專題02二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（7個知識點6種題型2個中考考點）

專題02二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（7個知識點6種題型2個中考考點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.二次函數(shù)圖象的畫法及性質(zhì)（重點）知識點2.幾種特殊形式的二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)知識點3.二次函數(shù)的圖象及畫法（重點）知識點4.二次函數(shù)的性質(zhì)（重點）知識點5.二次函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ攸c）知識點6.拋物線的平移規(guī)律（重點）知識點7.二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系【方法二】實例探索法題型1.雙圖象問題題型2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用題型3.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系題型4.求二次函數(shù)的最值題型5.二次函數(shù)函數(shù)值的大小比較題型6.利用拋物線的對稱性解題【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.二次函數(shù)圖象的特征考法2.二次函數(shù)圖象的平移【方法四】成果評定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】會用描點畫二次函數(shù)的圖象，會利用一些特殊點畫出二次函數(shù)的草圖。能根據(jù)二次項系數(shù)判斷函數(shù)圖象的開口方向，并能從圖像上認(rèn)識二次函數(shù)的性質(zhì)，知道二次函數(shù)的系數(shù)與圖像形狀及對稱軸的關(guān)系。會用配方法確定二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸方程及求二次函數(shù)的最大值或最小值。會用平移變換解釋二次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的位置關(guān)系?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.二次函數(shù)圖像的畫法及性質(zhì)（重點）二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的性質(zhì)，見下表：函數(shù)圖象開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸函數(shù)變化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而增大；x<0時，y隨x增大而減小.當(dāng)x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而減??；x<0時，y隨x增大而增大.當(dāng)x=0時，y最大=0要點詮釋：

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.【例1】已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點Q（1，2），求a的值，并寫出它的解析式．在平面直角坐標(biāo)系中，畫出它的圖像．【答案】，．圖像如圖所示：【解析】把Q（1，2）代入得，解析式為．【總結(jié)】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)圖像畫法．【變式1】二次函數(shù)的圖像是______，它的對稱軸是______，頂點坐標(biāo)是______，開口方向是______．【答案】拋物線；軸；；向下．【解析】圖像為拋物線，頂點坐標(biāo)為；對稱軸為軸；，開口向上，，開口向下【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式2】拋物線與的形狀相同，則a的值為______．【答案】．【解析】∵拋物線與的形狀相同，∴，得．【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式3】已知二次函數(shù)的圖像開口向下，求m的值．【答案】．【解析】由題意得，得．【總結(jié)】本題考察了二次函數(shù)的概念和性質(zhì)．知識點2.幾種特殊形式的二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)一、二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線的開口方向、頂點、對稱軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：函數(shù)圖象開口方向向上向下頂點坐標(biāo)(0，c)(0，c)對稱軸y軸y軸函數(shù)變化當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小.當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大.最大（?。┲诞?dāng)時，當(dāng)時，二、二次函數(shù)與之間的關(guān)系；（上加下減）.的圖象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│個單位得到的圖象.要點詮釋：拋物線的對稱軸是y軸，頂點坐標(biāo)是(0，c)，與拋物線的形狀相同．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向上（或向下）平移個單位得到的，頂點坐標(biāo)為(0，c)．拋物線y＝ax2(a≠0)的對稱軸、最值與頂點密不可分，其對稱軸即為過頂點且與x軸垂直的一條直線，其頂點橫坐標(biāo)x＝0，拋物線平移不改變拋物線的形狀，即a的值不變，只是位置發(fā)生變化而已．三、函數(shù)與函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.函數(shù)的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．的圖象與性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上x=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值．向下x=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值．要點詮釋：二次函數(shù)的圖象常與直線、三角形、面積問題結(jié)合在一起，借助它的圖象與性質(zhì)．運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想解決問題．【例2】有一個拋物線形的拱形隧道，隧道的最大高度為6m，跨度為8m，把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若要在隧道壁上點P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高4.5m．求燈與點B的距離．【答案與解析】（1）由題意，設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為y=ax2+6（a＜0），

∵點A（4，0）或B（4，0）在拋物線上，

∴0=a?（4）2+6，

16a+6=0，16a=6，

．

故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為.（2）過點P作PQ⊥AB于Q，連接PB，則PQ=4.5m．

