新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專題突破 專題1　第2講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程（含解析）

第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程專題一

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考情分析1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解

不等式是常見題型.2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷及參數(shù)范圍是?？碱}型，常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函數(shù)模型及應(yīng)用是近幾年高考的熱點(diǎn)，通常考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型.考點(diǎn)一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)三函數(shù)模型及其應(yīng)用專題強(qiáng)化練內(nèi)容索引基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對(duì)稱，它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩種函數(shù)圖象的異同.核心提煉(1)(2022·杭州模擬)已知lg

a＋lg

b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

的圖象可能是√例1∴g(x)＝

＝logax，∴函數(shù)f(x)＝ax與函數(shù)g(x)＝

互為反函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝

的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且具有相同的單調(diào)性.∵lg

a＋lg

b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，(2)若對(duì)正實(shí)數(shù)x，y有l(wèi)og2x－log2y<3－x－3－y，則A.ln(y－x＋1)>0

B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0

D.ln|x－y|<0√設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－3－x.因?yàn)閥＝log2x與y＝－3－x在(0，＋∞)上均單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，原不等式等價(jià)于log2x－3－x<log2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以y>x>0，即y－x>0，所以A正確，B不正確；又|x－y|與1的大小關(guān)系不確定，所以C，D不正確.(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，首先要看底數(shù)a的取值范圍.(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.規(guī)律方法(1)(2022·山東名校大聯(lián)考)若a＝log32，b＝log52，c＝e0.2，則a，b，c的大小關(guān)系為A.b<a<c

B.c<a<bC.b<c<a

D.a<b<c跟蹤演練1√由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知0＝log31<log32<log33＝1，又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得c＝e0.2>e0＝1，所以b<a<c.(2)(2022·邯鄲模擬)不等式10x－6x－3x≥1的解集為___________.[1，＋∞)則f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，即x≥1.故不等式10x－6x－3x≥1的解集為[1，＋∞).函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)二判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷.(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根.(3)幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.核心提煉

已知f(x)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝2x－1，則函數(shù)g(x)＝f(x)－log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.2 B.4 C.6 D.8√例2考向1函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝2x－1，函數(shù)y＝f(x)的周期為2且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可作出函數(shù)f(x)的圖象.函數(shù)y＝log5|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y＝g(x)的零點(diǎn)，即為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)x>5時(shí)，y＝log5|x|>1，此時(shí)兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，如圖，又兩函數(shù)的圖象在x>0上有4個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱性知兩函數(shù)的圖象在x<0上也有4個(gè)交點(diǎn)，且它們關(guān)于y軸對(duì)稱，可得函數(shù)g(x)＝f(x)－log5|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為8.(2022·河北聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ex和g(x)＝kx2的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，則k的取值范圍是____________.例3考向2求參數(shù)的值或范圍因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝ex和g(x)＝kx2的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，所以方程ex＝kx2有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，顯然x＝0不是方程的實(shí)數(shù)根，所以當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)0<x<2時(shí)，h′(x)<0，當(dāng)x>2時(shí)，h′(x)>0，因?yàn)楫?dāng)x趨近于－∞時(shí)，h(x)趨近于0，當(dāng)x趨近于＋∞時(shí)，h(x)趨近于＋∞，當(dāng)x趨近于0時(shí)，h(x)趨近于＋∞，利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法規(guī)律方法

(1)已知函數(shù)f(x)＝

若關(guān)于x的方程f(x)＝a(x＋1)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.跟蹤演練2作出函數(shù)f(x)的圖象，又直線y＝a(x＋1)過定點(diǎn)P(－1,0)，如圖，則at2－t＋a＝0有兩個(gè)正根，16函數(shù)模型及其應(yīng)用考點(diǎn)三解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(1)審題：縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)反饋：將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義.核心提煉(1)(2022·衡陽模擬)2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神舟十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)F遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心按照預(yù)定時(shí)間精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射，順利將翟志剛、王亞平、葉光富3名航天員送入太空，飛行乘組狀態(tài)良好，發(fā)射取得圓滿成功，火箭在發(fā)射時(shí)會(huì)產(chǎn)生巨大的噪音，已知聲音的聲強(qiáng)級(jí)d(x)(單位：dB)與聲強(qiáng)x(單位：W/m2)滿足d(x)＝10lg

