賈俊平統(tǒng)計學(xué)參數(shù)估計

"二第7章 參數(shù)估計ST/E￡TI

冬第7章參數(shù)估計7,1參數(shù)估計的一般問題7.2

一個總體參數(shù)的區(qū)間估計7.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計7,4樣本量的確定（77

三JK）學(xué)習(xí)目標(biāo)1?估計量與估計值的概念2點估計與區(qū)間估計的區(qū)別

3?評價估計量優(yōu)良性的標(biāo)4準(zhǔn).一個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法5?兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計方法6,樣本量的確定方法ST—T"7.1參數(shù)估計的一般問題整奪瑯

-…f

?—

”

”

?

”估計量與估計值點估計與區(qū)間估計7,1.3評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計學(xué)STATISTICS(M^M)估計量與估計值7-5(77

三JK)"二估計量與估計值(estimator

&

estimated

value)估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例，樣本方差等例如：樣本均值就是總體均值g的一個估計量參數(shù)用。表示，估計量用0表示估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的 具體值如果樣本均值x=80,貝U80就是〃的估計值7-6統(tǒng)計學(xué)STATISTICS點估計與區(qū)間估計n:二j，I

七~(77

三JK)點估計(point

estimate)用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參 數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個 樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點估計的均值可望等于總 體真值，但由于樣本是隨機的，抽出一個具體的 樣本得到的估計值很可能不同于總體真值一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的，這表明一個具體的點估計值無法給出估z計的可靠性的度量區(qū)間估計二j，I

七~即T【￡T"

(77三JK)(interval

estimate)1-在點估計的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減估計誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總 體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如，某班級平均分數(shù)在75?85之間，置信水平是95%置信區(qū)間樣本統(tǒng)計量（點估計）置信下限置信上限—二￡77亦T住區(qū)間估計的圖示(77

三JK)"二置信水平(confidence

level)將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū) 間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱 為置信水平表示為(1-a)%a為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,

95%,

90%相應(yīng)的以為0.01,

0.05,

0.101.2.3.二(77

三JK)置信區(qū)間(confidence

interval)由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間用一個具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個特定的區(qū)間，我們無法知道這個樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū) 間中的一個，但它也可能是少數(shù)幾個不包含參數(shù)真值 的區(qū)間中的一個總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯誤的2￡77亦T住置信區(qū)間（95%的置信區(qū)間）重復(fù)構(gòu)造出卩的20個置信區(qū)間統(tǒng)計學(xué)STATISTICS評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)7-14（言三J：匚）.七二」?土"：無偏性(unbiasedness)無偏性：估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)p（）無偏有偏有效性：對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計量更有效P()的抽樣分布（言三丿:匚）有效性(efficiency).七二的抽樣分布一致性(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)g二(77

三JK)即卩司冬7.2一個總體參數(shù)的區(qū)間估計-"一，4

"7.2.1總體均值的區(qū)間估計722總體比例的區(qū)間估計7,2.3總體方差的區(qū)間估計一個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)符號表示樣本統(tǒng)計量均值比例方差J，I—-即T【￡TS（言三丿壬）統(tǒng)計學(xué)STATISTICS總體均值的區(qū)間估計（正態(tài)總體、W已知，或非正態(tài)總體、大樣本）7-20,心:（77

三JK）"二總體均值的區(qū)間估計

(大樣本)假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(*)已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n>30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z2.3.

總體均值卩在1-a置信水平下的置信區(qū)間為y/n

或五未師)y/n（言三J：司［例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對食品質(zhì)量進行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25

袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為log。試估計該批產(chǎn)品平均重量的I置信區(qū)間，置信水平為95%

25袋食品的重量總體均值的區(qū)間估計（例題分析）112.5101.0103.0102.0

J100.5102,6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3(77

三JK)"二總體均值的區(qū)間估計（例題分析）解：已知X-N己,102）,

"=25,1-a=95%,

za/2^1.96

o根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得："危；o由于1是05正3

態(tài)總體，且方差已知。總體均值日在1?a置信水平下的置信區(qū)間為X±■■■.于==

(1?IL44,1G?9.288)該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g25總體均值的區(qū)間估計（例題分析）【例】一家保險公司收集到由36個投保人組成的隨機樣本，得到每個投保人的年齡（單位：周歲）數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個投保人年齡的數(shù)據(jù)

