一類化學(xué)模態(tài)邏輯形式系統(tǒng)的推理機(jī)理

一類化學(xué)模態(tài)邏輯形式系統(tǒng)的推理機(jī)理

模型邏輯是經(jīng)典邏輯在增加模型算子后的擴(kuò)展。這種形式的推理推理系統(tǒng)也來(lái)自經(jīng)典邏輯系統(tǒng)，只是增加了帶有模態(tài)算子的正義。在意義上，為了準(zhǔn)確描述模型算子的含義，采用了與經(jīng)典邏輯不同的kpple意義模型，但模型的意義解釋僅限于真假性。粗糙集理論的創(chuàng)始人Pawlak在對(duì)粗糙邏輯研究時(shí)引入了5個(gè)邏輯值:真、假、粗糙真、粗糙假和粗糙不相容.劉清等人在文獻(xiàn)中提出了粒-邏輯的形式系統(tǒng)和語(yǔ)義模型,其語(yǔ)法和語(yǔ)義推理也都圍繞這5個(gè)邏輯值進(jìn)行.粗糙真是介于真與假之間的一種邏輯值,對(duì)模態(tài)邏輯公理系統(tǒng)的語(yǔ)義討論能否突破真與假二值的束縛,而針對(duì)粗糙真這種邏輯值展開(kāi)研究呢?盡管文獻(xiàn)都是粗糙集方法與模態(tài)邏輯相融合的討論,但前者著重分析模態(tài)邏輯公理與二元關(guān)系性質(zhì)間的聯(lián)系,不涉及語(yǔ)義的討論;后者雖巧妙構(gòu)造了不完備信息系統(tǒng)完備化后的模態(tài)邏輯系統(tǒng),但研究手段相似于模態(tài)邏輯傳統(tǒng)的研究方法.因此各種討論很少涉及模態(tài)邏輯公理的粗糙真解釋,但這正是下面所要研究的問(wèn)題.由于將把模態(tài)邏輯和粗糙邏輯融合在一起討論,所以首先面臨的任務(wù)就是如何構(gòu)造描述命題的公式.模態(tài)邏輯的公式是在經(jīng)典邏輯公式基礎(chǔ)上加入模態(tài)算子構(gòu)成的,而Pawlak粗糙邏輯的公式是在近似空間M=(U,R)上構(gòu)造的,且主要涉及一元公式.這兩者都不能滿足融合后討論的需要,因此對(duì)模態(tài)邏輯公理的粗糙真研究應(yīng)從公式的構(gòu)造開(kāi)始.1偏序集的定義設(shè)U為一有限集,Un=U×…×U表示n個(gè)U的笛卡兒積(n≥1).若RUn×Un,且R為Un上的等價(jià)關(guān)系,則稱M=(Un,R)是以Un為論域的近似空間.下面要在M=(Un,R)上定義公式.這需要約定M上的符號(hào)系統(tǒng):1)常項(xiàng).對(duì)任意的元素a∈U,a稱為近似空間M=(Un,R)的常項(xiàng);2)變?cè)?x,y,z等或x1,x2,x3,…稱為近似空間M=(Un,R)的變?cè)?3)項(xiàng).常項(xiàng)和變?cè)挤Q為M=(Un,R)的項(xiàng),項(xiàng)用符號(hào)t1,t2,t3,…表示;4)關(guān)系.P,Q,S等或帶下標(biāo)的符號(hào)P1,P2,P3,…表示U上的m(m≥1)元關(guān)系.定義1.設(shè)M=(Un,R)為近似空間,P為U上任一m元關(guān)系,即PUm,t1,…,tm為M的m個(gè)項(xiàng),稱P(t1,…,tm)為M上的原子公式.模態(tài)邏輯中有兩個(gè)模態(tài)算子和它們分別表示“必然”和“可能”.與之對(duì)應(yīng),本文再引入兩個(gè)粗糙模態(tài)算子和分別稱為“粗糙必然”和“粗糙可能”,其嚴(yán)格語(yǔ)義定義將在下面進(jìn)行,這里提前給出的目的在于公式的定義:定義2.近似空間M=(Un,R)上的公式歸納定義如下:1)原子公式是M上的公式;2)若是M上的公式,則是M上的公式;3)若,ψ是M上的公式,則是M上的公式;4)若是M上的公式,則是M上的公式;5)只有有限步使用1),2),3)或4)得到的表達(dá)式是M上的公式.公式涉及多元關(guān)系,這就有別于Pawlak粗糙邏輯的公式,因?yàn)槟抢锊怀霈F(xiàn)多元關(guān)系.下面常省略公式的最外層括號(hào),且當(dāng)中出現(xiàn)n個(gè)變?cè)獣r(shí),稱為n元公式.設(shè)P(x1,…,xn)為n元原子公式,〈t1,…,tn〉∈Un,即t1,…,tn都是常項(xiàng),若〈t1,…,tn〉∈P,則稱將t1,…,tn代入P(x1,…,xn)后,所得公式P(t1,…,tn)為真.令:Un且P(t1,…,tn)為真}.定義3.設(shè),ψ是M=(Un,R)上的n元公式,且,ψ不含□,

