新課標(biāo)高中物理模型與方法專題15 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型（原卷版）

專題15帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型目錄TOC\o"1-3"\h\u一.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型解法綜述 1二．帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型 2三．平行邊界磁場(chǎng)模型 4四．圓形邊界磁場(chǎng)模型 6五．環(huán)形磁約束模型 10六．三角形或四邊形邊界磁場(chǎng)模型 13七．?dāng)?shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用 14模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用 14模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用 16模型三“平移圓”模型的應(yīng)用 18模型四“磁聚焦”模型 19一.帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型解法綜述基本思路圖例說明圓心的確定①與速度方向垂直的直線過圓心②弦的垂直平分線過圓心③軌跡圓弧與邊界切點(diǎn)的法線過圓心P、M點(diǎn)速度垂線交點(diǎn)P點(diǎn)速度垂線與弦的垂直平分線交點(diǎn)某點(diǎn)的速度垂線與切點(diǎn)法線的交點(diǎn)半徑的確定利用平面幾何知識(shí)求半徑常用解三角形法：例：(左圖)R＝eq\f(L,sinθ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq\f(L2＋d2,2d)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定利用軌跡對(duì)應(yīng)圓心角θ或軌跡長(zhǎng)度L求時(shí)間①t＝eq\f(θ,2π)T②t＝eq\f(L,v)(1)速度的偏轉(zhuǎn)角φ等于所對(duì)的圓心角θ(2)偏轉(zhuǎn)角φ與弦切角α的關(guān)系：φ<180°時(shí)，φ＝2α；φ>180°時(shí)，φ＝360°－2α二．帶電粒子在直線邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型【運(yùn)動(dòng)模型】直線邊界，粒子進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性(如圖所示)圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)【模型演練1】.(2020·貴州貴陽市四校聯(lián)考)在如圖所示的xOy平面的第一象限內(nèi)，存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B1、B2的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)．Oa是兩磁場(chǎng)的邊界，且與x軸的夾角為45°.一不計(jì)重力、帶正電的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向射入磁場(chǎng)．之后粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡恰與y軸相切但未離開磁場(chǎng)．則兩磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值為()A.eq\f(B1,B2)＝eq\f(1,4) B.eq\f(B1,B2)＝eq\f(2,1)C.eq\f(B1,B2)＝eq\f(1,2) D.eq\f(B1,B2)＝eq\f(4,1)【模型演練2】(2020·吉林長(zhǎng)春市六中3月線上測(cè)試)如圖所示，在0≤x≤3a的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在t＝0時(shí)刻，從原點(diǎn)O發(fā)射一束等速率的相同的帶電粒子，速度方向與y軸正方向的夾角分布在0°～90°范圍內(nèi)．其中，沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t＝t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)右邊界上P(3a，eq\r(3)a)點(diǎn)離開磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，下列說法正確的是()A．粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為3aB．粒子的發(fā)射速度大小為eq\f(4πa,t0)C．帶電粒子的比荷為eq\f(4π,3Bt0)D．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為2t0【典例分析3】(2020·全國(guó)卷Ⅱ·24)如圖，在0≤x≤h，－∞<y<＋∞區(qū)域中存在方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小可調(diào)，方向不變．一質(zhì)量為m，電荷量為q(q>0)的粒子以速度v0從磁場(chǎng)區(qū)域左側(cè)沿x軸進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力．(1)若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后穿過y軸正半軸離開磁場(chǎng)，分析說明磁場(chǎng)的方向，并求在這種情況下磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值Bm；(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(Bm,2)，粒子將通過虛線所示邊界上的一點(diǎn)離開磁場(chǎng)．求粒子在該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與x軸正方向的夾角及該點(diǎn)到x軸的距離．【模型演練4】(2020·湖北宜昌市四月調(diào)研)如圖所示，直線MN上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子1從磁場(chǎng)邊界上的a點(diǎn)垂直MN和磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)t1時(shí)間從b點(diǎn)離開磁場(chǎng)．之后電子2也由a點(diǎn)沿圖示方向以相同速率垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)t2時(shí)間從a、b連線的中點(diǎn)c離開磁場(chǎng)，則eq\f(t1,t2)為()A．3B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)【模型演練5】（2021屆云南省昆明市高三（上）三診一模摸底診斷測(cè)試?yán)砭C物理試題）如圖所示，虛線上方存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，下方存在方向相同、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，虛線為兩磁場(chǎng)的分界線。位于分界線上，點(diǎn)為的中點(diǎn)。