，得x=±2．

∴P（2，4.5），Q（2，0），

于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，

從而|PB|=

所以照明燈與點B的距離為7.5m．【總結(jié)升華】本題考查點的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．（1）根據(jù)拋物線在坐標(biāo)系的位置可設(shè)解析式：y=ax2+6，把點A（4，0）代入即可；（2）燈離地面高4.5m，即y=4.5時，求x的值，再根據(jù)P點坐標(biāo)，勾股定理求PB的值.【變式1】一條拋物線經(jīng)過A（2，0）和B（6，0），最高點C的縱坐標(biāo)是1．（1）求這條拋物線的解析式，并用描點法畫出拋物線；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點為D，拋物線與y軸的交點為E，請你在拋物線上另找一點P(除點A、B、C、E外)，先求點C、A、E、P分別到點D的距離，再求這些點分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律．【答案與解析】(1)由已知可得拋物線的對稱軸是．∴最高點C的坐標(biāo)為(4，1)．則解得∴所求拋物線的解析式為．列表：202468108301038描點、連線，如圖所示：（2）取點（2，8）為所要找的點P，如圖所示，運用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，觀察圖象知AD＝2，CD＝1，點E、P、A、C到直線y＝2的距離分別是5、10、2、1．（3）拋物線上任一點到點D的距離等于該點到直線y＝2的距離．【總結(jié)升華】(1)描點畫圖時，應(yīng)先確定拋物線的對稱軸，然后以對稱軸為參照，左右對稱取點．(2)計算兩點之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標(biāo)軸的直角三角形，然后運用勾股定理求得．【變式2】將函數(shù)、與函數(shù)的圖像進行比較，函數(shù)、的圖像有哪些特征？完成下表．拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)【答案】拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)向下直線向下直線向下直線【解析】拋物線（其中、是常數(shù)，且）的對稱軸是直線；頂點坐標(biāo)是．拋物線的開口方向由所取值的符號決定，當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)．知識點3.二次函數(shù)的圖像及畫法（重點）一、二次函數(shù)與之間的相互關(guān)系

從函數(shù)解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是．要點詮釋：1．拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是，可以當(dāng)作公式加以記憶和運用．2．求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．

