13.3 等腰三角形（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊同步配套教學(xué)講義與重難點(diǎn)突破（人教版）13.3等腰三角形1.理解和掌握等腰三角形的概念、性質(zhì)和判定；2.理解和掌握等邊三角形的概念、性質(zhì)和判定；3.理解和掌握含30°銳角的直角三角形的性質(zhì)。一、等腰三角形1.等腰三角形(1)概念：有兩邊相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的兩邊叫腰，另一條邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，腰與底邊的夾角叫作底角。(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具備三角形所有的性質(zhì)，如內(nèi)角和是180°，兩邊之和大于第三邊等。②等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高所在的直線是它的對稱軸?！纠斫馀c拓展】①對于等腰三角形的問題，我們說角或邊時(shí)，一般都要指明是頂角還是底角，是底邊還是腰，如沒有說明則都有可能，要討論解決，這是解決等腰三角形最容易忽視和錯(cuò)誤的地方。②等腰三角形的頂角可以是直角、鈍角或銳角，而底角只能是銳角。2.等腰三角形的性質(zhì)1(1)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成“等邊對等角”)。(2)適用條件：必須在同一個(gè)三角形中。(3)應(yīng)用格式：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。3.等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。習(xí)慣上稱作等腰三角形“三線合一”。4.等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”)。(2)與性質(zhì)的關(guān)系：判定定理與性質(zhì)定理是互逆的。(3)理解：性質(zhì)和判定應(yīng)用的前提都是在同一個(gè)三角形中，并且不經(jīng)過三角形全等的證明，直接由等邊得等角或由等角得等邊，所以應(yīng)用起來更簡單、便捷。【理解與拓展】等腰三角形的判定方法主要有兩種：一是判定定理，二是定義。題型一等邊對等角如圖，在中，，點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)A、B重合）．則的度數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明，再利用三角形的外角可得，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴；故選B1．已知，?若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可求的度數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B．2．如圖，在等腰中，，是邊上的高，點(diǎn)是高上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，，，，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】D【分析】如圖所示，過點(diǎn)E作于H，連接，先證明得到，再證明得到，進(jìn)而推出當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，利用等面積法求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作于H，連接，∵，是邊上的高，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，∵，∴，∴的最小值為，故選D．

題型二三線合一如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長度等于最小值的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，只要證明，即可推出，由，推出、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長度；【詳解】如圖連接PC，∴垂直平分，∴、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長度；

故選B1．如圖，在中，是上一點(diǎn)，，垂直平分，于點(diǎn)，的周長為，，則的長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)等量代換，得出，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】解：周長，，，，，，∴，又∵垂直平分，∴，∴，∴，，．故選：C．2．汝州風(fēng)穴寺三大國寶之一“宋代懸鐘閣”的建筑風(fēng)格堪稱“咫尺之內(nèi)造乾坤”．如圖，“懸鐘閣”的頂端可看作等腰三角形，，D是邊上的一點(diǎn)．下列條件不能說明是的角平分線的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：，，，即是的高線，是等腰三角形，，是的角平分線，故A選項(xiàng)不符合題意；若，不能說明是的角平分線，故B選項(xiàng)符合題意；是等腰三角形，，是的角平分線，故C選項(xiàng)不符合題意；，，是的角平分線，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．題型三等角對等邊證明等腰三角形如圖，已知在中，平分，平分，且，，若，則的周長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線，平行線的性質(zhì)，可得是等腰三角形，將的周長轉(zhuǎn)換為的長，由此即可求解．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴，，∴是等腰三角形，即，∴的周長是，故選：．1．在中，，，D為線段上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到、距離相等，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形【答案】C【分析】根據(jù)等邊對等角求出，再根據(jù)角平分線的判定得到點(diǎn)D在的平分線上，即可求出，即可證明等腰三角形．【詳解】解：∵，，∴，∵點(diǎn)D到、距離相等，∴點(diǎn)D在的平分線上，∴，∴為等腰三角形，故選C．2．的三邊分別是a，b，c，不能判定是等腰三角形的是（

）A． B．C．， D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、因?yàn)椋?，所以，所以是等腰三角形；B、因?yàn)椋栽O(shè)，則有兩邊相等的是等腰三角形；C、因?yàn)?，所以，則，所以是等腰三角形；D、因?yàn)?，，則，那么，，不能判定是等腰三角形．故選：D.題型四等角對等邊證明邊相等如圖，在中，點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，連接、，垂直平分，若，，則點(diǎn)A、O之間的距離為（

）A．4 B．8 C．2 D．6【答案】A【分析】連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，由等角對等邊可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故選：A．1．如圖，在中，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別交邊于點(diǎn)P、Q，再分別以點(diǎn)P、Q為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，連接交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)D，若，，則的周長為（