,和,則定義:對(duì)于n元公式(x1,…,xn),定義3表明.若令,其中a∈U為常項(xiàng),則ψ為n-1元公式,這時(shí).所以這里涉及的概念既與U中的元素有關(guān),又與Un中的元素有關(guān),這就是本文采用近似空間M=(Un,R),而不用M=(U,R)的原因.對(duì)于M=(Un,R),設(shè)UnR={[a1],…,[at]}為R針對(duì)Un所構(gòu)成的劃分,若,則Pawlak上近似和下近似分別定義為定義4.設(shè)M=(Un,R)為近似空間,為M上不含的n元公式,則:1)若,則稱在M中真,記做4)若(空集),則稱在M中粗糙假,記做5)若,則稱在M中粗糙不相容.為了定義含公式的邏輯值,令Rn={RR為Un上的等價(jià)關(guān)系},Pn={(Un,R)R∈Rn}.因具有自反、反對(duì)稱和傳遞性,故(Rn,)構(gòu)成偏序集.在Pn上定義關(guān)系≤:對(duì)于(Un,R1),(Un,R2)∈Pn,(Un,R1)≤(Un,R2)當(dāng)且僅當(dāng).因此(Pn,≤)也是偏序集.由于下面僅研究含公式的粗糙真,且偶爾用到取真的邏輯值,而粗糙假、粗糙不相容等邏輯值并不涉及,所以僅對(duì)粗糙真及為真的邏輯值進(jìn)行定義.定義5.偏序集L=(Pn,≤)稱為n元公式的語(yǔ)義模型.對(duì)于(Un,R)∈Pn,在(Un,R)中粗糙真分別記做在(Un,R)中真分別記做,其定義為如下的1)～4),其關(guān)于邏輯聯(lián)結(jié)詞運(yùn)算的定義為如下的5)～11):1)當(dāng)且僅當(dāng)任意(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),則(見(jiàn)定義4);2)當(dāng)且僅當(dāng)存在(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1),且;3)當(dāng)且僅當(dāng)任意M1=(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),則(見(jiàn)定義4);4)當(dāng)且僅當(dāng)存在M1=(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1),且;5)當(dāng)且僅當(dāng)存在(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1),使得不成立;6)當(dāng)且僅當(dāng)任意(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),則不成立;7)當(dāng)且僅當(dāng)存在M1=(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1),使得不成立;8)當(dāng)且僅當(dāng)任意M1=(Un,R1)∈Pn,如果(Un,R)≤(Un,R1),則不成立;設(shè)ψ為含有或不含有的n元公式,且中之一,則:9)當(dāng)且僅當(dāng)且雖然語(yǔ)義模型L=(Pn,≤)體現(xiàn)了克里普克模型的思想,但因Pn由以Un為論域的所有近似空間構(gòu)成,其獨(dú)特性不言而喻.另外,當(dāng)U或n發(fā)生變化時(shí),Un自然也會(huì)改變,Pn也就隨之不同,因此模型L=(Pn,≤)具有多樣性.2任意性假設(shè)sr為了證明的需要,先針對(duì)偏序集(Rn,)和(Pn,≤)做一些討論.命題1.設(shè)(Un,R1),(Un,R2)∈Pn,且R1R2.對(duì)于n元公式,若,則證明.設(shè)UnR1={S1,…,Sr}和UnR2={T1,…,Ts}分別為等價(jià)關(guān)系R1和R2針對(duì)Un構(gòu)成的劃分.對(duì)于任意的Ti∈UnR2,令Ti={xx∈Un且〈x,a〉∈R2}.若令Sj={xx∈Un且〈x,a〉∈R1},則Sj∈UnR1.