)P到直線人的距離.OC=4xcos30°=2,PO=AB=2,

在RtAOCP中，PC=^POr+OC1=74+4=2>/2；故答案是2&.

3、在三棱錐O-A8C中，A5=￡>C=4,BC=AD=3,ADYDC,ADIBC,ABLBC,則異面直線4?

和BC的距離為.

【答案】五.

【解析】畫出草圖，???AD_LOC,平面BC￡).?.45J.3￡)

又4B_L3C,AD1BC,..區(qū)。，平面A3。，/.BCLBD

所以BD是異面直線AO和8c的公垂線，

43

B

???AOLBD,.?.△ABD是直角三角形。

;.BD=dAB。-AD1=5/42-32=77,故答案為：不

4、已知線段ABL平面a,B為垂足，BCua,CD_L3C且CO與平面a成30。角，AB=BC=CD=2.求:

A

(1)異面直線A3與CO間的距離；

(2)A、。兩點(diǎn)間的距離.

【答案】(1)2；(2)2X/2.

【解析】解：(1)團(tuán)平面a,BCua,回AB_L8C,

又CDLBC,故8c是異面直線A8與CD的公垂線段，由題8c=2,所以A3與CD間的距離為2.

(2)過。作。連接OC,

團(tuán)OC是。C在平面a內(nèi)的射影，由團(tuán)COL3C,且/DC。是。C與a所成角，由題知NOCO=30。,

又連接8。，過。作QE//O8交AB于E,

由OBua,QAB±OB,則￡>E_LAB.RtZkDCO中，DO=DC=sin300=l,CO=DCcos30°=百.

口△3CO中，BO=^BC2+CO1=>[1-矩形BODE中，DE=1,BE=DO=\,

國(guó)RtZ\AE￡>中，AD=>JAE2+DE2=25/2-

（三）截面問題（拓展）

工知識(shí)梳理

1、平面截幾何體的截面：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，幾何體表面與平面的交線所圍成的平面圖形叫做平

面截幾何體的截面.

說明：（1）幾何體的表面指幾何體的面（構(gòu)成幾何體的各平面多邊形），是有限區(qū)域，并非指

多面體的面所在平面；

（2）它們的交線應(yīng)理解為線段；

（3）圍成的平面圖形含兩層含義：封閉、共面。

思考題：（1）一個(gè)平面去截正方體，截面的形狀會(huì)有哪些形狀？

【答案】截面的形狀會(huì)有三角形、四邊形（正方形、矩形、菱形、平行四邊形、梯形）、五邊形、六邊形.

三角形正方形矩形矩形

梯形菱形五邊形六邊形

思考題：（2）平面截幾何體的截面的邊和頂點(diǎn)一定在什么位置？為什么？

【解析】根據(jù)截面概念，截面多邊形的邊是平面與多面體表面的交線，所以截面多邊形的邊一

定在幾何體的面上。由于正方體有六個(gè)面，且截面六邊形存在，所以正方體的截面多邊形邊數(shù)

最多是6。又因?yàn)榻孛娴捻旤c(diǎn)是相鄰兩邊的公共點(diǎn)，繼而也同時(shí)在相鄰兩邊所在面上，因此在

相鄰兩面的公共交線，即棱上。

（例題精講

【例10］如圖，已知正方體ABCQ-A耳GR的棱長(zhǎng)為2,設(shè)點(diǎn)RQ分別為A綜。。的中點(diǎn)，則過點(diǎn)RQ的

平面a與正方體的截面形狀不可能為（）

4

Di

Q

D

A.三角形B.矩形C.五邊形D.六邊形

【難度】★★★

【答案】A

【解析】孫。在正方體的內(nèi)部，由平面的延展性，截面不可能的三角形，故A錯(cuò)誤；

取CG的中點(diǎn)連接A。、MQ、B,M,因?yàn)锳4//MQ,所以四邊形是平行四邊形，又

1,所以四邊形是矩形，此時(shí)過P、Q的平面a即為平面AgMQ,B正確；

取AN=2ND、,CE=3ED,連接PMNQ、QE、BE、BP,分別取AB、8的中點(diǎn)5、T,取AH=3HD,

連接S”、O,T,可得SHHPNMBE,BPHTDJ/QE,所以PM班:在同一平面內(nèi)，BP、QE在同一平面內(nèi)，

又過從P、E的平面只有?個(gè)，所以PNQEP是五邊形,此時(shí)過P、。的平面口即為五邊形PNQEP,故C正

確;

分別取AR、CD、CB、qB的中點(diǎn)A，、B，、D\C,連接A，Q、QB\B'D\D'C\CP,由正方體的性質(zhì)

A'P//B'D'//C'Q,A'D\PB\C'Q交于一點(diǎn)，所以C'。的中點(diǎn)在平面A/DE內(nèi)，即C'。也在平面AP。夕內(nèi),

所以是六邊形，此時(shí)過P、Q的平面a即為六邊形A0877CP,故D正確.故選：A.

