隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度

關(guān)于隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)隨機(jī)過(guò)程的頻域分析只能研究其功率譜密度,并在此意義下討論其頻率結(jié)構(gòu)、帶寬以及與系統(tǒng)的相互作用等問(wèn)題。第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.1

功率譜密度若一個(gè)確定信號(hào) ，滿足狄氏條件，且絕對(duì)可積，即滿足：則s(t)的傅立葉變換存在，為：S(

)與s(t)滿足Parseval定理：第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)，盡管它的總能量是無(wú)限的，但其平均功率卻是有限值，即：第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D：f(t)及其截?cái)嗪瘮?shù)第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日f(shuō)T(t)的傅立葉變換存在：第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日W是樣本函數(shù)的平均功率將上式代入信號(hào)平均功率表達(dá)式中得:第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日所謂信號(hào)的功率譜密度函數(shù)是指這樣的函數(shù):1、當(dāng)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)對(duì)它進(jìn)行積分以后，得到信號(hào)的總功率；2、描述了信號(hào)功率在各個(gè)不同頻率上分布的情況；正具有了上述特性。它代表了隨機(jī)過(guò)程的某一個(gè)樣本函數(shù)f(t,

)在單位頻帶內(nèi)、消耗1

電阻上的平均功率。稱它為樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。記為Gf(

, )。第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)所有的（實(shí)驗(yàn)結(jié)果）取統(tǒng)計(jì)平均得：第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日或第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日功率譜密度Gf()是從頻率角度描述f(t)統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征。Gf()僅表示了f(t)的平均功率按頻率分布的情況，沒(méi)有包含過(guò)程f(t)的任何相位信息。若f(t)為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程,則有:第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.2

功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系由得:第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)X(t)為平穩(wěn)過(guò)程,則時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)等于集合平均自相關(guān)函數(shù),即:第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日上式稱為維納—辛欽定理。第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日說(shuō)明：

1、以上討論的功率譜密度都屬于連續(xù)情況，即相應(yīng)的隨機(jī)過(guò)程不能含有直流成分或周期成分。2、功率譜密度指單位帶寬上的平均功率；

3、任何直流分量和周期分量在頻域上都表現(xiàn)為頻率軸上某點(diǎn)的零帶寬內(nèi)的有限功率，都會(huì)在頻域的相應(yīng)位置上產(chǎn)生離散頻譜；而在零帶寬上的有限功率等效于無(wú)限的功率譜密度。4、借助函數(shù)，維納—辛欽定理可推廣至含有直流或周期性成分的平穩(wěn)過(guò)程中。第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.3

功率譜密度的性質(zhì)性質(zhì)一：非負(fù)性,GX(

)

0;性質(zhì)二：GX(性質(zhì)三：GX(性質(zhì)四：)是實(shí)函數(shù)；)是偶函數(shù)；

性質(zhì)五：有理譜密度是實(shí)際應(yīng)用中最常見(jiàn)的一類功率譜密度；第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.4

互譜密度及其性質(zhì)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和構(gòu)成新的隨機(jī)過(guò)程，即：Z(t)=X(t)+Y(t)的自相關(guān)函數(shù)：若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)、Y(t)單獨(dú)平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則：第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日Z(yǔ)(t)的譜密度GZ(

):其中：稱為互功率譜密度。第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日一、互譜密度：設(shè)兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，若x(t,

)和y(t,分別為X(t)和Y(t)的某一個(gè)樣本函數(shù)，相應(yīng)的截短函數(shù)分別為xT(t,

)和yT(t,

)，傅立葉變換分別為：，則互功率譜：第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日二、互譜密度的性質(zhì)性質(zhì)一：性質(zhì)二：和

是

的偶函數(shù)；是 的奇函數(shù)；和性質(zhì)三：若平穩(wěn)過(guò)程X(t)和Y(t)相互正交，則有：第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)四：若X(t)和Y(t)是兩個(gè)不相關(guān)的平穩(wěn)過(guò)程，分別有均值mX和mY，則：性質(zhì)五：若X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，RXY()絕對(duì)可積，則互譜密度GXY( )、

GYX(

)分別和互相關(guān)函數(shù)RXY(

)、

RYX(

)構(gòu)成傅立葉變換對(duì)。第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日三、相干函數(shù)第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.5