一電子從點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度方向與分界線的夾角為，電子離開點(diǎn)后依次經(jīng)兩點(diǎn)回到點(diǎn)。已知電子的質(zhì)量為，電荷量為，重力不計(jì)，求：(1)的值；(2)電子從射入磁場(chǎng)到第一次回到點(diǎn)所用的時(shí)間。三．平行邊界磁場(chǎng)模型【運(yùn)動(dòng)模型】平行邊界存在臨界條件，圖a中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1＝eq\f(θm,Bq)，t2＝eq\f(T,2)＝eq\f(πm,Bq)圖b中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θm,Bq)圖c中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝(1－eq\f(θ,π))T＝(1－eq\f(θ,π))eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(2mπ－θ,Bq)圖d中粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)【模型演練1】.(多選)(2020·遼寧沈陽市第一次質(zhì)檢)兩個(gè)帶等量異種電荷的粒子分別以速度va和vb射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩粒子的入射方向與磁場(chǎng)邊界的夾角分別為60°和30°，磁場(chǎng)寬度為d，兩粒子同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，如圖所示，則()A．a(chǎn)粒子帶正電，b粒子帶負(fù)電B．兩粒子的軌道半徑之比Ra∶Rb＝eq\r(3)∶1C．兩粒子的質(zhì)量之比ma∶mb＝1∶2D．兩粒子的質(zhì)量之比ma∶mb＝2∶1【模型演練2】(2020·湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里．一電子從O點(diǎn)沿紙面垂直PQ以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)．若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2d.O′在MN上，且OO′與MN垂直．下列判斷正確的是 ()A．電子將向右偏轉(zhuǎn)B．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為dC．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為eq\r(3)dD．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πd,3v0)【模型演練4】.如圖所示，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界線SP∥MN，速率不同的同種帶電粒子從S點(diǎn)沿SP方向同時(shí)射入磁場(chǎng)，粒子的帶電量相同，其中穿過a點(diǎn)的粒子速度v1與MN垂直；穿過b點(diǎn)的粒子速度v2與MN成60°角，設(shè)兩粒子從S到a、b所需時(shí)間分別為t1和t2，則t1∶t2為(重力不計(jì)) ()A．1∶3 B．4∶3C．1∶1 D．3∶2四．圓形邊界磁場(chǎng)模型【模型構(gòu)建】沿徑向射入圓形磁場(chǎng)的粒子必沿徑向射出，運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性(如圖所示)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(R,tanθ)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(θ,π)T＝eq\f(2θm,Bq)θ＋α＝90°1．圓形有界磁場(chǎng)問題（1）正對(duì)圓心射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域正對(duì)圓心射出，兩圓心和出（入）射點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，有→磁偏轉(zhuǎn)半徑，根據(jù)半徑公式求解；時(shí)間。速度v越大→磁偏轉(zhuǎn)半徑r越大→圓心角α越小→時(shí)間t越短。若r=R，構(gòu)成正方形。2．圓形有界磁場(chǎng)問題（2）不對(duì)圓心射入圓形磁場(chǎng)區(qū)域兩個(gè)等腰三角形，一個(gè)共同的底邊若r=R，構(gòu)成菱形【模型演練1】(2020·貴州黔東南州一模)如圖，直角坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，有一半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里，邊界與x、y軸分別相切于a、b兩點(diǎn)．一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子從b點(diǎn)沿平行于x軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，離開磁場(chǎng)后做直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過x軸時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為60°，不計(jì)帶電粒子重力，下列判斷正確的是()A．粒子帶正電B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為RC．粒子運(yùn)動(dòng)的速率為eq\f(\r(3)qBR,m)D．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πm,6qB)【模型演練2】.(多選)(2020·福建廈門市3月質(zhì)檢)如圖所示，圓形區(qū)域直徑MN上方存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，下方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．現(xiàn)有兩個(gè)比荷相同的帶電粒子a、b，分別以v1、v2的速度沿圖示方向垂直磁場(chǎng)方向從M點(diǎn)入射，最終都從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，則()A．粒子a、b可能帶異種電荷B．粒子a、b一定帶同種電荷C．v1∶v2可能為2∶1D．v1∶v2只能為1∶1【模型演練3】.(多選)(2021·福建廈門市線上檢測(cè))如圖所示，圓形區(qū)域直徑MN上方存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，下方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．現(xiàn)有兩個(gè)比荷相同的帶電粒子a、b，分別以v1、v2的速度沿圖示方向垂直于磁場(chǎng)從M點(diǎn)入射，最終都從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，則()A．粒子a、b可能帶異種電荷B．粒子a、b一定帶同種電荷C．v1∶v2可能為2∶1D．v1∶v2只能為1∶1【模型演練4】(多選)(2020·四川樂山市高三下學(xué)期三調(diào))如圖所示，在一個(gè)半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)比荷為eq\f(q,m)的正粒子，從A點(diǎn)沿與AO成30°角的方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，最終從B點(diǎn)沿與AO垂直的方向離開磁場(chǎng)．