5.3導數在研究函數中的應用（3課時）教學設計高二上學期數學人教A版選擇性

導數在研究函數中的應用課程內容（課名）導數在研究函數中的應用教師姓名選用教材人教A版2019必修二教學課時3課時一、教學設計理念導數是聯(lián)系高等數學和初等數學的紐帶，高中階段引進導數的學習有利于學生更好地理解函數的形式，掌握函數思想，搞清曲線的切線問題，發(fā)展學生的思維能力。因而在中學數學解題過程中，可以利用導數思想解決諸如函數（解析式、值域、極值、最值、單調區(qū)間等）問題、切線問題、不等式問題、數列問題以及實際應用問題。在教學過程中，我根據學生認知的先后順序，通過“提問觀察討論再提問再觀察再討論獲得經驗總結”，一環(huán)扣一環(huán)的教學，讓學生分組討論，充分參與，自己建立起函數單調性與導數的關系，并體會導數在求極值時的應用，最后借助極值和端點值求出最大（?。┲?，從而達到本節(jié)課的教學目標。二、學習者分析需求分析導數在研究函數中的應用是2019人教A版數學選擇性必修二第五章的內容，本節(jié)課主要內容是利用導數研究函數的單調性、極值和最值。學生已經學習了導數的概念，導數的幾何意義，導數計算，函數的單調性等知識，對函數單調性有一定認識，對相應導數的內容業(yè)具備一定的儲備。函數的極值與最值是函數的一個中心性質。在學習運用導數判斷函數單調性的基礎上，研究和學習函數的極值與最值是導數的一個重要應用。本節(jié)課主要學習函數極值的概念和極值的求法，以及求極值與導數的關系，區(qū)分極值與最值這兩個不同的概念，研究函數單調性和函數極值的關系，借助判斷函數單調性以確定極值點，了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件。學情分析本節(jié)課是在學習了導數的概念及其意義，導數的運算基礎上進行的導數在函數圖象應用方面的研究，學生已經初步了解導數與瞬時速度的關系，導數與切線斜率的關系，并會靈活運用導數的運算法則求復雜函數的導數。經過必修一的學習，學生通過圖像直觀研究了函數的單調性、周期性、奇偶性以及最值性質，通過前兩節(jié)的學習，學生初步感知到導數可以定量地描述函數的局部變化情況，利用導數可以精確地研究函數的性質，為本節(jié)課的具體學習打下基礎。三、學習任務分析新課程標準的內容要求數學抽象：借助導函數值的正負判斷原函數的增減性，求函數極值的方法，求函數最大（?。┲档姆椒ㄟ壿嬐评恚簩抵禐榱愕狞c與函數極值點的關系，函數極值與函數最值的關系數學運算：運用導數求函數極值和最值數學建模：函數的極值，函數的最值直觀想象：函數單調性與極值的關系，極值與最值的關系數據分析：通過研究函數單調性與導數的關系、函數極值的概念、函數極值與導數的關系、極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，總結求函數極值與最值的方法，練習鞏固，讓學生認識到數學知識的邏輯學與嚴密性本節(jié)課包含的教學內容用導數研究函數的性質函數的單調性函數的極值函數的最大值與最小值四、教學重難點第一課時重點：建立函數的單調性和導數正負之間的關系難點：函數增減的快慢與導數的關系第二課時重點：掌握求函數極值的方法難點：第三課時重點：掌握求函數最值的方法難點：函數最值與函數極值的區(qū)別與聯(lián)系五、教學策略選擇與設計從實例入手，猜想函數的單調性與導數的正負之間的關系，并通過嚴謹的說理得出結論，從直觀入手，從探索過程中培養(yǎng)學生的觀察、分析、概括的能力；提高學生利用數形結合、分類討論等思想分析解決問題的能力；滲透數學中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉化等觀點，使學生能用聯(lián)系的觀點看問題。通過教材中的具體案例，結合函數圖像，直觀感受函數極值的概念，并通過具體函數在極值點兩側導數值的變化情況，通過探究歸納出用導數求函數極值的一般方法，對于學生已經學過的函數最大（?。┲祮栴}，則側重于借助實例讓學生體會如何利用導數來求函數的最大（小）值。在教學時，教師首先引導學生觀察圖像，直觀感受函數在某些特殊點（極值點）的函數值與附近點的函數值大小之間的關系，以及函數在這些點處的導數值與這些點附近函數的增減情況，然后結合教材第九十頁探究部分，給出函數的極大值與極小值的概念，分析求函數極值的方法。