。若人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB，且火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為109，則火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為A.130dB B.140dB

C.150dB D.160dB√例4當(dāng)人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)約為50dB，即人交談時(shí)的聲強(qiáng)為10－7W/m2，因?yàn)榛鸺l(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)與人交談時(shí)的聲強(qiáng)的比值約為109，所以火箭發(fā)射時(shí)的聲強(qiáng)為10－7×109＝100W/m2，(2)(2022·福州模擬)深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L(zhǎng)＝

，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，L0表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為22，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為22時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.45，則學(xué)習(xí)率衰減到0.05以下(不含0.05)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.4771)A.11 B.22 C.227 D.481√則由G·(lg9－lg10)<－22，G·(lg10－lg9)>22，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為481輪.構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的失分點(diǎn)(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型.(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤.(3)忽視函數(shù)模型中變量的實(shí)際意義.易錯(cuò)提醒

(1)(2022·荊州聯(lián)考)“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污.某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為v立方米，每天的進(jìn)出水量為k立方米.已知污染源以每天r個(gè)單位污染河水，某一時(shí)段t(單位：天)河水污染質(zhì)量指數(shù)為m(t)(每立方米河水所含的污染物)滿足m(t)＝

(m0為初始質(zhì)量指數(shù))，經(jīng)測(cè)算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的80倍.若從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，需要的時(shí)間大約是(參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.30)A.1個(gè)月

B.3個(gè)月

C.半年

D.1年跟蹤演練3√由題可知，m(t)＝

＝0.1m0，∴

＝0.1，∴要使河水的污染水平下降到初始時(shí)的10%，結(jié)合選項(xiàng)知需要的時(shí)間大約是半年.(2)(2022·廣東大聯(lián)考)水果采摘后，如果不進(jìn)行保鮮處理，其新鮮度會(huì)逐漸流失，某水果產(chǎn)地的技術(shù)人員采用一種新的保鮮技術(shù)后發(fā)現(xiàn)水果在采摘后的時(shí)間t(單位：小時(shí))與失去的新鮮度y滿足函數(shù)關(guān)系式：y＝

為了保障水果在銷售時(shí)的新鮮度不低于85%，從水果采摘到上市銷售的時(shí)間間隔不能超過(參考數(shù)據(jù)：log23≈1.6)A.20小時(shí)

B.25小時(shí)

C.28小時(shí)

D.35小時(shí)√由題意可知當(dāng)t<10時(shí)，失去的新鮮度小于10%，沒有超過15%，當(dāng)t≥10時(shí)，則有

≤15%，即∴t≤48－20＝28.專題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題√12345678910111213141516設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則4α＝3×2α，解得α＝log23，所以f(x)＝2.(2022·瀘州模擬)若logab>1，其中a>0且a≠1，b>1,則A.0<a<1<b

B.1<a<bC.1<b<a

D.1<b<a2√當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝logax單調(diào)遞減，由b>1，則logab<0，與logab>1矛盾，故a>1，由logab>1得logab>logaa，則b>a，故b>a>1.12345678910111213141516√12345678910111213141516f(x)的定義域?yàn)?－5,5)，令f(x)＝0，得sinx＝0，∴x＝kπ，k∈Z，又x∈(－5,5)，∴x＝0或x＝±π，故f(x)有3個(gè)零點(diǎn).4.朗伯比爾定律(Lambert－Beerlaw)是分光光度法的基本定律，是描述物質(zhì)對(duì)某一波長(zhǎng)光吸收的強(qiáng)弱與吸光物質(zhì)的濃度及其液層厚度間的關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為A＝lg