）A．8 B．11 C．10 D．13【答案】A【分析】根據(jù)作圖得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換得出，進(jìn)而根據(jù)等角對等邊得出，進(jìn)而代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：由作圖方法可知是的角平分線，∴，，，，，，∴的周長為8，故選A．2．如圖，在中，和分別平分和，過作，分別交，于點(diǎn)，，若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即得，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解即可.【詳解】解：∵和分別平分和，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴；故選：A.題型五等角對等角求邊長如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，若的周長為16，則邊的長為（）A．10 B．8 C．6 D．16【答案】A【分析】由題意可知，，有，可知，由三角形的周長可求的值，由可求的值．【詳解】解：是的平分線∵∴∴∴∵的周長為16，∴∵，∴∴故選A．1．如圖，在中，，，點(diǎn)D在上，，將線段沿著方向平移得到線段，點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在，邊上，則的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因?yàn)槠揭疲?，，，再根?jù)，，得，，等角對等邊，即，即可知道的周長．【詳解】解：∵將線段沿著方向平移得到線段，∴，，，∵，，∴，，∴，∴，∴的周長為：，故選：C．2．在中，和的度數(shù)如下，能判定是等腰三角形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角定理對4個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可得到答案．【詳解】解：A、，不能判定是等腰三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不能判定是等腰三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，能判定是等腰三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、，不能判定是等腰三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選C．二、等邊三角形1.等邊三角形(1)概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形。(2)認(rèn)識：它是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)。(3)性質(zhì)：等邊三角形的3個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°?！纠斫馀c拓展】等邊三角形是軸對稱圖形，一共有3條對稱軸。它的三邊相等，3個(gè)內(nèi)角相等，各邊上的高、中線、對應(yīng)角的平分線重合，且長度相等。2.等邊三角形的判定(1)判定定理：①3個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。(2)判定方法：等邊三角形的判定方法有3種，一是定義，另運(yùn)用兩個(gè)定理?！纠斫馀c拓展】關(guān)于等邊三角形的判定定理，有時(shí)候在一個(gè)三角形中只要有兩個(gè)角是60°，也可判定它是等邊三角形。3.含30°角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半?！纠斫馀c拓展】①該性質(zhì)是含有30°角的特殊直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形沒有這個(gè)性質(zhì)，更不能應(yīng)用。②這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍數(shù)關(guān)系。③該性質(zhì)的證明出自等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切。題型六等邊三角形的性質(zhì)如圖，是等邊三角形，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過C作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過C作，∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選B．

1．如圖，，等邊的頂點(diǎn)，分別在，上，若，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是等邊三角形，得到，求出，由平行線的性質(zhì)得到．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，．故選：C．

2．如圖，是等邊的一條中線，若在邊上取一點(diǎn)，使得，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形的中線，∴，∴，∵，∴，∴．故選：D．題型七等邊三角形的判定下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形B．等腰三角形的角平分線，中線，高相互重合C．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等D．三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B.等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；C.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；D.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B．1．若一個(gè)三角形有兩條邊相等，且有一內(nèi)角為60°，那么這個(gè)三角形一定為（）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形【答案】D【分析】根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形求解．【詳解】解：根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為正三角形．故選：D．2．若三條角平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則該三角形一定為（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等邊三角形 D．等腰三角形，但不一定為等邊三角形【答案】C【分析】三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，由此可知三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，則三角形為等邊三角形．【詳解】如圖：

∵內(nèi)的三條角平分線的交點(diǎn)D到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴，∴，又∵，∴，∴三角形為等邊三角形；故選：C

題型八含30°角的直角三角形的性質(zhì)如圖，為等邊三角形，于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在下方作等邊，連接，則線段的最小值為（）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得三角形全等的條件，從而可證，推出，再由垂線段最短可知當(dāng)時(shí)，值最小，利用含角的直角三角形的性質(zhì)定理可求的值．【詳解】解：∵為等邊三角形，，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，值最小，此時(shí)，∴，即線段的最小值為1．故選：C．1．如圖，在中，為直角，，于D，若，則的長度是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】首先求出，可得，然后利用含直角三角形的性質(zhì)求出和即可．【詳解】解：∵為直角，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：B．2．如圖，在中，，，是的角平分線，，垂足為E，，則（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出，即得答案.【詳解】解：∵是的角平分線，，，∴，∵，，∴，∴；故選：C.一、單選題1．已知中，，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵，，，．故選：C．2．如圖，在中，平分，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，計(jì)算即可得出的度數(shù)．【詳解】解：平分，，，，是線段的垂直平分線，，，，故選：B．3．下列命題是真命題的是（）A．相等的角是對頂角B．一個(gè)角的補(bǔ)角是鈍角C．如果，那么D．等腰三角形的對稱軸是頂角平分線、底邊的高線、底邊的中線所在的直線【答案】D【分析】根據(jù)命題，對頂角、補(bǔ)角、等腰三角形的性質(zhì)等知識對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：相等的角不一定是對頂角，故A不符合題意；鈍角的補(bǔ)角是銳角，故B不符合題意；當(dāng)，則，那么，故C不符合題意；等腰三角形的對稱軸是頂角平分線、底邊的高線、底邊的中線所在的直線，故D符合題意．故選：D．4．如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中，工人師傅在焊接立柱時(shí)，只用找到的中點(diǎn)D，這就可以說明豎梁垂直于橫梁了，工人師傅這種操作方法的依據(jù)是（