_23_353927364436—424643一31

：3342534554472428393644403949383448503945484532

|總體均值的區(qū)間估計（例題分析）g二j，I

七~即T【￡T"

(77三JK)投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲=39.5

s

=

7/s—

■

?y/nX

±

"

■

=

39.5

±

1.641SX

-==

3?.5±2.13(37.37,4B.63)解：已知n=36,

1-a=90%,或打1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得總體均值#在1

置信水平下的置信區(qū)間為統(tǒng)計學(xué)STATISTICS(M^M)總體均值的區(qū)間估計（正態(tài)總體、w*奪口、小7-26（77

三JK）"二總體均值的區(qū)間估計（小樣本）.假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差仁2

）未知.小樣本（H

v

30）.使用f分布統(tǒng)計量3.總體均值"在1?a置信水平下的置信區(qū)間為.七二」?土"：t分布（言三J：匚）t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，它通常要比正 態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自 由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正 態(tài)分布總體均值的區(qū)間估計（例題分析）g二j，I

七~即T【￡T"

（77三JK）【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命（單位：h）如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014707-29（77

三JK）"二總體均值的區(qū)間估計（例題分析）解：已知X~N（〃，芋），〃=16,

1?a=95%,

4/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得：x

=

14W

■

=

24.77總體均值日在1?a置信水平下的置信區(qū)間為x

±

t...

—=

1419?Qzt

2.131

lx

—[-y/nJl,=1做）±

0.2該種燈泡=平（均1使<用66壽8,命1的50置03信2）區(qū)間為1476.8h?1503.2h統(tǒng)計學(xué)STATISTICS（■五版）總體比例的區(qū)間估計n:總體比例的區(qū)間估計1.2.總體比例久在1?a置信水平下的置信區(qū)間為3.g二即T【￡T"

（77三JK）假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z（77

三JK）"二總體比例的區(qū)間估計（例題分析）1（KD該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%"4.35%【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例，隨機地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以

95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知〃=100,

p=65%,1-6Z=95%,ZQ/^I?96

P山一=63%±19,■戸■=??%

±

9.35%=（5偵.6飯％.7,3飯％）統(tǒng)計學(xué)STATISTICS（■五版）總體方差的區(qū)間估計n:(77

三JK)"二總體方差的區(qū)間估計1

.估計一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2,假設(shè)總體服從正態(tài)分布3.總體方差犬的點估計量為殆且4.總體方差在1-a置信水平下的置信區(qū)間為(■T)s2 2

V

S

l，2,丄(■)一一妃./2(，-1)3丿r（言三J：匚）.七二」?土"：總體方差的區(qū)間估計（圖示）Z2l-a/2%1

all7

2自由度為止1的/總體方差的區(qū)間估計（例題分析）【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3總體方差的區(qū)間估計（例題分析）g二j，I

七~即T【￡T"

（77三JK）解:已知〃=25,

1?a=95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得

r（2另一

1）.9,2U 2S-l）x92B.2U~~12.傾11

J5,8打，2

g聊擲該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g?13.43g（言三丿壬）個總體參數(shù)的區(qū)間估 計（小結(jié)）即卩司冬7.3兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計,1兩個總體均值之差的區(qū)間估計兩個總體比例之差的區(qū)間估計兩個總體方差比的區(qū)間估計7-40兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計（言三丿壬）總體參數(shù)符號表示均值差比嘔

■方差比I樣本統(tǒng)計量統(tǒng)計學(xué)STATISTICS(MSM)兩個總體均值之差的區(qū)間估計（獨立大樣本）7-42n:—二」（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（大樣本）假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，’2、叱2已知若不是正態(tài)分布，可以用正態(tài)分布來近彳以（四230

和n2>30）兩個樣本是獨立的隨機樣本2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z■（無-予）-3.婦一，（?■）+—二」（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（大樣本）1.’2,叱2已知時，兩個總體均值之差日「％在1?a