二、二次函數(shù)的圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)和對稱軸，在直角坐標(biāo)系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標(biāo)軸的交點，當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關(guān)于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來．要點詮釋：當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結(jié)五點，畫出二次函數(shù)的圖象，【例3】某同學(xué)在用描點法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出了下面的表格：x…﹣2﹣1012…y…﹣11﹣21﹣2﹣5…由于粗心，他算錯了其中一個y值，則這個錯誤的數(shù)值是（）11B.2C.1D.5【答案】D.提示：由函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函數(shù)圖象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函數(shù)解析式，得，解得，函數(shù)解析式為y=﹣3x2+1x=2時y=﹣11，故選：D．【變式】一條拋物線經(jīng)過A（2，0）和B（6，0），最高點C的縱坐標(biāo)是1．（1）求這條拋物線的解析式，并用描點法畫出拋物線；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與軸的交點為D，拋物線與y軸的交點為E，請你在拋物線上另找一點P(除點A、B、C、E外)，先求點C、A、E、P分別到點D的距離，再求這些點分別到直線的距離；(3)觀察(2)的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這條拋物線上的點具有何種規(guī)律?請用文字寫出這個規(guī)律．【答案與解析】(1)由已知可得拋物線的對稱軸是．∴最高點C的坐標(biāo)為(4，1)．則解得∴所求拋物線的解析式為．列表：202468108301038描點、連線，如圖所示：（2）取點（2，8）為所要找的點P，如圖所示，運用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，觀察圖象知AD＝2，CD＝1，點E、P、A、C到直線y＝2的距離分別是5、10、2、1．（3）拋物線上任一點到點D的距離等于該點到直線y＝2的距離．【總結(jié)升華】(1)描點畫圖時，應(yīng)先確定拋物線的對稱軸，然后以對稱軸為參照，左右對稱取點．(2)計算兩點之間的距離應(yīng)構(gòu)造兩直角邊分別平行于兩坐標(biāo)軸的直角三角形，然后運用勾股定理求得．知識點4.二次函數(shù)的性質(zhì)（重點）圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當(dāng)時，y有最小值，拋物線有最高點，當(dāng)時，y有最大值，圖象的特征與a、b、c及b24ac的符號之間的關(guān)系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負(fù)半軸相交b24acb24ac=0與x軸有唯一交點b24ac＞0與x軸有兩個交點b24ac＜0與x軸沒有交點【例4】求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)．【答案與解析】解法1（配方法）：．∴頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．解法2（公式法）：∵，，，∴，．∴頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．解法3（代入法）：∵，，，∴．將代入解析式中得，．∴頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．【總結(jié)升華】所給二次函數(shù)關(guān)系是一般式，求此類拋物線的頂點有三種方法：（1）利用配方法將一般式化成頂點式；（2）用頂點公式直接代入求解；（3）利用公式先求頂點的橫坐標(biāo)，然后代入解析式求出縱坐標(biāo)．這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用．【變式】拋物線與y軸交于(0，3)點：(1)求出m的值并畫出這條拋物線；(2)求它與x軸的交點和拋物線頂點的坐標(biāo)；(3)x取什么值時，拋物線在x軸上方？(4)x取什么值時，y的值隨x值的增大而減小？【答案與解析】(1)由拋物線與y軸交于(0，3)可得m＝3．∴拋物線解析式為，如圖所示．(2)由得，．∴拋物線與x軸的交點為(1，0)、(3，0)．∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(1，4)．(3)由圖象可知：當(dāng)1＜x＜3時，拋物線在x軸上方．(4)由圖象可知：當(dāng)x≥1時，y的值隨x值的增大而減小．【總結(jié)升華】研究函數(shù)問題一般都應(yīng)與圖象結(jié)合起來，借助于圖象的直觀性求解更形象與簡潔．(1)將點(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描點法或五點作圖法畫拋物線；(2)令y＝0可求拋物線與x軸的交點，利用配方法或公式法可求拋物線頂點的坐標(biāo)；(3)、(4)均可利用圖象回答，注意形數(shù)結(jié)合的思想，知識點5.二次函數(shù)的最大（?。┲担ㄖ攸c）如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大（或最?。┲?，即當(dāng)時，．要點詮釋：如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時，，若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x＝x2時，；當(dāng)x＝x1時，，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x＝x1時，；當(dāng)x＝x2時，，如果在此范圍內(nèi)，y值有增有減，則需考察x＝x1，x＝x2，時y值的情況．【例5】求二次函數(shù)的最小值.【答案與解析】解法1(配方法)：∵，∴當(dāng)x＝3時，．解法2(公式法)：∵，b＝3，∴當(dāng)時，．解法3(判別式法)：∵，∴．∵x是實數(shù)，∴△＝624(12y)≥0，∴y≥4．∴y有最小值4，此時，即x＝3．【總結(jié)升華】在求二次函數(shù)最值時，可以從配方法、公式法、判別式法三個角度考慮，根據(jù)個人熟練程度靈活去選擇．【變式1】用總長60m的籬笆圍成矩形場地．矩形面積S隨矩形一邊長L的變化而變化．當(dāng)L是多少時，矩形場地的面積S最大？【答案】（0<L<30）．（m）時，場地的面積S最大，為225m2．【變式2】分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)的最大值或最小值．(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3．【答案與解析】∵，∴頂點坐標(biāo)為(1，4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＝1時y有最小值，．∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點，在x＝1兩側(cè)圖象左右對稱，端點處取不到，不存在最大值．(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖所示)，又因為函數(shù)(2≤x≤3)的圖象是拋物線的一部分，且當(dāng)2≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝3時，；當(dāng)x＝2時，．【總結(jié)升華】先求出拋物線的頂點坐標(biāo)，然后看頂點的橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫出圖象，借助于圖象的直觀性求解，如圖所示，2≤x≤3為圖中實線部分，易看出x＝3時，；x＝2時，．