新高考數(shù)學二輪復習考點突破課件 第1部分 專題突破 專題1　第2講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程（含解析）

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程專題一

函數(shù)與導數(shù)考情分析1.基本初等函數(shù)的圖象與性質是高考考查的重點，利用函數(shù)性質比較大小、解

不等式是常見題型.2.函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是?？碱}型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函數(shù)模型及應用是近幾年高考的熱點，通?？疾橹笖?shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型.考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質考點二函數(shù)的零點考點三函數(shù)模型及其應用專題強化練內容索引基本初等函數(shù)的圖象與性質考點一指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關于y＝x對稱，它們的圖象和性質分0<a<1，a>1兩種情況，著重關注兩種函數(shù)圖象的異同.核心提煉(1)(2022·杭州模擬)已知lg

a＋lg

b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

的圖象可能是√例1∴g(x)＝

＝logax，∴函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝

互為反函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

的圖象關于直線y＝x對稱，且具有相同的單調性.∵lg

a＋lg

b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，(2)若對正實數(shù)x，y有l(wèi)og2x－log2y<3－x－3－y，則A.ln(y－x＋1)>0

B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0

D.ln|x－y|<0√設函數(shù)f(x)＝log2x－3－x.因為y＝log2x與y＝－3－x在(0，＋∞)上均單調遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，原不等式等價于log2x－3－x<log2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以y>x>0，即y－x>0，所以A正確，B不正確；又|x－y|與1的大小關系不確定，所以C，D不正確.(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關的問題時，首先要看底數(shù)a的取值范圍.(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉化.規(guī)律方法(1)(2022·山東名校大聯(lián)考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，則a，b，c的大小關系為A.b<a<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<b<c跟蹤演練1√由對數(shù)函數(shù)的單調性可知0＝log31<log32<log33＝1，又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性可得c＝e0.2>e0＝1，所以b<a<c.(2)(2022·邯鄲模擬)不等式10x－6x－3x≥1的解集為___________.[1，＋∞)則f(x)在R上單調遞減，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞).函數(shù)的零點考點二判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點存在定理判斷.(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實數(shù)根.(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質找出零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質時，可用求導的方法判斷函數(shù)的單調性.核心提煉

已知f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－log5|x|的零點個數(shù)是A.2 B.4 C.6 D.8√例2考向1函數(shù)零點個數(shù)的判斷當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1，函數(shù)y＝f(x)的周期為2且為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，可作出函數(shù)f(x)的圖象.函數(shù)y＝log5|x|的圖象關于y軸對稱，函數(shù)y＝g(x)的零點，即為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標，當x>5時，y＝log5|x|>1，此時兩函數(shù)圖象無交點，如圖，又兩函數(shù)的圖象在x>0上有4個交點，由對稱性知兩函數(shù)的圖象在x<0上也有4個交點，且它們關于y軸對稱，可得函數(shù)g(x)＝f(x)－log5|x|的零點個數(shù)為8.(2022·河北聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ex和g(x)＝kx2的圖象有三個不同交點，則k的取值范圍是____________.例3考向2求參數(shù)的值或范圍因為函數(shù)f(x)＝ex和g(x)＝kx2的圖象有三個不同交點，所以方程ex＝kx2有三個不同的實數(shù)根，顯然x＝0不是方程的實數(shù)根，所以當x<0時，h′(x)>0，當0<x<2時，h′(x)<0，當x>2時，h′(x)>0，因為當x趨近于－∞時，h(x)趨近于0，當x趨近于＋∞時，h(x)趨近于＋∞，當x趨近于0時，h(x)趨近于＋∞，利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法規(guī)律方法

(1)已知函數(shù)f(x)＝

若關于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________.跟蹤演練2作出函數(shù)f(x)的圖象，又直線y＝a(x＋1)過定點P(－1,0)，如圖，則at2－t＋a＝0有兩個正根，16函數(shù)模型及其應用考點三解函數(shù)應用題的步驟(1)審題：縝密審題，準確理解題意，分清條件和結論，理清數(shù)量關系.(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型.(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論.(4)反饋：將得到的數(shù)學結論還原為實際問題的意義.核心提煉(1)(2022·衡陽模擬)2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預定時間精準點火發(fā)射，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，火箭在發(fā)射時會產生巨大的噪音，已知聲音的聲強級d(x)(單位：dB)與聲強x(單位：W/m2)滿足d(x)＝10lg

。若人交談時的聲強級約為50dB，且火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109，則火箭發(fā)射時的聲強級約為A.130dB B.140dB

C.150dB D.160dB√例4當人交談時的聲強級約為50dB，即人交談時的聲強為10－7W/m2，因為火箭發(fā)射時的聲強與人交談時的聲強的比值約為109，所以火箭發(fā)射時的聲強為10－7×109＝100W/m2，(2)(2022·福州模擬)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經網絡為出發(fā)點的.在神經網絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為L＝

，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為22，且當訓練迭代輪數(shù)為22時，學習率衰減為0.45，則學習率衰減到0.05以下(不含0.05)所需的訓練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771)A.11 B.22 C.227 D.481√則由G·(lg9－lg10)<－22，G·(lg10－lg9)>22，所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為481輪.構建函數(shù)模型解決實際問題的失分點(1)不能選擇相應變量得到函數(shù)模型.(2)構建的函數(shù)模型有誤.(3)忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.易錯提醒

(1)(2022·荊州聯(lián)考)“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學治污.某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進出水量為k立方米.已知污染源以每天r個單位污染河水，某一時段t(單位：天)河水污染質量指數(shù)為m(t)(每立方米河水所含的污染物)滿足m(t)＝