課程類型新授課章/單元復習課□專題復習課□習題/試卷講評課□學科實踐活動課□其他□教學方法本單元擬采用的教學方法包括講授法、討論法、探究法教學媒體課件、幾何畫板、網絡畫板六1、教學過程設計（函數的單調性）教學環(huán)節(jié)1創(chuàng)設情景，引入新知教師活動1學生活動1游樂場里驚險刺激的過山車背后又蘊含了那些數學知識呢？我們能否把過山車軌道看作函數曲線呢？過山車的高低起伏是否對應函數的單調性，下面我們復習一下單調函數。函數單調性判斷。單調函數圖像特征引導學生回顧函數單調性的定義，學生形成增函數和減函數圖像的初步印象，為后續(xù)新知引入做鋪墊。注意：函數的單調性也叫函數在增減性。函數的單調性是對某個區(qū)間而言，它是局部概念。這個區(qū)間是定義域的子集。若函數在此區(qū)間上是增函數，則為單調遞增區(qū)間；若函數在此區(qū)間上是減函數，則為單調遞減區(qū)間。教學環(huán)節(jié)2實際問題入手，探究新知教師活動2學生活動2問題1：圖（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數的圖像，圖（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數的圖像。運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？（教師邀請學生分享答案，通過學生的回答歸納問題的答案）通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)：運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數．相應地，．（2）從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數．相應地，．學生根據必修所學內容回答教師提出的問題，討論發(fā)現(xiàn)，嘗試用速度時間圖像描述運動員的運動狀態(tài)。說明：函數是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數學模型，研究函數時，了解函數的贈與減、增減的快與慢以及函數的最大值或最小值等性質是非常重要的。通過研究函數的這些性質，我們可以對數量的變化規(guī)律有一個基本的了解。我們運用導數研究函數的性質，從中體會導數在研究函數中的作用。教學環(huán)節(jié)3師生共研，探究新知學生活動3教師活動3問題2：函數的單調性與導數的關系觀察函數的圖像，探討函數單調性與導數正負的關系?？偨Y：該函數在區(qū)間（－∞，2）上單減,切線斜率小于0,即其導數為負,在區(qū)間（2，+∞）上單增,切線斜率大于0,即其導數為正。而當x=2時其切線斜率為0,即導數為0，函數在該點單調性發(fā)生改變。教師引導學生分析函數圖像在不同區(qū)間內的增減性，分析函數單調遞增時函數的變化趨勢，導函數取值的特點，同理，再分析函數函數單調遞減時函數的變化趨勢，導函數取值的特點。讓學生會用自己的語言表述函數單調性與導數正負的關系。結論：函數的單調性與導數的關系——在某個區(qū)間內，如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數在這個區(qū)間內單調遞減。特別地，如果，那么函數在這個區(qū)間內是常函數。教學環(huán)節(jié)4練習鞏固，歸納方法教師活動4學生活動4例1：已知導函數的圖象如圖所示，則函數的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是o4o41例2：利用導數判斷下列函數的單調性。；；思考：（1）例2解決了什么問題？（2）解決問題的方法是什么？（3）解決問題的步驟是什么？總結：求解函數單調區(qū)間的步驟教師引導學生觀察導函數圖像，學會由導數正負性推測原函數的單調區(qū)間，會進行知識逆用。學生1：上臺展示自己所畫函數圖像并介紹畫圖依據，指出導函數的正負取值區(qū)間不同，則原函數單調區(qū)間不同，但是由導函數圖像中無法判斷原函數零點，所以大家的圖像不具有唯一性，但單調區(qū)間是一樣的。學生自行練習例二，在這個過程中教師注意引導學生總結做題步驟。