知識點6.拋物線的平移規(guī)律（重點）⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．要點詮釋：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）【例6】將拋物線y=x2﹣6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后，求得到的拋物線解析式.【答案與解析】解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣4），把點（3，﹣4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標(biāo)為（4，﹣2），∴平移后得到的拋物線解析式為y=（x﹣4）2﹣2．【總結(jié)升華】由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．【變式】已知是由拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線．(1)求出a、h、k的值；(2)在同一坐標(biāo)系中，畫出與的圖象；(3)觀察的圖象，當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x取何值時，y隨x增大而減小，并求出函數(shù)的最值；(4)觀察的圖象，你能說出對于一切x的值，函數(shù)y的取值范圍嗎?【答案與解析】(1)∵拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到的拋物線是，∴，，．(2)函數(shù)與的圖象如圖所示．(3)觀察的圖象知，當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x增大而減小，當(dāng)x＝1時，函數(shù)y有最大值是2．(4)由圖象知，對于一切x的值，總有函數(shù)值y≤2．【總結(jié)升華】先根據(jù)平移的性質(zhì)求出拋物線平移后的拋物線的解析式，再對比得到a、h、k的值，然后畫出圖象，由圖象回答問題．知識點7.二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系【例7】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個數(shù)有（）【答案】B.提示：∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣1，4），∴二次三項式ax2+bx+c的最大值為4，①正確；∵x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正確；根據(jù)拋物線的對稱性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣2，③錯誤；使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0或x≤﹣2，④錯誤，故選：B．【變式】如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【思路點撥】根據(jù)對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．【答案】D．【解析】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在y軸右側(cè)∴ab異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣1，∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴當(dāng)x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），∴當(dāng)x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【總結(jié)升華】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【方法二】實例探索法題型1.雙圖像問題1.在同一坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象可能是（）A． B． C． D．【總結(jié)升華】先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母a、b的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象相比較看是否一致．【答案】D.【解析】解：A、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限可知：a＜0，b＜0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向上，∴a＞0，A不正確；B、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向下，∴a＜0，B不正確；C、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向上，∴a＞0，C不正確；D、由直線y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限可知：a＞0，b＞0，二次函數(shù)y=ax2﹣b的圖象開口向上，頂點在y軸負(fù)半軸，∴a＞0，b＞0，D正確．故選D．【總結(jié)升華】本題考查了一次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖象逐條分析四個選項中a、b的正負(fù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次函數(shù)的圖象找出其系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)圖象進行比較即可得出結(jié)論．2．如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)，它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)“二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)；一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過一、三象限；小于0，經(jīng)過二、四象限；二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，圖象開口向上；二次項系數(shù)小于0，圖象開口向下．”逐項判斷即可．【詳解】解：A、由拋物線可知，，由直線知，，∴A正確；B、由拋物線可知，，由直線知，，∴B錯誤；C、由拋物線可知，，由直線知，，∴C錯誤；D、由拋物線可知，，由直線知，，∴D錯誤；故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇南京·九年級南京鐘英中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開口大小與軸的交點位置以及對稱軸的位置進行判斷即可．【詳解】解：設(shè)，，由圖像知，，，，，，，，∴，∵函數(shù)的圖像開口大于函數(shù)的圖像開口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函數(shù)的圖像是拋物線，開口向下，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點在軸的正半軸上，A．圖像開口向下，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點在軸的正半軸上，故此選項符合題意；B．圖像開口向上，故此選項不符合題意；C．圖像對稱軸在軸的左側(cè)，故此選項不符合題意；D．圖像開口向上，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意：二次函數(shù)的越大，圖像開口越?。}型2.