由于R1R2,所以SjTi.因?yàn)?所以,于是,由的任意性便有.證畢.命題2.(Rn,)是一個(gè)格.證明.任R1,R2∈Rn,則R1∩R2∈Rn且為R1和R2針對(duì)的最大下界;如果令t(R1∪R2)為R1∪R2的傳遞閉包,則t(R1∪R2)為包含R1和R2的最小等價(jià)關(guān)系(詳證見(jiàn)文獻(xiàn)P155).所以t(R1∪R2)∈Rn且為R1和R2針對(duì)的最小上界.故(Rn,)是一個(gè)格.證畢.對(duì)于(Un,R1),(Un,R2)∈Pn,由于(Un,R1)≤(Un,R2)當(dāng)且僅當(dāng)R1R2.因此由命題2有:命題3.(Pn,≤)也是一個(gè)格.命題3說(shuō)明Pn中任意兩個(gè)元素在Pn中必存在最大下界和最小上界.如下證明將用到這些命題.2.1利用克里普克模型進(jìn)行的語(yǔ)義推理模態(tài)邏輯S5系統(tǒng)中帶模態(tài)算子的公理如下:(1)(2)(3)(4)其中由(1)(2)構(gòu)成的系統(tǒng)稱為T(mén)系統(tǒng),由(1)(2)(3)構(gòu)成的系統(tǒng)稱為S4系統(tǒng),T,S4和S5系統(tǒng)中的推理是通過(guò)如下兩條推理規(guī)則進(jìn)行的:(5)由和推出ψ(和ψ均可含或);(6)由推出.公理系統(tǒng)是形式推理的依據(jù),但本文不討論形式推理,而要進(jìn)行語(yǔ)義研究.模態(tài)邏輯在利用克里普克模型對(duì)公理(1)～(4)進(jìn)行語(yǔ)義討論以及采用推理規(guī)則(5)和(6)進(jìn)行語(yǔ)義推理時(shí),仍在真與假的二值范圍內(nèi)進(jìn)行.下面對(duì)它們是粗糙真的討論.為了區(qū)別,將(1)～(6)中的模態(tài)算子變?yōu)榇植谀B(tài)算子:1)2)3)4)5)由和推出ψ(和ψ均可含和);6)由推出.下稱1)～4)為粗糙真公理,5)和6)為粗糙真推理規(guī)則.對(duì)于n元公式,當(dāng)在L=(Pn,≤)的某近似空間(Un,R)中粗糙真時(shí),ψ也在(Un,R)中粗糙真,則稱粗糙真有效.2.2以“2”為語(yǔ)義分析定理經(jīng)典邏輯中,若真時(shí),有ψ也真,則稱是有效公式.有效公式可在形式推理時(shí)作為公理使用.因此,若粗糙真公理1)～4)都是粗糙真有效的,則它們可在粗糙真形式推理中使用,所以下面討論1)～4)的粗糙真有效性.定理1.對(duì)于模型L=(Pn,≤),設(shè)(Un,R)∈Pn,若證明.任(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1).因?yàn)?由定義5的2),存在(Un,R2)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R2),使得,即.對(duì)于(Un,R1)和(Un,R2),由命題3,存在(Un,R3)∈Pn,使得(Un,R1)≤(Un,R3)且(Un,R2)≤(Un,R3).由(Un,R2)≤(Un,R3),有R2R3.因此由和命題1,知Un,即.再由(Un,R1)≤(Un,R3),及定義5的2)有.這樣,對(duì)任(Un,R1)∈Pn且(Un,R)≤(Un,R1)時(shí),就有,故由定義5的1),得.證畢.定理1說(shuō)明粗糙真公理“4)是粗糙真有效的.下面考慮“2)ψ)”的粗糙真有效性,其等價(jià)形式為“2).首先指出它并不粗糙真有效,即當(dāng)前件“”在Pn的某近似空間(Un,R)中粗糙真時(shí),不能保證后件“”也在(Un,R)中粗糙真.請(qǐng)看下例:例1.令U={a,b,c},R=U×U.顯然R為U上的等價(jià)關(guān)系,其對(duì)應(yīng)的劃分.于是M=(U,R)構(gòu)成近似空間,它屬于n=1時(shí)的P1.令P={〈a,a〉},Q={〈b,c〉},則P和Q都是U上的二元關(guān)系.令,ψ=Q(x,b),因x是變?cè)癮和b是常項(xiàng),所以和ψ都是M上的一元公式.由于,以及(見(jiàn)定義3).于是且.在(U,R)中考慮公式.注意到(U,R)為P1中關(guān)于≤的最大元,及,故,再由定義5的9)知但由于于是不成立.