例2圖像：討論：思考與拓展：以上兩個函數圖像的陡峭程度一樣嗎？圖像的陡峭程度與導數有什么關系？練習：討論函數在R上的單調性.（教師要求學生自行練習后訂正答案，教師在黑板上寫清做題過程，注意答題的規(guī)范性）解：以小組為單位討論圖像增長快慢與導數的關系，教師邀請學生回答，根據學生作答情況進行點撥答疑，解釋函數在某一范圍內導數絕對值較大，函數在這個范圍內變化的較快，函數的圖像就“陡峭”一些，反之，函數的圖像就平緩一些。活動意圖說明：通過大量的練習，讓學生掌握知識并靈活應用知識，學生自行動手練習，將理論知識應用于實際問題中，通過課堂糾錯，讓學生對知識有清晰的認知，學生在一次次練習中加深知識的掌握程度，業(yè)提高了解決問題的自信心，學生形成自我效能感，這對培養(yǎng)學生對學習數學的興趣大有幫助。教學環(huán)節(jié)5課堂小結教師活動5學生活動5總結：通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？（教師要鼓勵學生積極發(fā)言，營造寬松的課堂氣氛，形成師生互動，共同學習的教學效果，充分尊重學生的主體性）知識：函數的單調性與其導數的關系利用導數判斷函數的單調性利用導數求函數的單調區(qū)間由導數的信息畫函數的大致圖像方法：方程思想，分類討論。易錯點：忽略定義域的限制在教師的帶領下，學生集體回顧本節(jié)課所學內容，分享本節(jié)課學到的知識，如導數的正負與函數單調性的關系，利用導數在不同區(qū)間上的取值來描繪函數圖像，根據導函數求任意函數的單調區(qū)間。七1、板書設計函數的單調性與導數一、函數單調性與導數的關系二、利用導數求單調性的步驟三、例題講解例1列2圖像陡峭程度研究四、練習六2、教學過程設計（函數的極值與最值）教學環(huán)節(jié)1談話引入教師活動1學生活動1前面我們通過對函數的求導，摸清了函數的單調性，從而也發(fā)現(xiàn)了函數圖象的變化趨勢，正所謂“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，大家可以展開想象一下，在群山之中，各個山峰的頂端雖然不一定是群山之中的最高處，但卻是其附近的最高點，同樣，各個谷底雖然不一定是山谷的最低處，但卻是其附近的最低點．這就是我們今天要研究的函數的極值。（教師展示圖片，并借用古詩，引出函數極值的概念）欣賞山峰圖片，從圖片中抽象出具體的數學問題，為極值的學習提供思想準備。教學環(huán)節(jié)2極值探究教師活動2學生活動2探究1：山峰的輪廓可以用函數圖像表示，接下來我們研究這一段函數圖像的特點問題1函數在處的導數是多少？問題2在點附近，函數的圖像有什么特點？導數符號有什么變化規(guī)律？問題3函數在點處的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？（教師根據學生的回答情況進行點評，引導學生形成極值的概念）學生針對三個問題進行小組討論，并匯總答案，教師邀請小組上臺作答，根據作答情況進行統(tǒng)一講解。針對問題1，學生回答函數在處的導數是0，教師追問：問什么導數值為零，學生解釋處的切線與x軸平行。針對問題2，學生大致能描述a點附近圖像的特點，并但存在表述不規(guī)范問題。針對問題3，學生的回答比較多樣，但主要圍繞導數正負與函數單調性的關系回答。說明：探究2：觀察圖二，回答以下問題找出圖中的極值點，并說明哪些點為極大值點，哪些點為極小值點？極大值一定大于極小值嗎？函數在其定義域內的極大值和極小值具有唯一性嗎？區(qū)間的端點能成為極值點嗎？（教師要求學生討論，通過提問的形式進行極值內容的拓展，根據學生回答適當追問，引起學生思考，針對易錯點進行統(tǒng)一說明）關于函數極值概念的說明極值是一個局部概念，反映了函數在某一點附近的大小情況；極值點是自變量的值，極值是函數的值；函數的極大（小）值可能不止一個，而且函數的極大值未必大于極小值；函數的極值點一定在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點。學生圍繞問題進行同桌之間的討論，教師邀請學生分享答案，針對大家的疑問點進行解釋。學生1：學生2：極大值不一定大于極小值。教師追問：那最大值一定大于最小值嗎？學生2：最大值一定大于最小值，最值是在整體上判斷的，但極值是局部性質。