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用4．（2023·遼寧朝陽·?？既＃┒魏瘮?shù)的部分圖像如圖所示，圖像過點對稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③（為常數(shù)）：④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與軸的交點，即可判斷的大小，從而即可判斷①，根據(jù)對稱軸和經(jīng)過，得到，代入進行求解即可判斷②④，根據(jù)當(dāng)時二次函數(shù)取得最大值，即可判斷③．【詳解】解：拋物線的開口向下，，拋物線的對稱軸為直線，，拋物線交軸正半軸，，，故①錯誤，拋物線的對稱軸為直線，，圖像過點，，，，，故②錯誤，當(dāng)時，函數(shù)由最大值，，（為常數(shù)），故③錯誤，，，故④正確，綜上所述，正確的個數(shù)為1，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解題的關(guān)鍵．題型3.二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系5.（2023·山東濰坊·昌邑市實驗中學(xué)校考三模）如圖，拋物線的對稱軸是直線，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線開口向上，與y軸交與y軸負(fù)半軸，得到，根據(jù)拋物線對稱軸為直線，得到，由此即可判斷A；根據(jù)當(dāng)時，，即可判斷B；根據(jù)當(dāng)時，，即可判斷C、D．【詳解】解：∵拋物線開口向上，與y軸交與y軸負(fù)半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故A結(jié)論正確，符合題意；∵當(dāng)時，，∴，故B結(jié)論錯誤，不符合題意；∵當(dāng)時，，∴，∴，∴，故C、D結(jié)論錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．6.已知拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過點，其對稱軸為直線．有下列結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，4，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)拋物線經(jīng)過點，得出，即可判斷①，根據(jù)代入②即可判斷；根據(jù)對稱性可得拋物線也經(jīng)過點，即可判斷③【詳解】解：∵拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過點，其對稱軸為直線．∴，，則，∴∴，故①正確；∵，故②正確，∵拋物線經(jīng)過點，∴根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線也經(jīng)過點，∴拋物線與直線的交點坐標(biāo)為和，∴一元二次方程的兩根分別為，，故③正確．故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．題型4.求二次函數(shù)的最值7.關(guān)于二次函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，函數(shù)y的最小值（用含a的式子表示），下列結(jié)論：①當(dāng)時，函數(shù)y的最小值；②當(dāng)時，函數(shù)y的最小值是；③時，函數(shù)y的最小值是；④當(dāng)，函數(shù)y的最小值．其中正確的有___（填序號即可）．【答案】①②③【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到該函數(shù)的對稱軸和開口方向，然后根據(jù)，即可得到相應(yīng)的最值，從而可以解答本題．【詳解】解：二次函數(shù)，拋物線開口向上，對稱軸為直線，①當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是，故①正確；②當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是，故②正確；③當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是；故③正確；④當(dāng)時，時，函數(shù)有最小值，函數(shù)的最小值是；故④錯誤；故答案為：①②③．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，求出相應(yīng)的最值．題型5.二次函數(shù)函數(shù)值的大小比較8.如果三點，和在拋物線的圖象上，那，，之間的大小關(guān)系是______．【答案】/【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：拋物線的開口向下，對稱軸是直線，當(dāng)時，隨的增大而減小，關(guān)于稱軸是直線的對稱點是，，．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．題型6.利用拋物線的對稱性解題9．已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求b的值；(2)求拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式．【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入二次函數(shù)解析式即可求出b的值；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得拋物線關(guān)于x軸對稱的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，然后可得答案．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴把點代入得，解得：；（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為，∵拋物線關(guān)于x軸對稱的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴所得拋物線解析式為，即．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.已知拋物線．(1)若，畫出該拋物線圖象，并結(jié)合圖象寫出y隨x的增大而增大時，x的取值范圍．(2)為拋物線上的一點，若P關(guān)于原點的對稱點也落在該拋物線上，求m的值．【答案】(1)畫圖見解析，(2)【分析】（1）利用五點作圖法畫出圖象，然后根據(jù)圖象求解即可；（2）首先求出，然后將和代入求解即可．【詳解】（1）將代入得，，∴列表如下：x01y14541∴如圖所示，將以上5點在坐標(biāo)系中描出，然后用平滑的曲線連接．∴由圖象可得，當(dāng)y隨x的增大而增大時，；（2）∵，點P關(guān)于原點的對稱點為，∴，∵和都在拋物線上，∴，∴得，，∴解得．【點睛】本題主要考查了五點作圖法，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.二次函數(shù)圖像的特征1．（2023?揚州）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減??；④當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．② D．③④【分析】由a的正負(fù)可確定出拋物線的開口方向，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可．【解答】解：∵a＞0時，拋物線開口向上，∴對稱軸為直線x＝＝＞0，當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，∴函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，函數(shù)圖象可能經(jīng)過第一、二、四象限．