新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題3　第2講　數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（含解析）

第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用專題三

數(shù)列考情分析1.數(shù)列求和重點(diǎn)考查分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)

合，考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.考點(diǎn)一數(shù)列求和考點(diǎn)二數(shù)列的綜合問題專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引數(shù)列求和考點(diǎn)一1.裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是相鄰項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消.常核心提煉2.錯(cuò)位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列.(2022·德州聯(lián)考)已知數(shù)列

是公比為4的等比數(shù)列，且滿足a2，a4，a7成等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且bn是1和Sn的等差中項(xiàng)，例1考向1分組轉(zhuǎn)化法因?yàn)閿?shù)列

是公比為4的等比數(shù)列，所以所以an＋1－an＝2，所以數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)閍2，a4，a7成等比數(shù)列，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)，解得a1＝6，所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4，因?yàn)镾n為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且bn是1和Sn的等差中項(xiàng)，所以Sn＋1＝2bn，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＋1＝2bn－1，兩式相減得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1，當(dāng)n＝1時(shí)，有S1＋1＝b1＋1＝2b1，所以b1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以bn＝2n－1，所以數(shù)列{cn}的前2n－1項(xiàng)和為a1＋b2＋a3＋b4＋…＋a2n－1＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n－2)(1)求{an}的通項(xiàng)公式；例2考向2裂項(xiàng)相消法選擇①.即nan＝(n＋1)an－1＋1，兩邊各項(xiàng)同除以n(n＋1)得當(dāng)n≥2時(shí)，所以an＝2n＋1，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2×1＋1＝3也成立，故an＝2n＋1.選擇②.∴Sn＝n2＋2n或Sn＝－1，∵an>0，∴Sn＝－1舍去.∴Sn＝n2＋2n.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝12＋2×1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－(n－1)2－2(n－1)＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，符合上式，∴an＝2n＋1.(2)求Tn.由(1)知Sn＝n2＋2n，(2022·菏澤檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋1＝2Sn＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；例3考向3錯(cuò)位相減法因?yàn)閍n＋1＝2Sn＋1，所以an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減可得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an(n≥2)，令n＝1，可得a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，所以an＝3n－1.(2)在an與an＋1之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括an與an＋1在內(nèi)的這n＋2個(gè)數(shù)成等兩式相減可得(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的數(shù)列通項(xiàng)的和或差.(2)裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng).(3)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.規(guī)律方法

(1)(2022·湛江模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；跟蹤演練1設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q，首項(xiàng)是a1.由8a3＝a6，可得q＝2.由a2＋a5＝36，可得a1q(1＋q3)＝36，所以a1＝2，所以an＝2n.所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn(2)(2022·南通調(diào)研)已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a2＝2，an＋3－Sn＋2＝an＋1－Sn.①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0)，由an＋3－Sn＋2＝an＋1－Sn?an＋3－an＋1＝Sn＋2－Sn?an＋3－an＋1＝an＋2＋an＋1?an＋3－an＋2－2an＋1＝0?an＋1(q2－q－2)＝0，因?yàn)閍n＋1≠0，所以q2－q－2＝0，因?yàn)閝>0，所以解得q＝2，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1×2n－1＝2n－1.由①可知an＝2n－1，因?yàn)閚∈N*，所以n的最小值為2.數(shù)列的綜合問題考點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考命題的一個(gè)方向，此類問題突破的關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明.核心提煉

(1)已知A(0,0)，B(5,0)，C(1,3)，連接△ABC的各邊中點(diǎn)得到△A1B1C1，連接△A1B1C1的各邊中點(diǎn)得到△A2B2C2，如此無限繼續(xù)下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，則這一系列三角形的面積之和無限趨近于常數(shù)例4√所以所以這一系列三角形的面積之和為(－∞，17]∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，∴λ≤17，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(－∞，17].求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題要注意兩點(diǎn)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別注意.(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件.易錯(cuò)提醒(1)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)打洞穿墻，大、小鼠第一天都進(jìn)一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，這個(gè)問題體現(xiàn)了古代對(duì)數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為1200尺，則需要幾天時(shí)間才能打穿(結(jié)果取整數(shù))A.12 B.11 C.10 D.9√跟蹤演練2設(shè)大鼠和小鼠每天穿墻厚度分別構(gòu)成數(shù)列{an}，{bn}，由題意知它們都是等比數(shù)列，a1＝b1＝1，設(shè)需要n天能打穿墻，則(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)因此需要11天才能打穿.(2)(2022·濰坊檢測(cè))如圖，在邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC中，圓D1與△ABC相切，圓D2與圓D1相切且與AB，AC相切，…，圓Dn＋1與圓Dn相切且與AB，AC相切，依次得到圓D3，D4，…，Dn.設(shè)圓D1，D2，…，Dn的面積之和為Xn(n∈N*)，則Xn等于√等邊三角形內(nèi)心、重心、外心、垂心四心合一.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.數(shù)列{an}滿足2an＋1＝an＋an＋2，且a4，a4040是函數(shù)f(x)＝x2－8x＋3的兩個(gè)零點(diǎn)，則a2022的值為A.4 B.－4

