看完高人講解想混淆傅里葉變換的波形分辨率與頻率分辨率都難

看完高人講解，想混淆傅里葉變換的波形分辨率與頻率分辨率都難！我們知道，快速傅里葉變換（FFT）是信號(hào)處理的重要數(shù)學(xué)工具。一般而言，n點(diǎn)信號(hào)的離散傅里葉變換（DFT）的變換結(jié)果（頻域）也是n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。但在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)實(shí)際信號(hào)作FFT

時(shí)，常常涉及到變換前數(shù)據(jù)需要補(bǔ)零（Zeropadding）的問題。來(lái)源

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科學(xué)網(wǎng)作者

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彭真明一些論壇里，曾看到某些專業(yè)人士從信息論的角度分析認(rèn)為：“Zeropadding沒有增加時(shí)域信號(hào)的有效信息，因此，不會(huì)改變DFT/FFT的分辨率”。那么，補(bǔ)零到底有什么用，什么時(shí)候需要補(bǔ)零呢？對(duì)于一般的工程技術(shù)人員來(lái)說，基本就是調(diào)用現(xiàn)成代碼或模塊進(jìn)行計(jì)算，很少考慮這些問題。其實(shí)，了解和搞清楚這個(gè)問題，對(duì)實(shí)際應(yīng)用還是很有幫助的。接下來(lái)，我們將從以下幾個(gè)方面來(lái)簡(jiǎn)要闡述如何補(bǔ)零以及它對(duì)頻譜分析結(jié)果的影響。一、什么是補(bǔ)零（ZeroPadding）？簡(jiǎn)單來(lái)說，補(bǔ)零(ZeroPadding)就是對(duì)變換前的時(shí)域或空域信號(hào)的尾部添加若干個(gè)0，以增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。如下圖所示，為含有1.00MHz

和1.05MHz

兩個(gè)頻率成分合成的正弦波實(shí)信號(hào)。(a)(b)時(shí)域信號(hào)的補(bǔ)零示意圖圖(a)中信號(hào)長(zhǎng)度為1000個(gè)樣點(diǎn)，采樣頻率為fs=100MHz時(shí)，信號(hào)的實(shí)際時(shí)長(zhǎng)則為10us。在其尾部添加1000個(gè)0，即數(shù)據(jù)增加到了2000個(gè)點(diǎn)（時(shí)長(zhǎng)為20us），則變?yōu)閳D(b)所示的波形。這個(gè)過程就是通常所說的補(bǔ)零（ZeroPadding）。二、為什么要ZeroPadding？最直接的理由就是，如果時(shí)域波形的數(shù)據(jù)樣點(diǎn)為2的整數(shù)冪的話，F(xiàn)FT計(jì)算將是最高效的，硬件（FPGAs）計(jì)算FFT，就是采用了這樣的Padding工作模式。那么，我們所關(guān)心的補(bǔ)零會(huì)不會(huì)影響計(jì)算輸出的頻率分辨率呢。三、關(guān)于FFT頻率分辨率這里涉及到兩種意義下的分辨率問題:一種叫“波形頻率分辨率（Waveformfrequencyresolution”）或叫視覺頻率分辨率（Visualfrequencyresolution）；另一種則叫做“FFT分辨率”。雖然，這個(gè)分類和命名不一定是很專業(yè)的術(shù)語(yǔ)，但卻有助于對(duì)“頻率分辨率”概念的理解。在沒有補(bǔ)零的情況下，這兩個(gè)概念通常容易被混淆，因?yàn)樗鼈兪堑葍r(jià)的。波形頻率分辨率是指可以被分辨的2個(gè)頻率的最小間隔（Spacing）；而FFT

分辨率則是頻譜中的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)（Thenumberofpointsinthespectrum），它是與做FFT的點(diǎn)數(shù)直接相關(guān)的。因此，波形頻率分辨率可定義為：ΔRw=1/T7其中，T是實(shí)際信號(hào)的時(shí)間長(zhǎng)度。同樣，F(xiàn)FT分辨率可以定義為：ΔRf=

fs/Nfft其中，fs為采樣頻率（thesamplingfrequency），Nfft為FFT的點(diǎn)數(shù)。ΔRf代表了FFT頻率軸上的頻率取值的間隔（Spacing）。值得注意的是，可能有很好的FFT分辨率，但卻不一定能夠很好的把2個(gè)頻率成分簡(jiǎn)單的分開。同樣，可能有很高的波形分辨率，但波形的能量峰值會(huì)通過整個(gè)頻譜而分散開（這是因?yàn)镕FT的頻率泄漏現(xiàn)象）。我們知道，信號(hào)的離散傅里葉變換（DFT）或快速傅里葉變換（FFT）是對(duì)波形的任何一邊補(bǔ)零形成的無(wú)限序列進(jìn)行計(jì)算的。這就是，為什么FFT的每個(gè)頻率單元（bin）都具有明顯的sinc

波的形狀。波形頻率分辨率1/T與一個(gè)sinc函數(shù)空值間隔（thespacebetweennulls）是一樣的。四、例析下面以一個(gè)具有2種頻率成分的周期信號(hào)為例，說明ZeroPadding與頻譜分辨率的關(guān)系：x