＝Kbc，其中A為吸光度，T為透光度，K為摩爾吸光系數(shù)，c為吸光物質(zhì)的濃度，單位為mol/L，b為吸收層厚度，單位為cm.保持K，b不變，當(dāng)吸光物質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時(shí)，透光度由原來的T變?yōu)椤?234567891011121314151612345678910111213141516保持K，b不變，當(dāng)吸光物質(zhì)的濃度增加為原來的兩倍時(shí)，透光度變?yōu)門′，所以透光度由原來的T變?yōu)門2.5.(2022·十堰統(tǒng)考)已知a＝ln3，b＝30.5，c＝lg9，則A.a>b>c

B.c>a>b

C.b>a>c

D.b>c>a√12345678910111213141516因?yàn)?＝lg1<c＝lg9<lg10＝1，a＝ln3>lne＝1，所以a>c，故b>a>c.6.(2022·聊城模擬)“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！?，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識(shí)日益增強(qiáng).某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為1.2mg/cm3，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過0.2mg/cm3，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)A.6 B.7 C.8 D.9√12345678910111213141516設(shè)該污染物排放前過濾的次數(shù)為n(n∈N*)，所以n≥7.8，又n∈N*，所以nmin＝8，即該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為8次.12345678910111213141516123456789101112131415167.(2022·湖南聯(lián)考)已如函數(shù)f(x)＝2x－

則A.f(1)＋f(－1)<0

B.f(－2)＋f(2)>0C.f(1)－f(－2)<0

D.f(－1)＋f(2)>0√所以f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＋f(－x)＝0，故A，B錯(cuò)誤；即(x＋3)(3－x)>0，解得－3<x<3，根據(jù)單調(diào)性的結(jié)論可知f(x)在(－3,3)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x∈(－3,0)時(shí)，f(x)<0，所以f(1)－f(－2)＝f(1)＋f(2)>0，C錯(cuò)誤；f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)>0，D正確.123456789101112131415168.設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零點(diǎn)(其中a>1)，則x1＋4x2的取值范圍為A.(4，＋∞) B.[4，＋∞)C.(5，＋∞) D.[5，＋∞)12345678910111213141516√令f(x)＝0，得x1＝1234567891011121314151612345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題9.記函數(shù)f(x)＝x＋ln

x的零點(diǎn)為x0，則關(guān)于x0的結(jié)論正確的為12345678910111213141516√√由于函數(shù)f(x)＝x＋ln

x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，12345678910111213141516由于x0是函數(shù)f(x)＝x＋ln

x的零點(diǎn)，則x0＋ln

x0＝0，即ln

x0＝－x0，∴x0＝

－x0＝0，則故A，D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B，C選項(xiàng)正確.10.已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，下列式子可以成立的是A.a＝b＝0

B.a<b<0C.0<a<b

D.0<b<a12345678910111213141516√√√分別畫出y＝2022x，y＝2023x的圖象，如圖，實(shí)數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，可得a>b>0，或a<b<0，或a＝b＝0.12345678910111213141516√√11.(2022·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且周期為2，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x2.若函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可以是12345678910111213141516f(x)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x2.則當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，函數(shù)g(x)＝f(x)－x－a恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即f(x)的圖象與y＝x＋a的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖象，作出直線y＝x＋a的圖象，如圖，當(dāng)直線過A(1,1)時(shí)，a＝0，當(dāng)直線y＝x＋a與y＝x2相切時(shí)，由x2＝x＋a，即x2－x－a＝0，1234567891011121314151612.(2022·長(zhǎng)沙模擬)已知正數(shù)x，y，z滿足3x＝4y＝12z，則√12345678910111213141516√√設(shè)3x＝4y＝12z＝t，t>1，則x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，12345678910111213141516所以6z<3x<4y，B正確；12345678910111213141516當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立，又x≠y，故x＋y>4z，D正確；所以xy>4z2，C錯(cuò)誤.12345678910111213141516三、填空題13.(2022·成都模擬)已知兩個(gè)條件：①a，b∈R，f(a＋b)＝f(a)·f(b)；②f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.請(qǐng)寫出一