白噪聲與白序列—白噪聲的定義及特性：一個(gè)均值為零，功率譜密度在整個(gè)頻率軸上有非零常數(shù)，即：的平穩(wěn)過(guò)程N(yùn)(t)，被稱為白噪聲過(guò)程或簡(jiǎn)稱白噪聲。式中，N0是正實(shí)常數(shù)。第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲的相關(guān)系數(shù)為:第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日二、熱噪聲

熱噪聲指的是電路中由于各電阻內(nèi)電子熱騷動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)）而產(chǎn)生的隨機(jī)起伏電壓和電流。其功率譜密度為：第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日三、噪聲系數(shù)和溫度噪聲系數(shù)（指數(shù)）定義為系統(tǒng)輸入端信噪比與輸出端信噪比之比。即：第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日四、白序列（RND偽隨機(jī)序列）設(shè)隨機(jī)序列Zn的自相關(guān)函數(shù)滿足：或?qū)τ诎仔蛄衅涔β首V：第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日五、限帶白噪聲若噪聲在一個(gè)有限頻帶上有非零的常數(shù)功率譜，而在頻帶之外為零，則被稱做限帶白噪聲。自相關(guān)函數(shù)：第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.6

功率譜估值的經(jīng)典法譜估值的基本問(wèn)題是已知隨機(jī)過(guò)程X(t)或Xj某個(gè)實(shí)現(xiàn)：中的有限長(zhǎng)序列段 ，或者說(shuō)N個(gè)數(shù)，如何由它盡可能準(zhǔn)確地得到X(t)或Xj的功率譜密度GX(

)

。譜估值的主要目的：揭示其周期性。第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日一、兩種經(jīng)典譜估值的方法1、周期圖法本質(zhì)是從各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程功率譜定義式得到的估計(jì)量，對(duì)于有限N，有：式中，XN(

)是的N點(diǎn)DFT。第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2、Blackman-Tukey(BT法)由維納—辛欽定理的離散形式：對(duì)有限個(gè)數(shù)據(jù)，譜估值為：第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日二、經(jīng)典譜估值的改進(jìn)1、平均法：2、平滑法：將全部數(shù)據(jù)用來(lái)計(jì)算出一個(gè)周期圖，然后在頻域?qū)⑵淦交?，即：第三十五?yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日三、譜估值的一些實(shí)際問(wèn)題1、數(shù)據(jù)采樣率：隨機(jī)信號(hào)采樣定理：設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)X(t)的功率譜的最高頻率為fc，則取采樣間隔：采樣值為Xn，則有采樣展開(kāi)式：第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日且 在均方意義下逼近于X(t)，即：2、每段數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度L應(yīng)滿足頻率分辨力的要求。3、數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度數(shù)據(jù)總長(zhǎng)度N=分段數(shù)K*每段點(diǎn)數(shù)L；4、數(shù)據(jù)預(yù)處理第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.7

復(fù)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度若過(guò)程Z(t)是平穩(wěn)的，則復(fù)過(guò)程Z(t)的功率譜密度：由傅立葉反變換可得：第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

若復(fù)過(guò)程Zi(t)和Zk(t)聯(lián)合平穩(wěn)，則復(fù)過(guò)程Zi(t)和Zk(t)的互譜密度為：第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.8

功率譜密度的計(jì)算舉例教材P102—P106：■例4.8—例4.10第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4.9

隨機(jī)過(guò)程的高階統(tǒng)計(jì)量簡(jiǎn)介

二階統(tǒng)計(jì)量丟失了隨機(jī)信號(hào)重要的相位信息，而高階統(tǒng)計(jì)量則保持了相位信息，高階統(tǒng)計(jì)量在所謂盲信號(hào)處理（盲系統(tǒng)辯識(shí)、盲信道均衡信號(hào)分離等）有重要的應(yīng)用，高階統(tǒng)計(jì)量還有一些特性使得近年來(lái)人們對(duì)它開(kāi)展了廣泛的研究。第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于零均值實(shí)隨機(jī)變量X1，X2，X3，X4，其相應(yīng)的二階、三階、四階累量分別定義為：第四十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于零均值隨機(jī)過(guò)程X(t)，其相應(yīng)的二階、三階、四階累量分別定義為：第四十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，20