信息與通信信號(hào)與線性系統(tǒng)分析

2023/12/62023/12/61第四章傅里葉變換§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)§4.2周期信號(hào)的頻譜分析

§4.3典型周期信號(hào)的頻譜§4.4非周期信號(hào)的頻譜分析§4.5典型非周期信號(hào)的頻譜引言2023/12/622023/12/62023/12/62頻域分析從本章開始由時(shí)域轉(zhuǎn)入變換域分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號(hào)進(jìn)行正交分解，即分解為三角函數(shù)或復(fù)指數(shù)函數(shù)的組合。頻域分析將時(shí)間變量變換成頻率變量，揭示了信號(hào)內(nèi)在的頻率特性以及信號(hào)時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號(hào)的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。2023/12/632023/12/62023/12/63發(fā)展歷史1822年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實(shí)際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。2023/12/642023/12/62023/12/64主要內(nèi)容本章從傅里葉級(jí)數(shù)正交函數(shù)展開問題開始討論，引出傅里葉變換，建立信號(hào)頻譜的概念。通過典型信號(hào)頻譜以及傅里葉變換性質(zhì)的研究，初步掌握傅里葉分析方法的應(yīng)用。對(duì)于周期信號(hào)而言，在進(jìn)行頻譜分析時(shí)，可以利用傅里葉級(jí)數(shù)，也可以利用傅里葉變換，傅里葉級(jí)數(shù)相當(dāng)于傅里葉變換的一種特殊表達(dá)形式。本章最后研究抽樣信號(hào)的傅里葉變換，引入抽樣定理。2023/12/652023/12/62023/12/65傅里葉生平1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中2023/12/662023/12/62023/12/66

傅里葉

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法國(guó)數(shù)學(xué)家。1768年3月21日生于奧塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎綜合工科學(xué)校任講師。1798年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，當(dāng)過埃及學(xué)院的秘書。1801年回法國(guó)，又任伊澤爾地區(qū)的行政長(zhǎng)官。1817年傅里葉被選為科學(xué)院院士，并于1822年成為科學(xué)院的終身秘書。1827年又當(dāng)選為法蘭西學(xué)院院士。

在十八世紀(jì)中期,是否有用信號(hào)都能用復(fù)指數(shù)的線性組合來表示這個(gè)問題曾是激烈爭(zhēng)論的主題。1753年,D.伯努利曾聲稱一根弦的實(shí)際運(yùn)動(dòng)都可以用正弦振蕩模的線性組合來表示,但他沒有繼續(xù)從數(shù)學(xué)上深入探求下去;后來歐拉本人也拋棄了三角級(jí)數(shù)的想法。2023/12/672023/12/62023/12/67

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角級(jí)數(shù)來表示一個(gè)具有間斷點(diǎn)的函數(shù),因此三角級(jí)數(shù)的應(yīng)用非常有限。正是在這種多少有些敵對(duì)和懷疑的處境下,傅里葉約于半個(gè)世紀(jì)后提出了他自己的想法。傅里葉很早就開始并一生堅(jiān)持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國(guó)科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級(jí)數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級(jí)數(shù)的觀點(diǎn)相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強(qiáng)烈反對(duì),傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時(shí)晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。2023/12/682023/12/62023/12/68

書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運(yùn)用三角級(jí)數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉積分，這個(gè)名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實(shí)際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級(jí)數(shù),他列舉大量函數(shù)并運(yùn)用圖形來說明函數(shù)的這種級(jí)數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級(jí)數(shù)法,從而極大地推動(dòng)了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級(jí)數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動(dòng)了函數(shù)論的研究，其影響還擴(kuò)及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”這一見解已成為數(shù)學(xué)史上強(qiáng)調(diào)通過實(shí)際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點(diǎn)。2023/12/692023/12/62023/12/69傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”

——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)2023/12/6102023/12/62023/12/610頻域分析：－－傅里葉變換自變量為j

復(fù)頻域分析：－－拉氏變換自變量為S=

+j

Z域分析：－－Z變換自變量為z

變換域分析：2023/12/6112023/12/62023/12/611§4.1信號(hào)分解為正交函數(shù)正交矢量正交函數(shù)正交函數(shù)集用完備正交集表示信號(hào)2023/12/6122023/12/62023/12/612一、正交矢量矢量：V1