置信水平下的置信區(qū)間為3■爲(wèi)）士Z./22

’2、席2未知時，兩個總體均值之差巧-%在1-a置信水平下的置信區(qū)間為（■一元2）土Z./2」丄+生7*兩個樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)，匕?二二>;■J，I—-（言三丿壬）兩個總體均值之差的估計（例題分析）【例】某地區(qū)教育管理部門想估計兩所中學(xué)的學(xué)生高考時的英語平均分數(shù)之差，為此在兩所中學(xué)獨立抽取兩個隨機樣本，有關(guān)數(shù)據(jù)如右表。建立兩語所平中均學(xué)分高數(shù)考之英差95%布置信區(qū)間中學(xué)1中學(xué)2。1=46。1=33\

^=86元2

=78§=5.8S2=7.2—二」(77

三JK)兩個總體均值之差的估計（例題分析）解：兩個總體均值之差在1-。置信水平下的置信區(qū)間為=8±

2.97

=

(5.03,10^97)兩所中學(xué)高考英語平均分數(shù)之差的置信區(qū)間為5.03

分-10.97

分統(tǒng)計學(xué)STATISTICS(MSM)兩個總體均值之差的區(qū)間估計（獨立小樣本）n:—二」（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（小樣本：0-/=<722

）假定條件?兩個總體都服從正態(tài)分布?兩個總體方差未知但相等：’2=此2?兩個獨立的小樣本（^<30和化<30）總體方差的合并估計量2兩個總體均值之差的估計（小樣本：QI2=Q

2

），匕?二—一2.兩個總體均值之差同?％在1

■。置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計（例題分析），匕?二二＞；J，I—一即T【￡T"（77

三JK）【例】為估計兩種方法組裝產(chǎn)品所需時間的差異，分別對兩種不同的組裝方法各隨機安排12名工人，每個工人組裝一件產(chǎn)品所需的時間（單位：min）下如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差相等。試以95%的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間2方7.6

｛去321.7022.231.20.033.380.25026.032.33.431.26.528.3

方法361.030.1

37.29.0

237.6

38.32.1

28.034.28.8

340.0=

28.8

■；

=

1993588=

3.7

±3.5解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得,=32.5

虻=15.9^6

x2合并估計量為，匕?二：》；』，［—一即T【￡T"（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（例題分析）(32.5-28.8)±2.0Wx

.17.677x1

丄+2.(12-1)X

15.996+(12-1)X

19.35器_

.612+12-2兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.14min~7.26min—二」（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（小樣本：cr]2^cr22）t

■.心）V?1假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知且不相等：巧2#席2兩個獨立的小樣本（^<30和〃2<30）使用統(tǒng)計量丿廠二兩個總體均值之差的估計（小樣本：02芳弓2），匕?二：》；』，［—一即T【￡T"（77

三JK），兩個總體均值之差"「處在1?a置信水平下的置信區(qū)間為,兩個總體均值之差的估計（例題分析），匕?二二＞；J，I—一即T【￡T"（77

三JK）【例】沿用前例。假定第一種方法隨機安排12名工人，第二種方法隨機安排8名工人，即〃1=12,

0=8

，所得的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。假定兩種方法組裝產(chǎn)品的時間服從正態(tài)分布，且方差不相等。以95%

的置信水平建立兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間差值的置信區(qū)間兩個方法組裝產(chǎn)品所需的時間方法1方法228.336.027.631.730.137.2^226.529.038.531.037.634.433.81

1

■32.128.020.028.830.030.212—二」(77

三JK)兩個總體均值之差的估計（例題分析）H

富,=1丑18?53(15.936^12)2

(2S.0MV8)2.解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得,=32.5

虻=15殯6—2=27.875

s；=2B.01M4自由度為15.9056

2S.01W8H(325-27.875)±2.1604x+癸尹=4.625±4.433兩種方法組裝產(chǎn)品所需平均時間之差的置信區(qū)間為0.19』min~9.058mni統(tǒng)計學(xué)STATISTICS(MSM)兩個總體均值之差的區(qū)間估計（匹配樣本）n:—二」（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（匹配大樣本）1

.假定條件兩個匹配的大樣本30和〃2

2

30）兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布2.兩個總體均值之差卩庁=”卩2在1-Q置信水平下的置信區(qū)間為對應(yīng)差值的均值對應(yīng)差值的標(biāo)準(zhǔn)差兩個總體均值之差的估計（匹配小樣本），匕?二二＞；J，I—一即T【￡T"（77