然而,如果將“2)的形式稍微改動(dòng),變形為“2),則有如下的語(yǔ)義分析定理:定理2.對(duì)于模型L=(Pn,≤),設(shè)(Un,R)∈Pn,若證明.因,由定義5的9)有再由定義5的1)和3)知:任(Un,R1)∈Pn,若(Un,R)≤(Un,R1),則,這里M1=(Un,R1).于是由定義4,得.因(此推證用到了定義3).所以.于是,對(duì)任意的(Un,R1)∈Pn,當(dāng)(Un,R)≤(Un,R1)時(shí),有ψ,故由定義5的1)知.證畢.定理2對(duì)2)′的分析結(jié)果可以認(rèn)為粗糙真公理“2)基本上粗糙真有效.由于≤在Pn上是自反和傳遞的,則有針對(duì)粗糙真公理1)和3)語(yǔ)義分析的定理:定理3.對(duì)于模型L=(Pn,≤),設(shè)(Un,R)∈Pn,若,則(1)證明.(1)由及定義5的1)知:任(Un,R1)∈Pn,若(Un,R)≤(Un,R1),則.因≤是自反的,有(Un,R)≤(Un,R),故(2)任(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1).對(duì)任(Un,R2)∈Pn,若(Un,R1)≤(Un,R2),因≤具有傳遞性,則有(Un,R)≤(Un,R2),因此由及定義5的1),知.由(Un,R1)≤(Un,R2)和(Un,R2)的任意性,利用定義5的1)得.這樣,對(duì)任意(Un,R1)∈Pn,滿足(Un,R)≤(Un,R1)時(shí),有,再由定義5的1),知.證畢.定理3說(shuō)明“1)”和“3)”都粗糙真有效.2.3由出現(xiàn)與執(zhí)行的中介推理現(xiàn)對(duì)規(guī)則“5)由和推出ψ”和“6)由推出”的粗糙真語(yǔ)義分析進(jìn)行討論.由于5)和6)是從已知公式推出新的公式,所以對(duì)5)和6)的粗糙真語(yǔ)義分析就是要討論在已知公式粗糙真的情況下,判定被形式推出的公式是否仍粗糙真.定理4.對(duì)于模型L=(Pn,≤),設(shè)(Un,R)∈Pn,若證明.設(shè),由定義4,.任(Un,R1)∈Pn,若(Un,R)≤(Un,R1),則RR1,由命題1,得.于是對(duì)任(Un,R1)∈Pn,當(dāng)(Un,R)≤(Un,R1)時(shí),,即,由定義5的1)得.證畢.定理4說(shuō)明由粗糙真推出也粗糙真.所以規(guī)則“6)由推出”保粗糙真性.對(duì)于規(guī)則5),其表述“由和推出ψ”是形式推理的表述,其中是公理或是由公理和推理規(guī)則形式推出的公式.因此從經(jīng)典邏輯語(yǔ)義方面講,是有效公式(命題邏輯也稱重言式).于是5)的經(jīng)典邏輯語(yǔ)義推理表述是:若是有效公式且真,則ψ真.按照這種語(yǔ)義推理模式,規(guī)則5)的粗糙真語(yǔ)義推理應(yīng)表述如下:若是粗糙真有效公式且粗糙真,則ψ粗糙真.(1)定理5.(1)是正確的粗糙真語(yǔ)義推理.證明.設(shè)粗糙真有效且粗糙真.若ψ不粗糙真,則由粗糙真,知不粗糙真有效,矛盾于是粗糙真有效公式.故ψ粗糙真.證畢.(1)的正確性說(shuō)明規(guī)則5)保粗糙真.同時(shí)(1)也說(shuō)明,只有當(dāng)規(guī)則5)中的“”是粗糙真有效公式時(shí),規(guī)則5)才保粗糙真.而需關(guān)注的是定理1～3與規(guī)則5)有何關(guān)系?考慮(1)的簡(jiǎn)化表述:若粗糙真,則ψ粗糙真.(2)(2)成立不僅表明粗糙真有效,并且有:定理6.若(2)成立,則(1)成立.證明.設(shè)是粗糙真有效公式且粗糙真,由粗糙真和(2)便知ψ粗糙真.故(1)成立.證畢.由于定理1～3證明了粗糙真公理1),2)′,3)和4)中前件和后件的關(guān)系都滿足(2),因此1),2)′,3)和4)作為粗糙真公理不僅可在規(guī)則5)中被視做“”,而且此時(shí)由規(guī)則5)推出的公式仍粗糙真.2.4公式2以上是針對(duì)S5系統(tǒng)中含模態(tài)算子公理的討論,該系統(tǒng)中的形式推理偶爾用到如下(7)和(8)兩條公理,7)和8)分別是它們對(duì)應(yīng)的粗糙真公理:(7)例1中,