故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握a決定二次函數(shù)的開口方向，進一步能確定出其最值是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸公式可判斷①；當(dāng)時，，可判斷②；根據(jù)拋物線的增減性，分兩種情況計算可判斷③；利用對稱點的坐標(biāo)得到，可以判斷④．【詳解】解：∵拋物線（a是常數(shù)，，∴，故①正確；當(dāng)時，，∴點在拋物線上，故②正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故③錯誤；根據(jù)對稱點的坐標(biāo)得到，，故④錯誤．故選B．【點睛】本題考查了拋物線的對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，若點在該函數(shù)的圖象上，且，則的值為________．【答案】2【分析】將點代入函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：點在上，∴，，解得：(舍去)故答案為：2．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)圖象上的點的特點，理解題意正確求解是解題關(guān)鍵．4．（2022?鹽城）若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．【分析】由題意可知﹣2＜m＜2，根據(jù)m的范圍即可確定n的范圍．【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，∴二次函數(shù)y＝x2+2x+2的圖象開口向上，頂點為（﹣1，1），對稱軸是直線x＝﹣1，∵P（m，n）到y(tǒng)軸的距離小于2，∴﹣2＜m＜2，而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），當(dāng)m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，當(dāng)m＝﹣1時，n＝1，∴n的取值范圍是1≤n＜10，故答案為：1≤n＜10．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)．5．（2022?徐州）若二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象上有且只有三個點到x軸的距離等于m，則m的值為．【分析】由拋物線解析式可得拋物線對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，﹣4），由圖象上恰好只有三個點到x軸的距離為m可得m＝4．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線開口向上，拋物線對稱軸為直線x＝1，頂點為（1，﹣4），∴頂點到x軸的距離為4，∵函數(shù)圖象有三個點到x軸的距離為m，∴m＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，能夠理解題意是解題的關(guān)鍵．考法2.二次函數(shù)圖像的平移6．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2+3的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的幾何變換，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題的關(guān)鍵．7．（2021?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【分析】直接利用二次函數(shù)的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進而得出答案．【解答】解：將二次函數(shù)y＝x2的圖象向左平移2個單位長度，得到：y＝（x+2）2，再向上平移1個單位長度得到：y＝（x+2）2+1．故選：B．【點評】此題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，正解掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2021?蘇州）已知拋物線y＝x2+kx﹣k2的對稱軸在y軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點，則k的值是（）A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)拋物線平移規(guī)律寫出新拋物線解析式，然后將（0，0）代入，求得k的值．【解答】解：∵拋物線y＝x2+kx﹣k2的對稱軸在y軸右側(cè)，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵拋物線y＝x2+kx﹣k2＝（x+）2﹣．∴將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線的表達式是：y＝（x+﹣3）2﹣+1，∴將（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）2﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．故選：B．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是寫出平移后拋物線解析式．9．（2021?鹽城）已知拋物線y＝a（x﹣1）2+h經(jīng)過點（0，﹣3）和（3，0）．（1）求a、h的值；（2）將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到新的拋物線，直接寫出新的拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達式．【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”寫出新拋物線解析式．【解答】解：（1）將點（0，﹣3）和（3，0）分別代入y＝a（x﹣1）2+h，得．解得．所以a＝1，h＝﹣4．（2）由（1）知，該拋物線解析式為：y＝（x﹣1）2﹣4，將該拋物線向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到新的拋物線解析式為：y＝（x﹣2）2﹣2或y＝x2﹣4x+2．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象與幾何變換，由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．【方法四】成果評定法一、單選題1．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該圖象必過點（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得二次函數(shù)的對稱軸為軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可解答．【詳解】解：，二次函數(shù)的對稱軸為軸，關(guān)于軸對稱的點為，該圖象必過點，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，熟練求得二次函數(shù)的對稱軸是解題的關(guān)鍵．3．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）若點，，在拋物線上，則下列結(jié)論正確的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把點M、N、P的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式求出相應(yīng)的函數(shù)值，即可得解．【詳解】解：時，時，時，∵∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，分別求出各函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．4．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）若二次函數(shù)的x與y的部分對應(yīng)值如下表，則當(dāng)時，y的值為（