和V2

參加如下運(yùn)算，Ve

是它們的差，如下式：2023/12/6132023/12/62023/12/613

表示和互相接近的程度當(dāng)V1

、V2完全重合，則隨夾角增大，c12減??；當(dāng)，V1

和V2相互垂直2023/12/6142023/12/62023/12/614二維正交集三維正交集2023/12/6152023/12/62023/12/615

二、正交函數(shù)令，則誤差能量最小2023/12/6162023/12/62023/12/616解得2023/12/6172023/12/62023/12/617正交條件若c12=0，則f1(t)不包含f2(t)的分量，則稱正交。正交的條件：2023/12/6182023/12/62023/12/618例：試用sint在區(qū)間（0，2π）來近似f(t)。11tf(t)02023/12/6192023/12/62023/12/619解：所以：11tf(t)02023/12/6202023/12/62023/12/620例：試用正弦sint在（0，2π）區(qū)間內(nèi)來表示余弦cost.所以說明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交。顯然2023/12/6212023/12/62023/12/621三、正交函數(shù)集n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一函數(shù)集，如在區(qū)間內(nèi)滿足正交特性，即則此函數(shù)集稱為正交函數(shù)集2023/12/6222023/12/62023/12/622在（t1,t2）區(qū)間，任意函數(shù)f(t)可由n個(gè)正交的函數(shù)的線性組合近似由最小均方誤差準(zhǔn)則，要求系數(shù)滿足2023/12/6232023/12/62023/12/623在最佳逼近時(shí)的誤差能量歸一化正交函數(shù)集：2023/12/6242023/12/62023/12/624復(fù)變函數(shù)的正交特性兩復(fù)變函數(shù)正交的條件是2023/12/6252023/12/62023/12/625§四用完備正交集表示信號(hào)帕斯瓦爾(Parseval)方程2023/12/6262023/12/62023/12/626另一種定義：在正交集之外再?zèng)]有一有限能量的x(t)滿足以下條件三角函數(shù)集復(fù)指數(shù)函數(shù)集2023/12/6272023/12/62023/12/627其它正交函數(shù)系沃爾什函數(shù)集勒讓德多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式2023/12/6282023/12/62023/12/628§4.2周期信號(hào)的頻譜分析周期信號(hào)可展開成正交函數(shù)線性組合的無窮級(jí)數(shù)：

.三角函數(shù)式的傅立里葉級(jí)數(shù){cosn

1t,sinn

1t}

.復(fù)指數(shù)函數(shù)式的傅里葉級(jí)數(shù)

{ejn

1t}2023/12/6292023/12/62023/12/629一、三角函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù):

直流分量n=1基波分量

n>1諧波分量2023/12/6302023/12/62023/12/630直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)2023/12/6312023/12/62023/12/631狄利赫利條件：

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)；在一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)絕對(duì)可積，即一般周期信號(hào)都滿足這些條件.

2023/12/6322023/12/62023/12/632三角函數(shù)是正交函數(shù)

2023/12/6332023/12/62023/12/633周期信號(hào)的另一種

三角函數(shù)正交集表示2023/12/6342023/12/62023/12/634比較幾種系數(shù)的關(guān)系2023/12/6352023/12/62023/12/635

周期函數(shù)的頻譜：周期信號(hào)的譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率處。直觀看出：各分量的大小，各分量的相移，2023/12/6362023/12/62023/12/636二、周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)由前知由歐拉公式其中引入了負(fù)頻率2023/12/6372023/12/62023/12/637指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2023/12/6382023/12/62023/12/638兩種傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)間的關(guān)系2023/12/6392023/12/62023/12/639周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖00π-π2023/12/6402023/12/62023/12/640周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜圖的特點(diǎn)引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；

Cn

是實(shí)函數(shù)，F(xiàn)n

一般是復(fù)函數(shù)，當(dāng)Fn

是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用Fn的正負(fù)表示0和π相位，幅度譜和相位譜合一；2023/12/6412023/12/62023/12/641三、周期信號(hào)的功率特性P為周期信號(hào)的平均功率符合帕斯瓦爾定理

2023/12/6422023/12/62023/12/642四、對(duì)稱信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)三種對(duì)稱：偶函數(shù)：f(t)=f(-t)奇函數(shù)：f(t)=-f(-t)奇諧函數(shù)：半周期對(duì)稱任意周期函數(shù)有：偶函數(shù)項(xiàng)奇函數(shù)項(xiàng)2023/12/6432023/12/62023/12/643周期偶函數(shù)Fn是實(shí)數(shù)只含直流和余弦分量2023/12/6442023/12/62023/12/644例如:周期三角函數(shù)是偶函數(shù)Ef(t)T1/2-T1/2t2023/12/6452023/12/62023/12/645周期奇函數(shù)只含正弦項(xiàng)Fn為虛數(shù)2023/12/6462023/12/62023/12/646例如周期鋸齒波是奇函數(shù)E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t02023/12/6472023/12/62023/12/647奇諧函數(shù)：沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期；反相；波形不變；半波對(duì)稱2023/12/6482023/12/62023/12/648奇諧函數(shù)的波形：T1/2-T1/20tf(t)2023/12/6492023/12/62023/12/649奇諧函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)奇諧函數(shù)的偶次諧波的系數(shù)為0a20=

,b20=

2023/12/6502023/12/62023/12/650例：利用傅立葉級(jí)數(shù)的對(duì)稱性判斷所含有的頻率分量周期偶函數(shù)，奇諧函數(shù)周期奇函數(shù)，奇諧函數(shù)-T/2T/2-T/2T/2E/2-E/2只含基波和奇次諧波的余弦分量只含基波和奇次諧波的正弦分量2023/12/6512023/12/62023/12/651含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次諧波余弦分量2023/12/6522023/12/62023/12/652五、傅里葉有限級(jí)數(shù)