）A．等邊對等角 B．等角對等 C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，，∴，故工人師傅這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．5．在如圖所示的網(wǎng)格中，在格點(diǎn)上找一點(diǎn)P，使為等腰三角形，則點(diǎn)P有（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】分三種情況討論：以為腰，點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)；以為腰，點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)；以為底．【詳解】解：如圖：如圖，以為腰，點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有5個(gè)；以為腰，點(diǎn)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè)；不存在以為底的等腰，所以合計(jì)8個(gè)．故選：C．6．如圖，在中，，，點(diǎn)在的垂直平分線上，平分，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，進(jìn)而可得，得出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而可得，，得出，，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：在中，，是等腰三角形；，，，點(diǎn)在的垂直平分線上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，綜上所述，等腰三角形有，，，，，共個(gè)，故選：D．7．在中，，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)等角對等邊即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故B正確．故選：B．8．如圖，點(diǎn)在內(nèi)部，平分，，連接若的面積為，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于D，由角平分線的定義得到，由余角的性質(zhì)推出是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得到的面積的面積．【詳解】解：延長交于，平分，，，，，，，的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積的面積的面積，的面積的面積．故選：B．9．如圖，點(diǎn)P是的角平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q是上一點(diǎn)，且，若，則線段的長是（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)推出，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)P是的角平分線上一點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．10．如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，在x軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C共有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【分析】分三種情形，，，，分別畫圖即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），當(dāng)時(shí)，畫的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選：B．二、填空題11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足；為等腰直角三角形且，則符合題意的點(diǎn)共有個(gè)．【答案】4【分析】根據(jù)題意，分三種情況討論：①為腰且；②為腰且；③為底邊且，確定符合條件的點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)，便可得到答案．【詳解】解：如圖①為腰且時(shí)，可得，②為腰且時(shí)，可得，③為底邊且時(shí)，可得，∵∴和不符合題意，其它4個(gè)都符合題意故答案為412．如圖，在等腰中，的平分線與的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合．若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】延長交于點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)，由折疊得，則，由，平分，得垂直平分，則，，所以，由垂直平分，得，則，于是得，求得，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)，點(diǎn)沿折疊后與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，垂直平分，，，，，平分，垂直平分，，，，垂直平分，，，，，，，故答案為：．13．如圖，為等邊三角形，點(diǎn)D是邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．若邊上的高線，則．【答案】2【分析】連接，等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，連接，

則：，∵邊上的高線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．∴，即：，∴；故答案為2．14．如圖，，平分，且，．的長是，若點(diǎn)M、N分別在射線、上，且為等邊三角形，則滿足上述條件的有個(gè)．【答案】1無數(shù)【分析】（1）先在中，證明，再利用角所對直角邊是斜邊的一半即可得答案；（2）先作輔助線，再利用三角形全等證明只要，就是等邊三角形，這樣就得到滿足條件的三角形有無數(shù)個(gè)【詳解】（1）∵，平分∴∴又∵∴故填：1（2）解：如圖在、上截取，作．∵平分，∴，∵，∴，是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴．∴，∵，∴是等邊三角形，∴只要，就是等邊三角形，故這樣的三角形有無數(shù)個(gè)．故答案為：無數(shù)三、解答題15．如圖，已知于點(diǎn)A，于點(diǎn)A，．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得，然后求出，再利用“邊角邊”證明和全等，即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)等腰直角三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴是等腰直角三角形，∴．16．如圖（1），在中，，的平分線相交于O點(diǎn)，過O作．(1)求證：；(2)如圖（2），過A作，其他條件不變，探索，，之間有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，利用等量代換得到，然后根據(jù)等腰三角形的判定得到，同理可得，于是有；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，利用等量代換得到，然后根據(jù)等腰三角形的判定得到，同理可得，于是有．【詳解】（1）解：證明：平分，，，，，，同理可得，；

（2）．理由如下：平分，，，，，，同理可得，．

17．如圖，已知．(1)用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：作的角平分線；作，交的延長線與點(diǎn)E；作，垂足為F．(2)圖中的、相等嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題目要求，進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)，得出，進(jìn)而得出，根據(jù)角平分線的定義得出，則，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)G、H；再分別以點(diǎn)G、H為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)I，連接點(diǎn)，交于點(diǎn)D，即為所求；②以點(diǎn)D為圓心，任意長為半徑畫弧，交于點(diǎn)K、J；再以點(diǎn)B為圓形，同樣的長度為半徑畫弧，交于點(diǎn)L；以點(diǎn)L為圓心，長為半徑，交以點(diǎn)B為圓心畫的弧于點(diǎn)M，連接，交延長線于點(diǎn)E，即為所求；③以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到距離為半徑畫弧，交于O、P兩點(diǎn)；再分別以點(diǎn)O、P為圓心，大于為