若粒子在運(yùn)動(dòng)過程中只受磁場(chǎng)力作用，則()A．粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝RB．粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(πm,6Bq)C．粒子的初速度為v0＝eq\f(qBR,m)D．若僅改變初速度的方向，該粒子仍能從B點(diǎn)飛出磁場(chǎng)區(qū)域【模型演練5】如圖甲所示，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ的寬度與圖乙所示圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ的半徑相等，一不計(jì)重力的粒子從左邊界的M點(diǎn)以一定初速度水平向右垂直射入磁場(chǎng)Ⅰ，從右邊界射出時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)了θ角；該粒子以同樣的初速度沿半徑方向垂直射入磁場(chǎng)Ⅱ，射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向偏轉(zhuǎn)了2θ角．已知磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B1、B2，則B1與B2的比值為 ()A．2cosθ B．sinθC．cosθ D．tanθ【模型演練6】.(2020·山東濰坊檢測(cè))如圖所示，虛線所圍區(qū)域內(nèi)有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一束電子沿圓形區(qū)域的直徑方向以速度v射入磁場(chǎng)，電子束經(jīng)過磁場(chǎng)區(qū)后，其運(yùn)動(dòng)的方向與原入射方向成θ角．設(shè)電子質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子之間的相互作用力及所受的重力．求：(1)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R；(2)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；(3)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑r.【模型演練7】．(2020·陜西咸陽模擬)如圖所示，A點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，坐標(biāo)平面內(nèi)有邊界過A點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于坐標(biāo)平面向里．有一電子(質(zhì)量為m、電荷量為e)從A點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，從x軸上的B點(diǎn)射出磁場(chǎng)區(qū)域，此時(shí)速度方向與x軸的正方向之間的夾角為60°，求：(1)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大??；(2)磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O1的坐標(biāo)；(3)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．五．環(huán)形磁約束模型【模型構(gòu)建】臨界圓臨界半徑勾股定理(R2-R1)2=R12+r2解得：【模型演練1】(2020·安徽十校聯(lián)盟檢測(cè))如圖所示，磁場(chǎng)的邊界是兩個(gè)同心圓，內(nèi)圓的半徑為r，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，A是內(nèi)側(cè)邊界上的一點(diǎn)．在圓心O處沿平行紙面方向射出一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，粒子速度方向與OA成60°角，粒子經(jīng)磁場(chǎng)第一次偏轉(zhuǎn)后剛好從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，則下列說法正確的是()A．粒子一定帶正電B．粒子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(2πm,3qB)C．粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為eq\f(\r(3)qBr,2m)D．磁場(chǎng)外邊界圓的半徑至少為eq\r(3)r【模型演練2】(2020·全國(guó)卷Ⅲ·18)真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖8所示．一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)．已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力．為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()A.eq\f(3mv,2ae)B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae)D.eq\f(3mv,5ae)【模型演練3】(2021·廣東深圳高級(jí)中學(xué)月考)如圖所示，直徑分別為D和2D的同心圓處于同一豎直面內(nèi)，O為圓心，GH為大圓的水平直徑．兩圓之間的環(huán)形區(qū)域(Ⅰ區(qū))和小圓內(nèi)部(Ⅱ區(qū))均存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．間距為d的兩平行金屬極板間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，上極板開有一小孔．一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子由小孔下方eq\f(d,2)處?kù)o止釋放，加速后粒子以豎直向上的速度v射出電場(chǎng)，由H點(diǎn)緊靠大圓射入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力．(1)求極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大??；(2)若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切，求Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。灸Ｐ脱菥?】(2021屆·濰坊模擬)如圖所示，兩個(gè)同心圓，半徑分別為r和2r，在兩圓之間的環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。圓心O處有一放射源，放出粒子的質(zhì)量為m、帶電荷量為q，假設(shè)粒子速度方向都和紙面平行。(1)圖中箭頭表示某一粒子初速度的方向，OA與初速度方向夾角為60°，要想使該粒子經(jīng)過磁場(chǎng)后第一次通過A點(diǎn)，則初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出環(huán)形區(qū)域，則粒子的初速度不能超過多少？