如果完全逼近，則n→∞;實(shí)際應(yīng)用中，n=N,N是有限整數(shù)。N愈趨近∞，則其均方誤差愈小若用2N＋1項(xiàng)逼近，則2023/12/6532023/12/62023/12/653誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差2023/12/6542023/12/62023/12/654例如:對(duì)稱方波,是偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只有奇次諧波的余弦項(xiàng)。E/2-E/2T1/4-T1/4t2023/12/6552023/12/62023/12/655對(duì)稱方波有限項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)N=1N=3N=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812023/12/6562023/12/62023/12/656項(xiàng)數(shù)N越大，誤差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812023/12/6572023/12/62023/12/657由以上可見：N越大，越接近方波快變信號(hào)，高頻分量，主要影響跳變沿；慢變信號(hào)，低頻分量，主要影響頂部；任一分量的幅度或相位發(fā)生相對(duì)變化時(shí)，波形將會(huì)失真有吉伯斯現(xiàn)象發(fā)生2023/12/62023/12/658§4.3典型周期信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)周期鋸齒脈沖信號(hào)周期三角脈沖信號(hào)周期半波脈沖信號(hào)周期全波脈沖信號(hào)2023/12/6592023/12/62023/12/659一、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜f(t)t0E-TT2023/12/6602023/12/62023/12/660f(t)t0E-TT2023/12/6612023/12/62023/12/661f(t)Fnt00ET-T2023/12/6622023/12/62023/12/662頻譜分析表明離散頻譜，譜線間隔為基波頻率，脈沖周期越大，譜線越密；各分量的大小與脈幅成正比，與脈寬成正比，與周期成反比；各譜線的幅度按包絡(luò)線變化。過零點(diǎn)為：主要能量在第一過零點(diǎn)內(nèi)。主帶寬度為：Fn02023/12/6632023/12/6周期信號(hào)的功率例4.3－1T=1s,t=0.2s,E=12023/12/6642023/12/6周期矩形的頻譜變化規(guī)律：若T不變，在改變?chǔ)拥那闆r若τ不變，在改變T時(shí)的情況T2023/12/6652023/12/62023/12/665對(duì)稱方波是周期矩形的特例TT/4-T/4實(shí)偶函數(shù)周期矩形奇諧函數(shù)對(duì)稱方波奇次余弦2023/12/6662023/12/62023/12/666對(duì)稱方波的頻譜變化規(guī)律TT/4-T/4奇次諧波

02023/12/6672023/12/62023/12/667傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)T

信號(hào)的周期脈寬

基波頻率

1傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié)2023/12/6682023/12/62023/12/668當(dāng)周期信號(hào)的周期T無限大時(shí),就演變成了非周期信號(hào)的單脈沖信號(hào)頻率也變成連續(xù)變量§4.4非周期信號(hào)的頻譜分析2023/12/6692023/12/62023/12/669頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/22023/12/6702023/12/62023/12/6701.從周期信號(hào)FS推導(dǎo)非周期信號(hào)的FT傅立葉變換=F[f(t)]2023/12/6712023/12/62023/12/6712.傅立葉的逆變換傅立葉逆變換=F

-1

[F(w)]2023/12/6722023/12/6F(w)

=F[f(t)]F(jw)

f(t)=F

-1[F(w)]f(t)

F(w)2023/12/6732023/12/62023/12/6733.從物理意義來討論FT

(a)F(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念

(b)F(ω)是一個(gè)連續(xù)譜

(c)F(ω)包含了從零到無限高頻的所有頻率分量

(d)各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系2023/12/6742023/12/62023/12/674傅立葉變換一般為復(fù)數(shù)FT一般為復(fù)函數(shù)若f(t)為實(shí)數(shù)，則幅頻為偶函數(shù),相頻為奇函數(shù)2023/12/6752023/12/62023/12/6754.傅立葉變換存在的充分條件用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅立葉變換2023/12/6762023/12/62023/12/6764.5典型非周期信號(hào)的頻譜單邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)矩形脈沖信號(hào)符號(hào)函數(shù)沖激函數(shù)信號(hào)沖激偶函數(shù)信號(hào)階躍函數(shù)信號(hào)2023/12/6772023/12/62023/12/6771.單邊指數(shù)信號(hào)信號(hào)表達(dá)式幅頻相頻2023/12/6782023/12/62023/12/678

f(t)t0001.單邊指數(shù)信號(hào)2023/12/6792023/12/62023/12/6792.雙邊指數(shù)信號(hào)2023/12/6802023/12/62023/12/6802.雙邊指數(shù)信號(hào)00f(t)t2023/12/6812023/12/62023/12/6813.矩形脈沖信號(hào)2023/12/6822023/12/62023/12/682t0202