）xy353A．5 B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)表格找到函數(shù)值相同的兩個自變量的值，確定出對稱軸，再根據(jù)對稱性進行判斷即可．【詳解】解：由表格可知：和的函數(shù)值相同，∴拋物線的對稱軸為，∴和的函數(shù)值相同，為；故選D．【點睛】本題考查利用拋物線的對稱性求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)確定拋物線的對稱軸．5．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）把拋物線向上平移1個單位，再向左平移1個單位，得到的拋物線是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律即可進行解答．【詳解】解：拋物線向上平移1個單位，再向左平移1個單位，得到的拋物線是，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減，上加下減．6．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）若二次函數(shù)．當(dāng)時，隨的增大而減小，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)表達式可得其對稱軸為及拋物線開口向上，從而得到在對稱軸的左側(cè)隨的增大而減小即可．【詳解】解：二次函數(shù)中，，拋物線開口向上，在對稱軸的左側(cè)隨的增大而減小，拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而減小，．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握當(dāng)拋物線開口向上時，在對稱軸的左側(cè)隨的增大而減小是解題的關(guān)鍵．7．（23·24九年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知拋物線，下列結(jié)論錯誤的是（）A．拋物線開口向上 B．拋物線與x軸沒有交點C．拋物線的頂點坐標(biāo)為 D．當(dāng)時，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、，拋物線開口向上，正確，不符合題意；B、，且開口向上，拋物線與x軸沒有交點，正確，不符合題意；C、拋物線的頂點坐標(biāo)為，正確，不符合題意；D、拋物線的對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而減小，錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線，時，隨的增大而減小，時，隨的增大而增大；時，時，隨的增大而增大，時，隨的增大而減小是解題的關(guān)鍵．8．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖是二次函數(shù)的圖象的一部分，對稱軸是直線，①；②若，是拋物線上的兩點，則；③；④．上述4個判斷中，正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關(guān)系逐項進行判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，對稱軸是直線，與軸交于負(fù)半軸，，，，，，故①正確；拋物線的對稱軸是直線，與時的函數(shù)值相等，，當(dāng)拋物線開口向上時，在對稱軸的右邊，隨的增大而增大，，故②正確；由圖象可知，當(dāng)時，，又，，，故③正確；不能確定拋物線與軸的交點坐標(biāo)，不確定，故④錯誤；正確的有：①②③，故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握知識點，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．9．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象開口向上，若點都在該函數(shù)圖象上，則，三者之間的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合題意即可判斷和的大?。驹斀狻拷猓憾魏瘮?shù)的圖象開口向上，對稱軸是，且若點都在函數(shù)圖象上，則．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標(biāo)原點，則k的值是（