【模型演練5】(2021·安徽安慶市下學(xué)期第二次模擬)如圖所示，半徑分別為R、2R的兩個(gè)同心圓，圓心為O，大圓和小圓之間區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其余區(qū)域無磁場(chǎng)，一重力不計(jì)的帶正電粒子從大圓邊緣的P點(diǎn)沿PO方向以速度v1射入磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，圖中軌跡所對(duì)的圓心角為120°；若將該帶電粒子從P點(diǎn)射入的速度大小變?yōu)関2，不論其入射方向如何，都不可能射入小圓內(nèi)部區(qū)域，則eq\f(v1,v2)至少為()A.eq\f(4\r(3),3)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(4\r(3),9)D.eq\f(\r(3),3)六．三角形或四邊形邊界磁場(chǎng)模型【模型演練1】(2019·全國(guó)卷Ⅱ·17)如圖，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外．a(chǎn)b邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子．已知電子的比荷為k.則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B.eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D.eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl【模型演練2】(2021·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第二次模擬)如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì))以速度v從AC邊的中點(diǎn)O垂直AC邊射入磁場(chǎng)區(qū)域．若三角形的兩直角邊長(zhǎng)均為2L，要使粒子從CD邊射出，則v的取值范圍為()A.eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(2\r(2)qBL,m) B.eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(5qBL,m)C.eq\f(qBL,2m)≤v≤eq\f(\r(2)＋1qBL,m) D.eq\f(qBL,2m)≤v≤eq\f(5qBL,2m)【模型演練3】(2020·河北第二次省際調(diào)研)如圖，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd的部分區(qū)域內(nèi)存在著方向垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，a點(diǎn)處有離子源，可以向正方形abcd所在區(qū)域的任意方向發(fā)射速率均為v的相同的正離子，且所有離子均垂直bc邊射出，下列說法正確的是()A．磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為eq\f(π－2,4)L2B．離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為eq\r(2)LC．磁場(chǎng)區(qū)域的最大面積為eq\f(π,4)L2D．離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為eq\f(2πL,3v)【模型演練4】(2020·黑龍江哈爾濱六中期末)如圖所示，邊長(zhǎng)為l的等邊三角形ACD內(nèi)、外分布著方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B.由頂點(diǎn)A處沿∠CAD的角平分線方向發(fā)射不同速度的粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q.不計(jì)粒子重力．粒子以下列速度發(fā)射時(shí)其中不能通過D點(diǎn)的是()A.eq\f(qBl,4m)B.eq\f(qBl,2m)C.eq\f(3qBl,4m)D.eq\f(qBl,m)【模型演練5】如圖所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形abcd內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。從邊ad的四等分點(diǎn)P處沿與ad邊成45°角的方向向磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)射入速度大小不等的帶電粒子，粒子的質(zhì)量為m，電荷量為－q(q>0)。不計(jì)粒子重力，關(guān)于粒子的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是()A．可能有粒子從b點(diǎn)射出B．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為eq\f(3πm,2qB)C．速度為v＝eq\f(qBL,2m)的粒子從cd邊射出磁場(chǎng)D．從bc邊射出的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角一定小于135°七．?dāng)?shù)學(xué)圓模型在電磁學(xué)中的應(yīng)用模型一“放縮圓”模型的應(yīng)用適用條件速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動(dòng)半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法【模型演練1】(2020·全國(guó)卷Ⅰ·18)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖9中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率．不計(jì)粒子之間的相互作用．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()A.eq\f(7πm,6qB) B.eq\f(5πm,4qB)C.eq\f(4πm,3qB) D.eq\f(3πm,2qB)【模型演練2】.(多選)(2020·山東濰坊市檢測(cè))如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向垂直飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，下列判斷正確的是()A．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，其軌跡線越長(zhǎng)B．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，其軌跡線所對(duì)應(yīng)的圓心角越大C．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的電子，其軌跡線不一定重合D．電子的速率不同，它們?cè)诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定不相同【模型演練3】(多選)如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子(重力不計(jì))從AC邊的中點(diǎn)O垂直于AC邊射入該勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，若該三角形的兩直角邊長(zhǎng)均為2l，則下列關(guān)于粒子運(yùn)動(dòng)的說法中正確的是()A．若該粒子的入射速度為v＝eq\f(qBl,m)，則粒子一定從CD邊射出磁場(chǎng)，且距點(diǎn)C的距離為lB．若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從O點(diǎn)入射的最大速度應(yīng)為v＝eq\f(\r(2)＋1qBl,m)C．