【例11】在棱長(zhǎng)為4的正方體48CD-A8&R中，民尸分別是3c和MR的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)4瓦廠的平面把

正方體ABCD-A^CR截成兩部分，則截面與BCC.B,的交線段長(zhǎng)為.

【難度】★★★

【答案】y

【解析】解：如圖，連接AE并延長(zhǎng)交0c延長(zhǎng)線于M,連接汽M交CC,于G,連接EG并延長(zhǎng)交4G延長(zhǎng)

線于N,連接NF并延長(zhǎng)交AR于“，連接A",則五邊形AEG/7/為經(jīng)過點(diǎn)A瓦尸的正方體的截面，

因?yàn)镋為8C的中點(diǎn)，所以CE=gBC=2,因?yàn)镃EI3A。，所以AMCEOVMZM,

CMCE1

所以二7=F=77,所以CM=CD=4,因?yàn)?。MSlGA，所以回△FC0,

DMAD2

CGCM328I---------

所以訖=彳=2,所以CG=§x4=§,所以如〃￡+CG2=

所以截面與8CG5的交線段長(zhǎng)為與，故答案為：y

鞏固訓(xùn)練

1、如圖，在正方體ABCO-AMGR中，M,N,P分別是A4，AO,84的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面BDRB］；

（2）平面a過M,N,P三點(diǎn)，則平面a截此正方體的截面為一個(gè)多邊形.

①僅用鉛筆和無刻度直尺，在正方體中畫出此截面多邊形（保留作圖痕跡，不需要寫作圖步驟）;

②若正方體的棱長(zhǎng)為6,直接寫出此截面多邊形的周長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）①圖象見解析；②6J市+3&.

【解析】（1）如圖所示:

連接AC,8￡)交于。.連接NO田。.在正方體A8CO-A4CQ中，\B,=AB,A,BJ/AB,M是A瑪?shù)闹悬c(diǎn)，

0MS,=^AB,MBJ/^AB,又回在正方形A8CD中，連接4?？?。=。交于。，回。是BO的中點(diǎn)，

又團(tuán)在△4?。中，N分別是A。的中點(diǎn)，回NO是△43。的中位線，^NO^-AB,NOH-AB,

22

0NO=MB、,NO”MB\,回MNO4是平行四邊形，^MN//OB]t又回0qu平面8?！?gt;名，MN0平面BDRB,,

回出〃平面8￡>￡>g.

(2)①如圖所示:

②PQ=QS,RM=RT,截面多邊形的周長(zhǎng)等于PQ+QN+NR+RM+MP=NS+NT+MP,

zc_ZT_/7人2I4人貓_24丁_RM_RMBS_BP.--2-------

NS—NT=7TA4-AN,AN=3,-----=------=------------,------=------=1!?\rr_\JC_/nI_Q/7M

ATASAB+BSB】MB、P'uNl-N3—79+3

MP=TS-MT-PS=-JAS2+AT2-2y1A,M2+AJ2=3&,回截面多邊形的周長(zhǎng)等于6JiU+3上.

2、在棱長(zhǎng)為3的正方體ABC。-4月GA中，點(diǎn)/，N分別是棱BC，G。的中點(diǎn)，過A,M,N三點(diǎn)

作正方體的截面，將截面多邊形向平面A。。A作投影，則投影圖形的面積為.

【答案可

【解析】解：直線MN分別與直線A",AM交于E,尸兩點(diǎn),

連接AE,AF,分別與棱。2，BBi交于G,〃兩點(diǎn)，連接GN,MH,得到截面五邊形AGMWW,

向平面AORA作投影，得到五邊形AdMRG，由點(diǎn)M,N分別是棱用G，GR的中點(diǎn),

a

則NC】NM=NRNE=45,所以在放中，D'E=D、N=：,

r-xr~*r-x,、3

由△REGS/\￡>AG,則上L=—,即：2D1G1,而。G+￡>°=3,可得￡>G=2AG=2,

DG

A。T忘=3

3

同理3"=24〃=2,則AU=2AK=2,AM=〃陷=；,則

S/v/iMDiG=SM4D-SA必風(fēng)一S的=3x3—gxlx|一；x3x2=￡.故答案為：

實(shí)戰(zhàn)演練

一、填空題

1、在長(zhǎng)方體ABC。-A4GO中，正方形ABCD的面積為16,A6與平面BgC。所成的角為30。，則該長(zhǎng)

方體的高為.

【答案】472

【解析】解：?.?正方形458的面積為16,

?.?45_1平面88((，故NAG8為AG與平面BBCC所成的角，即4408=30。,

BC,=473,cq=《BC：-BC?=4夜.

2、給出下列四個(gè)命題：

(1)異面直線是指空間兩條既不平行也不相交的直線；

(2)若直線/上有兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則〃/a；

(3)若直線加與平面a內(nèi)無窮多條直線都垂直，則

(4)兩條異面直線中的一條垂直于平面a,則另一條必定不垂直于平面a.