三JK）假定條件兩個匹配的小樣本（〃1

V

30和。2

V

30）兩個總體各觀察值的配對差服從正態(tài)分布兩個總體均值之差用=岡-%在1-Q置信水 平下的置信區(qū)間為3

±1/2

(._?號—二」（77

三JK）兩個總體均值之差的估計（例題分析）10名學(xué)生兩套試卷的得分【例】由10名學(xué)生組成一個

隨機樣本，讓

他們分別釆用A和B兩套試卷進行測試，結(jié)果

如下表。試建

立兩種試卷分

數(shù)之差卩質(zhì)卩"-也95%的置匍

庫IM

52

CTALI學(xué)生編號I

1試卷A78試卷B71差值d7I

2634419I

3726111I

4898456--一一一一91741714951-2I1，匕?二—一即T【￡T"

（77三JK）兩種試卷所產(chǎn)生的分數(shù)之差的置信區(qū)間為6.33分~15.67分兩個總體均值之差的估計（例題分析）土2.26K矛±■.（〃-1）半=11=11土4.67解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得nYd,.-J性1。,,=1---------=

6.53,

T6L53兩個總體比例之差區(qū)間的估計即卩司房兩個總體比例之差的區(qū)間估計(Uwm)假定條件-兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似兩個樣本是獨立的2,兩個總體比例之差巧?〃2在1?［置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體比例之差的估計（例題分析），匕?二二＞；J，I—一即T【￡T"（77

三JK）【例】在某個電視節(jié)目的收視率調(diào)查中，農(nóng)村隨機調(diào)查了400人，有32%的人收看了該節(jié)目；城市隨機調(diào)查了該5節(jié)00目人。，試有以459%5的%的人置收信看水了平估計城市與農(nóng)村收視率差別的置信區(qū)間7-63—二」(77

三JK)兩個總體比例之差的估計（例題分析）解：已知〃］=500

,〃2=400,

〃］=45%,「2=32%,l-a

=95%,

za/^1.96沔-萬2置信度為95%的置信區(qū)間為(45%■

32%)±

1.96x

/45%X(1-45%)+32%X(E3WV

50。400=13%±

6.32%

=(6.68%

,1932%)城市與農(nóng)村收視率差值的置信區(qū)間為6?68%~19.32%統(tǒng)計學(xué)STATISTICS兩個總體方差比的區(qū)間估計7-65n:兩個總體方差比的區(qū)間估計7-66（77

三JK）11比較兩個總體的方差比用兩個樣本的方差比來判斷-如果S』S?2接近于1,說明兩個總體方差很接近如果§2/&2遠離1,說明兩個總體方差之間存在差異總體方差比在1?口置信水平下的置信區(qū)間為S.丨,■

V

?/2,

??2

；F\.].2（，1,明）= ----；F.M.Q（言三J：匚）兩個總體方差比的區(qū)間估計（圖示），匕?二二>;■J，I—-（言三丿壬）兩個總體方差比的區(qū)間估計（例題分析）【例】為了研究男女學(xué)生在生活費支出（單位：元）上的差異，在某大學(xué)各隨機抽取25名男學(xué)生和25名女學(xué)生，得到下面的結(jié)果

.男學(xué)生：女學(xué)生：試以90%置信水平估計男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間58—二」（77

三JK）兩個總體方差比的區(qū)間估計（例題分析）解:根據(jù)自由度"1=25-1=24,8=25-1=24,查得扁2（24）=1.98,

F頊2（24）=剛.98=0.505

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/見2置信度為90%的置信區(qū)間為2^288）0.匠v

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O.5SS5男女學(xué)生生活費支出方差比的置信區(qū)間為0.47-1.847-69（言三丿壬）兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計（小結(jié)）均值差比例差方差比獨立大樣本獨立小樣本匹配樣本獨立大樣本F分布t分布b，.％已正態(tài)總體Z分布J

W已知叫J未知Z分布b廣.■■末琮手6‘Z分布Z分布t分布匕分布待估參數(shù)（工：三J:匚）7.4