=sin(2*pi*1000000*t)+sin(2*pi*1050000*t)其中，f1

=1.00MHz，f2

=1.05MHz，頻率間隔為0.05MHz。也就是說，在我們的頻譜分析曲線上能看到2個(gè)頻率點(diǎn)的峰，若2個(gè)正弦波的幅度為1伏(V)，那么我們期望在1MHz

和

1.05MHz的頻率點(diǎn)處的功率為10dBm。分以下幾種情況進(jìn)行分析：1)時(shí)域信號(hào)1000個(gè)點(diǎn)采樣，做相同樣點(diǎn)數(shù)的FFT原始信號(hào)的功率譜（1000點(diǎn)

FFT）圖中，我們并沒有看見期望的兩個(gè)脈沖，因?yàn)閳D中僅出現(xiàn)一個(gè)脈沖點(diǎn)，其幅度約為11.4dBm。顯然，這個(gè)圖并不是我們想要的正確的頻譜圖。原因很簡(jiǎn)單，沒有足夠的分辨率看見兩個(gè)峰值（Peaks）。2)時(shí)域信號(hào)1000個(gè)點(diǎn)采樣，后端補(bǔ)6000個(gè)零，做7000點(diǎn)數(shù)的FFT我們自然想到，采用補(bǔ)零方式增加FFT點(diǎn)數(shù)，以使頻率軸上能增加更多點(diǎn)數(shù)。如采用7000個(gè)點(diǎn)做FFT，即需要在原1000點(diǎn)信號(hào)尾部增加6000個(gè)零值（即60us時(shí)長(zhǎng)），則原始信號(hào)變?yōu)橄聢D(a)所示，其FFT結(jié)果如下圖(b)所示。(a)(b)原始信號(hào)補(bǔ)零及功率譜（7000點(diǎn)

FFT）圖中，我們也并沒有看見期望的結(jié)果。仔細(xì)觀察一下，此圖到底告訴了我們什么呢？即通過增加更多FFT點(diǎn)數(shù)的做法，使得波形頻率分辨率公式中的sinc函數(shù)的定義更清晰?？梢钥闯觯瑂inc

空值（nulls）間隔大約是0.1MHz。由于給出信號(hào)的兩個(gè)正弦波的頻率間隔是按0.05MHz分隔的,

因此，不管我們用多少FFT點(diǎn)數(shù)（Zeropadding），都無(wú)法解決2個(gè)正弦波的問題。再來(lái)看一下頻率分辨率ΔRf告訴了我們什么?盡管，F(xiàn)FT分辨率大約為14kHz（足夠的頻率分辨率），而波形頻率分辨率僅僅為100kHz。兩個(gè)信號(hào)的頻率間隔是50kHz，所以我們受限于波形頻率分辨率ΔRw。3)時(shí)域信號(hào)7000個(gè)點(diǎn)采樣，做7000點(diǎn)數(shù)的FFT為了合理地解決這個(gè)頻譜的問題，需要增加用于FFT的時(shí)域數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度（點(diǎn)數(shù)）。因此，我們直接采集波形的7000點(diǎn)作為輸入信號(hào)，取代補(bǔ)零（ZeroPadding）方式到

70us(7000

點(diǎn))

。時(shí)間域信號(hào)及對(duì)應(yīng)的功率譜分別如圖(a)

、圖(b)所示。(a)(b)按7000點(diǎn)采集的信號(hào)及其功率譜通過時(shí)域數(shù)據(jù)的周期延拓，現(xiàn)在的波形頻率分辨率ΔRw也近似為14KHz。但從頻譜圖中，我們還是看不見2個(gè)正弦波。1MHz

信號(hào)已按正確的10dBm功率值清晰地表征，而1.05MHz

信號(hào)變寬，且未以期望的10dBm

功率分布。這是為什么呢？原因就是1.05MHz處并沒有FFT點(diǎn)的分布，原因是此處的能量被多個(gè)FFT點(diǎn)分散（泄露）了。給出的例子中，采樣頻率是100MHz，F(xiàn)FT點(diǎn)數(shù)為7000。頻譜圖中，點(diǎn)與點(diǎn)之間的間隔是14.28kHz。1MHz頻率剛好為頻率間隔的整數(shù)陪，而1.05MHz

卻不是。距1.05MHz最近的整數(shù)倍頻率為1.043MHz

和1.057MHz,

因此，能量被這2個(gè)FFT單元所分散。4)時(shí)域信號(hào)7000個(gè)點(diǎn)采樣，后端補(bǔ)1000個(gè)零，做8000點(diǎn)數(shù)的FFT為了解決這個(gè)問題，我們可以合理選擇FFT的點(diǎn)數(shù)，以便這兩個(gè)點(diǎn)能在頻率軸上成為獨(dú)立分開的點(diǎn)。由于，我們并不需要更好的波形頻率分辨率，僅采用時(shí)域數(shù)據(jù)的零填充方式來(lái)調(diào)整FFT數(shù)據(jù)點(diǎn)的頻率間隔。給時(shí)域信號(hào)增加1000零值(10us)，使得頻率間隔為12.5kHz，這樣，滿足了1MHzand1.05MHz兩個(gè)頻率都是這個(gè)間隔的整數(shù)倍。此時(shí)，給出的功率譜如圖5所示?？梢钥闯觯瑑蓚€(gè)頻率問題