其中正確命題的是.

【答案】(1)(4)

【解析】(1)(4)正確，(2)錯(cuò)，直線/可能與平面a相交；(3)錯(cuò)，無窮不代表所有

3、設(shè)尸是60。的二面角&一/一〃內(nèi)一點(diǎn)，/%_1_d尸3，尸,4,3分別為垂足，PA=2,P3=4,則4?的

長(zhǎng)為.

【答案】277

【解析】由題意，PA=2,PB=4,ZAPB=nO\

由余弦定理可知，AB2=4+16-2x2x4xcosl200=28?所以A3=2?.

4、長(zhǎng)方體中，底面A8CD是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為2,則頂點(diǎn)A到截面4瓦2的距離

【答案】亞

3

【解析】由題意可得：1〃=明="2+22=26,4〃="2+42=40,

據(jù)此可得5.的4=4指,設(shè)頂點(diǎn)A到截面A8Q的距離為h,

對(duì)三棱錐4-ABQI的體積進(jìn)行轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)求解：！-"向=匕―向?yàn)鯙酰?/p>

即：—x4>/6x/z=—x^—x4x4^jx2,解得：h=?弋,

5、在長(zhǎng)方體ABCO-ABCQ中，M=3,AB=5,AD=2,則異面直線A耳和。。的距離為.

【答案】2

【解析】解：如圖，在長(zhǎng)方體體4BCQ-ABC"中，因?yàn)锳D_L平面。2GC,且。2u平面。2GC,

所以A￡?_L。。，同理可證AO是異面直線A4和。。的公垂線段,

因此A%和。R的距離為45=2.故答案為：2.

D、

6、RtAABC的斜邊8c在平面a內(nèi)，Aia,設(shè)A在a上的射影為A',

則由A'B,AC,BC組成的圖形是.

【答案】線段或鈍角三角形

【解析】解：若平面ABC與a垂直，則直角邊班、直角邊AC在平面a上的射影即為線段8C，

若平面ABC與a不垂直，A為A點(diǎn)在a上的投影

令直角邊AC在平面a上的射影C4S由三垂線定理可得CA'<CA；

令直角邊鉆在平面aHl勺射影5A,由三垂線定理可得84,<84；

故直角邊54、直角邊邊AC在平面a上的射影與斜邊組成的圖形為鈍角三角形

二、選擇題

7、三個(gè)平面兩兩垂直，它們的交線交于一點(diǎn)。，點(diǎn)P到三個(gè)面的距離分別是3,4,5,則0P的長(zhǎng)為（

A.56B.5夜

C.3有D.2舊

【答案】B

【解析】回三個(gè)平面兩兩垂直，13可以將P與各面的垂足連接并補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，I20P即為對(duì)角線，0OP=

J32+42+52=回=5&

8、如圖，在長(zhǎng)方體ABC￡）-A￡GR中，45=2.8C=1測(cè)直線A4與平面的距離為（）

AG

D.2亞

【答案】c

【解析】因?yàn)锳BCD-ABCQ為長(zhǎng)方體，所以面BDRB1回面ABCD,

過A作AE^BD于E,則AE0面BDD|B|,所以直線AA,與平面BOD4的距離為AE.

ADxABBCxAB1x2亭，故選：C

在直角三角形ABD中，由等面積法可得：AE=

BDBD#+22

9、如圖，在正方體AB8-A烏CQ中，已知E，F(xiàn),G分別是線段AG上的點(diǎn)，且AE=EF=FG=GC1

.則下列直線與平面A3。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.CG

【答案】B

【解析】解：如圖，連接AC,使AC交加＞與點(diǎn)O,連接A。，CF,

U11//7

在正方體AB8-AB/GA中，由于A尸=±AC,又OC=]AC,可得：\F=OC,即四邊形A。。為平行

四邊形，可得：\OHCF,又AOu平面回￡）,CFC平面ABD，可得CF//平面A3”故選：B.

10、河堤斜面與水平面所成角為601堤面上有一條直道CQ,它與堤角的水平線A8的夾角為30,沿著這

條直道從堤角向上行走到20m時(shí)，則人升高了（）

A.15/??B.10/MC.10>/3nzD.55/3/?

【答案】D

【解析】

取C￡>上一點(diǎn)E,設(shè)CE=20m,過點(diǎn)E作直線A5所在的水平面的垂線EG,垂足為G,

則線段EG的長(zhǎng)就是所求的高度.在河堤斜面內(nèi)，

作￡FJ_A8.垂足為尸，連接FG,由三垂線定理的逆定理，知因此，DEFG就是河堤斜面與

水平面ABG所成的二面角的平面角，ZEFG=60.

1C

由此得：￡G=￡Fsin60=CEsin30sin60=20x-x—=5^（機(jī)）

22

三、解答題

TT

11、如圖，在四棱錐。一ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，SABC=—,OAEI平面ABCD,0A=2,M