）A．5或 B．5 C． D．【答案】D【分析】由題意知對稱軸為直線，則，解得，由，可得平移后的解析式為：，將代入得，，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：∵，∴對稱軸為直線，由題意得，，解得，∵，∴平移后的解析式為：，將代入得，，解得，，（舍去），故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)圖象的平移等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：二次函數(shù)圖象平移，左加右減，上加下減．二、填空題11．（23·24上·南通·期中）將拋物線向上平移3個單位長度，得到的新拋物線的解析式為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)則，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：新拋物線的解析式為；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握平移規(guī)則：左減右加，上加下減，是解題的關(guān)鍵．12．（23·24上·南通·期中）某航模組制作的火箭升空高度與飛行時間滿足函數(shù)關(guān)系式．若火箭在升空到最高點時打開降落傘，則降落傘將在離地面m處打開．【答案】38【分析】當(dāng)時，有最大值，代入原函數(shù)即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，有最大值，為：，則火箭在升空到最高點時，降落傘將在離地面，故答案為：38．【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值，運用函數(shù)的對稱軸求最值是解題的關(guān)鍵解題的關(guān)鍵．13．（23·24上·南通·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象的對稱軸是．【答案】直線/直線【分析】利用二次函數(shù)的對稱軸是：直線，運用對稱軸公式即可求解．【詳解】解：，，，二次函數(shù)圖象的對稱軸是：直線．故答案為：直線．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的對稱軸，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)對稱軸的公式．14．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第象限．【答案】一、二、三【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象可知，由此根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故答案為：一、二、三．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合判斷，正確根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷出a、b的符號是解題的關(guān)鍵．15．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是．【答案】【分析】先將該函數(shù)的表達式化為頂點式，得出當(dāng)時，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范圍．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)時，y有最小值2，把代入得：，解得：，∵當(dāng)時，有最大值3，最小值2，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性和增減性，以及求二次函數(shù)的最值的方法．16．（23·24上·南通·階段練習(xí)）已知點，點都在關(guān)于x的函數(shù)的圖象上，且，則n的取值范圍是．【答案】/【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸，求出的值，進而得到關(guān)于的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】解：∵，∴對稱軸為：，∵點，點都在拋物線上，且函數(shù)值相同，∴兩個點關(guān)于對稱軸對稱，∴，解得：；∴，∴，∵，對稱軸為，∴拋物線開口向下，拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∵，∴當(dāng)時，有最大值為，當(dāng)時，有最小值為：；∴．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的對稱性求出的值．17．（23·24上·南通·階段練習(xí)）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意得二倍點所在直線為，則聯(lián)立直線解析式與拋物線解析式可得方程有兩個不相等的實數(shù)根；根據(jù)圖示可得和時，拋物線上的點與直線的位置關(guān)系，即可建立不等式求解．【詳解】解：由題意得：二倍點所在直線為令，則；令，則設(shè)，如圖所示：聯(lián)立和則有：∵二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，∴解得：由圖可得：解得：綜上所述：故答案為：【點睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合題．得出二倍點所在直線為，掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．18．（23·24上·南通·期中）若二次函數(shù)的圖象上兩點，滿足．當(dāng)時，該函數(shù)的最大值為，則t的值為．【答案】【分析】根據(jù)點的縱坐標(biāo)相等，得到兩點關(guān)于對稱軸對稱，進而得到對稱軸的取值范圍，以及二次函數(shù)的最值，列出方程進行求解即可．【詳解】解：∵的縱坐標(biāo)相等，∴兩點關(guān)于對稱軸對稱，∵，∴對稱軸為，∵，∴，∵拋物線的開口向上，拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值為：，解得：；故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性確定對稱軸的位置．三、解答題19．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)求出此二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；(2)求出y隨x的增大而減小時，x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將二次函數(shù)的解析式化成頂點式即可求得頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)確定其對稱軸，然后結(jié)合其開口方向確定其增減性，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點坐標(biāo)為．（2）解：∵，∴對稱軸為，又∵∴二次函數(shù)的圖象開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而減?。蕐隨x的增大而減小時，x的取值范圍是．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（23·24九年級上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”，例如：一元二次方程的兩個根是，，則方程：是“鄰根方程”．(1)通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：．(2)已知關(guān)于x的一元二次方程（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值．(3)若關(guān)于x的一元二次方程（a、b是常數(shù)，且）是“鄰根方程”，令，求t的最小值．【答案】(1)不是，理由見解析(2)或(3)6【分析】（1）先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，根據(jù)定義進行判斷即可求解；（2）根據(jù)因式分解法解一元二次方程得到，，根據(jù)定義即可求解；（3）公式法解一元二次方程，根據(jù)定義得出，進而令，根據(jù)配方法得出，繼而即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴或解得，∵，∴不是“鄰根方程”；（2）解：∵，∴，解得，，∵方程(是常數(shù))是“鄰根方程”，∴或，∴或；（3）解：解方程得：，，∵關(guān)于的方程（是常數(shù)，）是“鄰根方程”，∴，∴，等號兩邊平方得：，∴，∴或，∵，∴，∴當(dāng)時，有最小值6．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程的根以及解一元二次方程，配方法的應(yīng)用，掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．21．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)填寫下表，在圖平面直角坐標(biāo)系中描出表中的點并畫出函數(shù)圖象．…………(2)利用圖象寫出當(dāng)時，的取值范圍是___________．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（）根據(jù)列表、描點、連線三步作出函數(shù)圖象即可；（）觀察函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）根據(jù)畫函數(shù)圖像的步驟：列表：…………描點，連線；如圖：（2）根據(jù)圖象可知：當(dāng)時，，故答案為：．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象畫法，通過數(shù)形結(jié)合求解．22．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）陰陽觀念是具有鮮明中國特色的哲學(xué)思想，它幾乎滲透到社會生活、文學(xué)藝術(shù)、醫(yī)學(xué)等許多方面，以至形成“陰陽對偶律”，比如說“陰陽對偶律”導(dǎo)致左右相對的形式在中國裝飾藝術(shù)中地位突出，對偶的神獸或神人往往相對而列，多半會形成左右相對（包含左右對稱）的樣式，對偶在數(shù)學(xué)上也多有滲透，下面我們就研究下多項式中的對偶．對于的多項式，由于，所以取任意一對互為相反數(shù)時，例如當(dāng)時，即或時，的值均為．那么我們稱關(guān)于對偶，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，我們知道二次函數(shù)的對稱軸是直線，從“形”的角度看，多項式的對偶即二次函數(shù)數(shù)圖像的對稱性．定義：對于關(guān)于的多項式，若當(dāng)取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關(guān)于對偶，例如：關(guān)于對偶。運用此定義解決下列問題：(1)多項式關(guān)于_______對稱；(2)當(dāng)或時，關(guān)于的多項式的值相等，求的值；(3)若整式關(guān)于對偶，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）對多項式進行配方，根據(jù)新定義判斷即可；（2）求出當(dāng)或時，多項式的對稱軸，令對稱軸即可求解；（3）對多項式進行配方，根據(jù)新定義判斷即可．【詳解】（1）解：,∴多項式關(guān)于對偶，故答案為：．（2）解：由題意，∴b＝－8，故答案為；．（3）解：原式，∴，∴關(guān)于對偶，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，因式分解的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．23．（23·24九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（2）已知函數(shù)，若對于任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）實數(shù)的取值范圍為；（2）實數(shù)的取值范圍為【分析】（1）根據(jù)可得對稱軸為直線，分三種情況：當(dāng)時，在上隨著的增大而減??；當(dāng)時，當(dāng)時，最?。划?dāng)時，在上隨著的增大而增大，分別計算出的范圍即可得到答案；（2）畫出二次函數(shù)的大致圖象，根據(jù)圖象可得，進行計算即可得到答案．【詳解】解：（1），的對稱軸為直線，當(dāng)時，在上隨著的增大而減小，當(dāng)時，最小，，解得：，，當(dāng)時，當(dāng)時，最小，，解得：，，當(dāng)時，在上隨著的增大而增大，當(dāng)時，最小，，解得：，，綜上所述，當(dāng)時，恒成立，實數(shù)的取值范圍為；（2）作出二次函數(shù)的大致圖象如圖所示：

，對于任意，都有成立，，即，解得：，實數(shù)的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求不等式組的解集，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．24．（23·24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點與某函數(shù)圖象上的一點，若，則稱點Q為點P在該函數(shù)圖象上的“直差點”．(1)已知點，求點P在函數(shù)圖象上“直差點”的坐標(biāo)；(2)若點在函數(shù)的圖象上恰好存在唯一的“直差點”，求m的值；(3)若點在函數(shù)的圖象上有且只有2個“