(m0為初始質量指數(shù))，經測算，河道蓄水量是每天進出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是(參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.30)A.1個月

B.3個月

C.半年

D.1年跟蹤演練3√由題可知，m(t)＝

＝0.1m0，∴

＝0.1，∴要使河水的污染水平下降到初始時的10%，結合選項知需要的時間大約是半年.(2)(2022·廣東大聯(lián)考)水果采摘后，如果不進行保鮮處理，其新鮮度會逐漸流失，某水果產地的技術人員采用一種新的保鮮技術后發(fā)現(xiàn)水果在采摘后的時間t(單位：小時)與失去的新鮮度y滿足函數(shù)關系式：y＝

為了保障水果在銷售時的新鮮度不低于85%，從水果采摘到上市銷售的時間間隔不能超過(參考數(shù)據(jù)：log23≈1.6)A.20小時

B.25小時

C.28小時

D.35小時√由題意可知當t<10時，失去的新鮮度小于10%，沒有超過15%，當t≥10時，則有

≤15%，即∴t≤48－20＝28.專題強化練一、單項選擇題√12345678910111213141516設冪函數(shù)f(x)＝xα，則4α＝3×2α，解得α＝log23，所以f(x)＝2.(2022·瀘州模擬)若logab>1，其中a>0且a≠1，b>1,則A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a2√當0<a<1時，y＝logax單調遞減，由b>1，則logab<0，與logab>1矛盾，故a>1，由logab>1得logab>logaa，則b>a，故b>a>1.12345678910111213141516√12345678910111213141516f(x)的定義域為(－5,5)，令f(x)＝0，得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，又x∈(－5,5)，∴x＝0或x＝±π，故f(x)有3個零點.4.朗伯比爾定律(Lambert－Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物質對某一波長光吸收的強弱與吸光物質的濃度及其液層厚度間的關系，其數(shù)學表達式為A＝lg

＝Kbc，其中A為吸光度，T為透光度，K為摩爾吸光系數(shù)，c為吸光物質的濃度，單位為mol/L，b為吸收層厚度，單位為cm.保持K，b不變，當吸光物質的濃度增加為原來的兩倍時，透光度由原來的T變?yōu)椤?234567891011121314151612345678910111213141516保持K，b不變，當吸光物質的濃度增加為原來的兩倍時，透光度變?yōu)門′，所以透光度由原來的T變?yōu)門2.5.(2022·十堰統(tǒng)考)已知a＝ln3，b＝30.5，c＝lg9，則A.a>b>c

B.c>a>b

C.b>a>c

D.b>c>a√12345678910111213141516因為0＝lg1<c＝lg9<lg10＝1，a＝ln3>lne＝1，所以a>c，故b>a>c.6.(2022·聊城模擬)“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍天也是幸?！?，隨著經濟的發(fā)展和社會的進步，人們的環(huán)保意識日益增強.某化工廠產生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會減少20%，當?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達標排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516設該污染物排放前過濾的次數(shù)為n(n∈N*)，所以n≥7.8，又n∈N*，所以nmin＝8，即該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為8次.12345678910111213141516123456789101112131415167.(2022·湖南聯(lián)考)已如函數(shù)f(x)＝2x－

則A.f(1)＋f(－1)<0

B.f(－2)＋f(2)>0C.f(1)－f(－2)<0

D.f(－1)＋f(2)>0√所以f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B錯誤；即(x＋3)(3－x)>0，解得－3<x<3，根據(jù)單調性的結論可知f(x)在(－3,3)上單調遞增，所以當x∈(0,3)時，f(x)>0，當x∈(－3,0)時，f(x)<0，所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C錯誤；f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正確.123456789101112131415168.設x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零點(其中a>1)，則x1＋4x2的取值范圍為A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(5，＋∞) D.[5，＋∞)12345678910111213141516√令f(x)＝0，得x1＝1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項選擇題9.記函數(shù)f(x)＝x＋ln

x的零點為x0，則關于x0的結論正確的為12345678910111213141516√√由于函數(shù)f(x)＝x＋ln

x在(0，＋∞)上單調遞增，12345678910111213141516由于x0是函數(shù)f(x)＝x＋ln

x的零點，則x0＋ln

x0＝0，即ln

x0＝－x0，∴x0＝

－x0＝0，則故A，D選項錯誤，B，C選項正確.10.已知實數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，下列式子可以成立的是A.a＝b＝0

B.a<b<0C.0<a<b

D.0<b<a12345678910111213141516√√√分別畫出y＝2022x，y＝2023x的圖象，如圖，實數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，可得a>b>0，或a<b<0，或a＝b＝0.12345678910111213141516√√11.(2022·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且周期為2，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x2.若函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍可以是12345678910111213141516f(x)是周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x2.則當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2，函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a恰有3個不同的零點，即f(x)的圖象與y＝x＋a的圖象有3個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象，作出直線y＝x＋a的圖象，如圖，當直線過A(1,1)時，a＝0，當直線y＝x＋a與y＝x2相切時，由x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，1234567891011121314151612.(2022·長沙模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝12z，則√12345678910111213141516√√設3x＝4y＝12z＝t，t>1，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，12345678910111213141516所以6z<3x<4y，B正確；12345678910111213141516當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立，又x≠y，故x＋y>4z，D正確；所以xy>4z2，C錯誤.12345678910111213141516三、填空題13.(2022·成都模擬)已知兩個條件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上單調遞減.請寫出一