C.4040 D.－4040√1234567891011121314因?yàn)閍4，a4040是函數(shù)f(x)＝x2－8x＋3的兩個(gè)零點(diǎn)，即a4，a4040是方程x2－8x＋3＝0的兩個(gè)根，所以a4＋a4040＝8.又2an＋1＝an＋an＋2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a4040＝2a2022＝8，所以a2022＝4.√1234567891011121314函數(shù)f(x)＝xa的圖象過點(diǎn)(4,2)，則4a＝2，123456789101112131412345678910111213143.(2022·衡水模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＋2＝－an，且a1＝1，a2＝2，則S2023等于A.0 B.1 C.2 D.3√由an＋2＝－an，得an＋4＝－an＋2＝an，所以數(shù)列{an}是周期為4的數(shù)列，所以由a1＝1，a2＝2得a3＝－1，a4＝－2，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0，所以S2023＝(a1＋a2＋a3＋a4)×505＋a1＋a2＋a3＝2.4.(2022·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬于1640年提出了Fn＝

＋1(n＝0,1,2，…)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出F5＝641×6700417，不是質(zhì)數(shù).現(xiàn)設(shè)an＝log4(Fn－1)(n＝1,2，…)，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若32Sn＝63an，則n等于A.5 B.6 C.7 D.8√12345678910111213141234567891011121314因?yàn)镕n＝

＋1(n＝0,1,2，…)，所以an＝log4(Fn－1)＝

＝2n－1，所以{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，所以32×(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6.5.(2022·西南四省名校大聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋3a2＋…＋3n－1an＝n·3n，若對(duì)任意n∈N*，Sn≥(－1)nnλ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為√12345678910111213141234567891011121314當(dāng)n≥2時(shí)，3n－1an＝n·3n－(n－1)3n－1＝(2n＋1)3n－1，∴an＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3符合上式，∴an＝2n＋1，令g(n)＝－(n＋2)，當(dāng)n＝1時(shí)，g(n)max＝－3，∴λ≥－3，1234567891011121314令h(n)＝n＋2，∴λ≤h(2)＝4，∴－3≤λ≤4.6.“雙減”政策極大緩解了教育的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，數(shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖(1)所示.如圖(2)所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第3個(gè)正方形MNPQ，以此方法一直繼續(xù)下去，就可1234567891011121314以得到陰影部分的圖案.設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a1，后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為a2，a3，…，an，…；如圖(2)陰影部分，設(shè)Rt△AEH的面積為b1，后續(xù)各直角三角形面積依次為b2，b3，…，bn，….下列說法錯(cuò)誤的是√1234567891011121314由題可得a1＝4，…，1234567891011121314123456789101112131412345678910111213141234567891011121314二、多項(xiàng)選擇題√√√由橢圓的方程和定義知a＝5，b＝4，c＝3，∴焦距為6，∴A正確；又∵a－c≤|FPi|≤a＋c，∴2≤|FPi|≤8，∴B正確；令|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成等差數(shù)列{an}，d>0，∴a1＝|FP1|≥2，an≤|FPi|max＝8，1234567891011121314A.a3＝13

B.數(shù)列{3＋an}是等比數(shù)列C.an＝4n－3

D.Sn＝2n＋1－3n1234567891011121314√√由題意可知1234567891011121314因?yàn)锽，F(xiàn)n，C三點(diǎn)共線，即an＋1＝3＋2an，an＋1＋3＝2(an＋3)，所以數(shù)列{an＋3}是以a1＋3＝4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3，1234567891011121314所以a3＝24－3＝13，所以A，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)不正確.又S2＝a1＋a2＝1＋5＝6，而22＋1－3×2＝2，所以D選項(xiàng)不正確.三、填空題9.在數(shù)列{an}中，a1＝3，對(duì)任意m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，則k＝_____.123456789101112131491234567891011121314令m＝1，由am＋n＝am＋an可得，an＋1＝a1＋an，所以an＋1－an＝3，所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，an＝3＋3(n－1)＝3n，整理可得k2＋k－90＝0，解得k＝9或k＝－10(舍去).10.已知數(shù)列{an}滿足an＝n2＋λn，n∈N*，若數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則λ的取值范圍是____________.1234567891011121314(－3，＋∞)∵{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，即λ>－2n－1，∵n≥1，∴(－2n－1)max＝－3，∴λ>－3.12345678910111213148當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n＋1為偶數(shù)，則an＝n2－(n＋1)2＝－2n－1，所以a1＋a3＋a5＋a7＝－(3＋7＋11＋15)＝－36.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n＋1為奇數(shù)，則an＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1，則a2＋a4＋a6＋a8＝5＋9＋13＋17＝44，所以a1＋a2＋a3＋…＋a8＝－36＋44＝8.1234567891011121314123456789101112131412.(2022·聊城質(zhì)檢)某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列.如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1,2；第二行得到數(shù)列1,2,2；第三行得到數(shù)列1,2,2,4,2，…，則第5行從左數(shù)起第6個(gè)數(shù)的值為___.用An表示第n行所有項(xiàng)的乘積，若數(shù)列{Bn}滿足Bn＝log2An，則數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式為_____________.81234567891011121314根據(jù)題意，第5行的數(shù)列依次為1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2，從左數(shù)起第6個(gè)數(shù)的值為8.A1＝21，1234567891011121314故有則Bn＝log2An＝1234567891011121314四、解答題13.(2022·煙臺(tái)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝9，S3＝15.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；設(shè){an}的公差為d，由已知a1＋3d＝9,3a1＋3d＝15.解得a1＝3，d＝2.所以an＝2n＋1.1234567891011121314(2)保持?jǐn)?shù)列{an}中各項(xiàng)先后順序不變，在