若要使粒子從CD邊射出，則該粒子從O點(diǎn)入射的最大速度應(yīng)為v＝eq\f(\r(2)qBl,m)D．當(dāng)該粒子以不同的速度入射時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為eq\f(πm,qB)【模型演練4】（2021屆云南省保山市智源中學(xué)周測(cè)）一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab＝be＝2bc＝2de＝L，bcde為矩形．一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從a點(diǎn)垂直于ab射入磁場(chǎng)，這些粒子具有各種速率．不計(jì)粒子之間的相互作用．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)速率為()A.eq\f(3qBL,4m)B.eq\f(\r(2)qBL,2m)C.eq\f(5qBL,8m)D.eq\f(\r(3)qBL,3m)模型二“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R＝eq\f(mv0,qB)。如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法【模型演練1】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)如圖所示，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為()A．eq\r(3)∶2B．eq\r(2)∶1C．eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)【模型演練2】.(多選)(2020·四川綿陽市高三第三次診斷)如圖所示，在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形區(qū)域ABCD內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子(不計(jì)重力)，分別以相同的速率v從A點(diǎn)沿不同方向垂直磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)，當(dāng)沿AC方向射入時(shí)，垂直于BC邊射出磁場(chǎng)．則粒子()A．帶負(fù)電B．運(yùn)動(dòng)速率v＝eq\f(\r(2)qBL,m)C．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間Tm＝eq\f(πm,3qB)D．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間Tm＝eq\f(πm,qB)【模型演練3】如圖所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。O點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑是圓形磁場(chǎng)區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力。(1)推導(dǎo)帶電粒子在磁場(chǎng)空間做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑；(2)求帶電粒子通過磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角?！灸Ｐ脱菥?】(2020·蚌埠二模)如圖所示，直線MN是一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界，三個(gè)相同的帶正電粒子分別沿圖示1、2、3三個(gè)方向以相同的速率從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，沿箭頭1、3兩個(gè)方向的粒子分別經(jīng)t1、t3時(shí)間均從p點(diǎn)離開磁場(chǎng)，沿箭頭2方向(垂直于MN)的粒子經(jīng)t2時(shí)間從q點(diǎn)離開磁場(chǎng)，p是Oq的中點(diǎn)，則t1、t2、t3之比為()A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．1∶3∶5 D．2∶3∶10【模型演練5】(2021·安徽宣城市第二次模擬)如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)．有無數(shù)個(gè)帶有相同電荷量和相同質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以同樣的速率通過P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)．這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的eq\f(1,3).將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長(zhǎng)變?yōu)閳A周長(zhǎng)的eq\f(1,4)，則eq\f(B2,B1)等于()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)模型三“平移圓”模型的應(yīng)用適用條件速度大小一定，方向一定，但入射點(diǎn)在同一直線上粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但在同一直線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上，該直線與入射點(diǎn)的連線平行界定方法將半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法【模型演練1】(2020·江西紅色七校一聯(lián))如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(圖中未畫出)，AB邊長(zhǎng)度為d，∠B＝eq\f(π,6)?，F(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v(未知)的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，而運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(4,3)t(不計(jì)粒子重力)。則下列說法正確的是()A．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4tB．該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(πm,2qt)C．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為eq\f(2,5)dD．粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為eq\f(\r(3)πd,7t)【模型演練2】如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)ABCD，帶電粒子從A點(diǎn)沿AB方向射入磁場(chǎng)，恰好從C點(diǎn)飛出磁場(chǎng)；若帶電粒子以相同的速度從AD的中點(diǎn)P垂直AD射入磁場(chǎng)，從DC邊的M點(diǎn)飛出磁場(chǎng)(M點(diǎn)未畫出)。設(shè)粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所用的時(shí)間為t1，由P點(diǎn)