煙臺大學(xué)概率課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計2023/12/51概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二章隨機變量及其分布第一節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)第二節(jié)離散型隨機變量第三節(jié)連續(xù)型隨機變量第四節(jié)隨機變量函數(shù)的分布習題課2023/12/52概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1節(jié)隨機變量及其分布函數(shù)一、隨機變量概念的產(chǎn)生三、隨機變量的分類五、分布函數(shù)的性質(zhì)二、引入隨機變量的意義四、隨機變量的分布函數(shù)2023/12/53概率論與數(shù)理統(tǒng)計六、小結(jié)與作業(yè)一、隨機變量概念的產(chǎn)生

在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念.1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；

四月份哈爾濱的最高溫度；每天進入一號樓的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運動場上不叫運動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.

這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值單值函數(shù).e.X(e)R這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣?。?）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.稱這種定義在樣本空間Ω上的實值單值函數(shù)X=X(e)為隨量機變簡記為r.v.

而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z,w,n等.隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,N等表示

有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達出來.二、引入隨機變量的意義

如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{沒有收到呼叫}{X1}{X=0}

隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機變量及其取值規(guī)律我們將研究兩類隨機變量：

如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.三、隨機變量的分類

這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點.隨機變量連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量學(xué)習時請注意它們各自的特點和描述方法.

解：分析例1一報童賣報，每份0.15元，其成本為0.10元.報館每天給報童1000份報，并規(guī)定他不得把賣不出的報紙退回.設(shè)X為報童每天賣出的報紙份數(shù)，試將報童賠錢這一事件用隨機變量的表達式表示.當0.15X<1000×0.1時，報童賠錢故{報童賠錢}{X666}{報童賠錢}{賣出的報紙錢不夠成本}四、分布函數(shù)的定義

如果將X

看作數(shù)軸上隨機點的坐標，那么分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)

X

是一個r.v，稱為X

的分布函數(shù),記作F

(x)

.(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機變量,x是參變量.

(2)F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.(3)

對任意實數(shù)x1<x2，隨機點落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)請注意:

分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機變量.當x<0時，{X

x}=，故F(x)=0例1設(shè)隨機變量X的分布律為當0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分布函數(shù)F(x).當1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.的分布函數(shù)圖設(shè)離散型r.vX

的分布律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)

是X

取的諸值xk

的概率之和.一般地則其分布函數(shù)五、分布函數(shù)的性質(zhì)(1)

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.(3)F(x)

右連續(xù)，即

(2)試說明F(x)能否是某個r.v

的分布函數(shù).例2

設(shè)有函數(shù)F(x)

解

注意到函數(shù)F(x)在上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)，可見F(x)也不能是r.v

的分布函數(shù).或者

解設(shè)F(x)

為X

的分布函數(shù)，當x<0時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=00a當x>a

時，F(xiàn)(x)=1

例3在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個質(zhì)點，以X

表示這個質(zhì)點的坐標.設(shè)這個質(zhì)點落在[0,a]中意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，試求X

的分布函數(shù).當0xa

時，P(0Xx)=kx

(k為常數(shù))由于P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P