學生3：根據圖二，發(fā)現(xiàn)極大值和極小值都不具有唯一性。學生4：區(qū)間的端點不能成為極值點。教師追問：你能說一說為什么端點不能成為極值點嗎？學生4：因為極值點兩側導數符號相反，端點的一側沒有定義，導數不存在。教學環(huán)節(jié)3典例剖析教師活動3學生活動3例1：不含參數的函數求極值x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗極大值↘因此，是函數的極大值點，極大值為，沒有極小值。反思與感悟函數極值和極值點的求解步驟(1)確定函數的定義域；(2)求方程的根；(3)用方程的根順次將函數的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格；(4)由在方程的根左右的符號，來判斷在這個根處取極值的情況。例2：含參數的函數求極值已知函數，當實數時，求函數f(x)的單調區(qū)間與極值.解：令，解得或，由知.分以下兩種情況討論：①若，則當變化時，的變化情況如下表：(－∞，－2)－2(－2，－2)－2(－2，＋∞)＋0－0＋↗極大值↘極小值↗所以在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上是增函數，在(－2，－2)上是減函數，函數在處取得極大值，且函數在處取得極小值，且②若a<eq\f(2,3)，則－2a>a－2.當變化時，的變化情況如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上是增函數，在(－2，－2)上是減函數，函數在處取得極大值，且函數在處取得極小值，且反思與感悟一般地，遇到題目中含有參數的問題時，常常結合參數的意義及對結果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應全面分析參數變化引起結論的變化情況，參數有幾何意義時還要考慮適當地運用數形結合思想，分類討論時做到分類標準明確，不重不漏。教師引導學生求導數為零的點，并判斷該點兩端導數正負情況，完成表格。在分析題目時，適當提問：導數為零的點一定是極值點嗎？從而引出極值點的充分條件與必要條件。設計意圖說明：通過例題強化解題方法，形成解題步驟，總結課堂知識。求極值的步驟：函數求導—令導數為零求極值點—討論單調性—列表—寫出極值。教學環(huán)節(jié)4最值研究教師活動4學生活動4問題2：如圖是函數的圖像，你能找出它的極小值、極大值嗎？它的最大值和最小值又該怎么找呢？思考：最值具有唯一性嗎？最值一定存在嗎？教師追問：什么時候最值存在？并在白板上展示如下函數圖像歸納出閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定有最大值和最小值。問題3：我們可以通過觀察函數圖像求最值，那能否借助極值求最值呢？（教師追問：最值一般在哪里取得呢？）學生根據極值的概念很快找到極大值，極小值并根據必修所學內容看出最大值是，最小值是學生回答，最值一定是唯一的，但是最值不一定存在。學生回答極值處可能是最值，端點處也能取得最值。說明：極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質。也就是說，如果是函數的極大(小)值點，那么在附近找不到比更大(小)的值。但是，在解決實際問題或研究函數的性質時，我們往往更關心函數在某個區(qū)間上，哪個值最大，哪個值最小。如果是某個區(qū)間上函數的最大(小)值點，那么不小(大)于函數在此區(qū)間上的所有函數值。教學環(huán)節(jié)5鞏固應用教師活動5學生活動5證明：當時，10+單調遞減單調遞增當時，取得最小值，所以，即學生在紙上嘗試解題，對照老師的講解糾錯。教學環(huán)節(jié)6總結回顧教師活動6七2、板書設計函數的極值與最值創(chuàng)設情景引導探究歸納應用列表總結例題精析錯因糾正課堂總結八、作業(yè)與拓展學習設計本節(jié)練習3題（根據導函數圖像畫出原函數圖像）課本例7，（單調性，極值，最值的綜合應用）九、教學評價本節(jié)課整個教學設計力爭落實新課改的教學理念，以學生的發(fā)展為本，關注知識的形成、發(fā)展過程，重視學生對導數應用的理解與領悟，促進學生學習活動中的深層次的數學思維參與