基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算法則練習

根本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算法那么練習姓名班級1．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))處切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．60°2．設f(x)＝eq\f(1,\r(3,x2))－eq\f(1,x\r(x))，那么f′(1)等于()A．－eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C．－eq\f(7,6) D.eq\f(7,6)3．假設曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程為()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋44．f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，假設f′(－1)＝4，那么a的值等于()A.eq\f(19,3) B.eq\f(16,3)C.eq\f(10,3) D.eq\f(13,3)5．物體的運動方程是s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(t表示時間，s表示位移)，那么瞬時速度為0的時刻是()A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒6．(2023·新課標全國卷文，4)曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為()A．y＝x－1 B．y＝－x－1C．y＝2x－2 D．y＝－2x－27．假設函數(shù)f(x)＝exsinx，那么此函數(shù)圖象在點(4，f(4))處的切線的傾斜角為()A.eq\f(π,2) B．0C．鈍角 D．銳角8．曲線y＝xsinx在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(π2,2) B．π2C．2π2 D.eq\f(1,2)(2＋π)29．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2023(x)等于()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數(shù)，假設f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，那么f(x)與g(x)滿足()A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)為常數(shù)C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)為常數(shù)11．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于()A．1B．2C．3D．412．假設對任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，那么f(x)＝()A．x4B．x4－2C．4x3－5D．x4＋213．設函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導數(shù)為f′(x)＝2x＋1，那么數(shù)列{eq\f(1,f(n))}(n∈N*)的前n項和是()A.eq\f(n,n＋1)B.eq\f(n＋2,n＋1)C.eq\f(n,n－1)D.eq\f(n＋1,n)14．二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限15．函數(shù)y＝(2＋x3)2的導數(shù)為()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3)2D．2(2＋x316．(2023·江西文，4)假設函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，那么f′(－1)＝()A．－1B．－217．設函數(shù)f(x)＝(1－2x3)10，那么f′(1)＝()A．0B．－118．函數(shù)y＝sin2x－cos2x的導數(shù)是()A．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2xD．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))19．(2023·高二濰坊)曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，那么切點的橫坐標為()A．3B．2C．1D.eq\f(1,2)20．設函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，那么曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為()A．－eq\f(1,5)B．0C.eq\f(1,5)D．521．設f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，那么a＝________，b＝________.22．設f(x)＝x3－3x2－9x＋1，那么不等式f′(x)＜0的解集為________．23．曲線y＝cosx在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))處的切線的斜率為______．24．函數(shù)f(x)＝ax＋bex圖象上在點P(－1,2)處的切線與直線y＝－3x平行，那么函數(shù)f(x)的解析式是____________．25．假設f(x)＝eq\r(x)，φ(x)＝1＋sin2x，那么f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.26．設函數(shù)f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，假設f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，那么φ＝________.27．函數(shù)y＝(1＋2x2)8的導數(shù)為________．28．函數(shù)y＝xeq\r(1＋x2)的導數(shù)為________．三、解答題29．求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))；(2)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)；(3)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).30．求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋eq\r(1＋x2))；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(4)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx)..31．求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosx·sin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2eq\f(x－1,x＋1).32．設f(x)＝eq\f(2sinx,1＋x2)，如果f′(x)＝eq\f(2,(1＋x2)2)·g(x)，求g(x)．33．求以下函數(shù)的導數(shù)：(其中f(x)是可導函數(shù))(1)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))；(2)y＝f(eq\r(x2＋1))．34．兩條曲線y＝sinx、y＝cosx，是否存在這兩條曲線的一個公共點，使在這一點處，兩條曲線的切線互相垂直？并說明理由．17．曲線C1：y＝x2與C2：y＝－(x－2)2.直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程．18．求滿足以下條件的函數(shù)f(x)：(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函數(shù)，x2f′(x)－(2x－1)f(x根本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)運算法那么答案一、選擇題1．曲線y＝eq\f(1,3)x3－2在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))處切線的傾斜角為()A．30° B．45°C．135° D．60°[答案]B[解析]y′|x＝－1＝1，∴傾斜角為45°.2．設f(x)＝eq\f(1,\r(3,x2))－eq\f(1,x\r(x))，那么f′(1)等于()A．－eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C．－eq\f(7,6) D.eq\f(7,6)[答案]B3．假設曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，那么l的方程為()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案]A[解析]∵直線l的斜率為4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1時，y＝x4＝1，故直線l的方程為：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.4．f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，假設f′(－1)＝4，那么a的值等于()A.eq\f(19,3) B.eq\f(16,3)C.eq\f(10,3) D.eq\f(13,3)[答案]B[解析]∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝eq\f(16,3).∴選B.5．物體的運動方程是s＝eq\f(1,4)t4－4t3＋16t2(t表示時間，s表示位移)，那么瞬時速度為0的時刻是()A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒[答案]D[解析]顯然瞬時速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.應選D.6．(2023·新課標全國卷文，4)曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為()A．y＝x－1 B．y＝－x－1C．y＝2x－2 D．y＝－2x－2[答案]A[解析]此題考查了導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，在解題時應首先驗證點是否在曲線上，然后通過求導得出切線的斜率，題目定位于簡單題．由題可知，點(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導可得y′＝3x2－2，所以在點(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(1,0)，根據(jù)直線的點斜式可得過點(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1，應選A.7．假設函數(shù)f(x)＝exsinx，那么此函數(shù)圖象在點(4，f(4))處的切線的傾斜角為()A.eq\f(π,2) B．0C．鈍角 D．銳角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝eq\r(2)e4sin(4＋eq\f(π,4))<0，故傾斜角為鈍角，選C.8．曲線y＝xsinx在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線與x軸、直線x＝π所圍成的三角形的面積為()A.eq\f(π2,2) B．π2C．2π2 D.eq\f(1,2)(2＋π)2[答案]A[解析]曲線y＝xsinx在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))處的切線方程為y＝－x，所圍成的三角形的面積為eq\f(π2,2).9．設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2023(x)等于()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx[答案]D[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，∴4為最小正周期，∴f2023(x)＝f3(x)＝－cosx.應選D.10．f(x)與g(x)是定義在R上的兩個可導函數(shù)，假設f(x)、g(x)滿足f′(x)＝g′(x)，那么f(x)與g(x)滿足()A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)為常數(shù)C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)為常數(shù)[答案]B[解析]令F(x)＝f(x)－g(x)，那么F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)為常數(shù)．11．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.12．假設對任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，那么f(x)＝()A．x4B．x4－2C．4x3－5D．x4＋2[答案]B[解析]∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.13．設函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導數(shù)為f′(x)＝2x＋1，那么數(shù)列{eq\f(1,f(n))}(n∈N*)的前n項和是()A.eq\f(n,n＋1)B.eq\f(n＋2,n＋1)C.eq\f(n,n－1)D.eq\f(n＋1,n)[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的導數(shù)為f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴數(shù)列{eq\f(1,f(n))}(n∈N*)的前n項和為：Sn＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1)，應選A.14．二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象的頂點在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[答案]C[解析]由題意可設f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，故2a>0，b>0，那么f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2－eq\f(b2,4a)，頂點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))在第三象限，應選C.15．函數(shù)y＝(2＋x3)2的導數(shù)為()A．6x5＋12x2B．4＋2x3C．2(2＋x3)2D．2(2＋x3)·3x[答案]A[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.16．(2023·江西文，4)假設函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，那么f′(－1)＝()A．－1B．－2C．2D．0[答案]B[解析]此題考查函數(shù)知識，求導運算及整體代換的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f要善于觀察，應選B.17．設函數(shù)f(x)＝(1－2x3)10，那么f′(1)＝()A．0B．－1C．－60D．60[答案]D[解析]∵f′(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)′＝10(1－2x3)9·(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，∴f′(1)＝60.18．函數(shù)y＝sin2x－cos2x的導數(shù)是()A．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2xD．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))[答案]A[解析]y′＝(sin2x－cos2x)′＝(sin2x)′－(cos2x)′＝2cos2x＋2sin2x＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))).19．(2023·高二濰坊檢測)曲線y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一條切線的斜率為eq\f(1,2)，那么切點的橫坐標為()A．3B．2C．1D.eq\f(1,2)[答案]A[解析]由f′(x)＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)＝eq\f(1,2)得x＝3.20．設函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導偶函數(shù)，那么曲線y＝f(x)在x＝5處的切線的斜率為()A．－eq\f(1,5)B．0C.eq\f(1,5)D．5[答案]B[解析]由題設可知f(x＋5)＝f(x)∴f′(x＋5)＝f′(x)，∴f′(5)＝f′(0)又f(－x)＝f(x)，∴f′(－x)(－1)＝f′(x)即f′(－x)＝－f′(x)，∴f′(0)＝0故f′(5)＝f′(0)＝0.故應選B.二、填空題21．設f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,2)，那么a＝________，b＝________.[答案]0－1[解析]f′(x)＝2ax－bcosx，由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－bcos0＝1,\f(2π,3)a－bcos\f(π,3)＝\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1,a＝0)).22．設f(x)＝x3－3x2－9x＋1，那么不等式f′(x)＜0的解集為________．[答案](－1,3)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.23．曲線y＝cosx在點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(1,2)))處的切線的斜率為______．[答案]－eq\f(\r(3),2)[解析]∵y′＝(cosx)′＝－sinx，∴切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝eq\f(π,3)＝－sineq\f(π,3)＝－eq\f(\r(3),2).24．函數(shù)f(x)＝ax＋bex圖象上在點P(－1,2)處的切線與直線y＝－3x平行，那么函數(shù)f(x)的解析式是____________．[答案]f(x)＝－eq\f(5,2)x－eq\f(1,2)ex＋1[解析]由題意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，∴a＋be－1＝－3，又f(－1)＝2，∴－a＋be－1＝2，解之得a＝－eq\f(5,2)，b＝－eq\f(1,2)e，故f(x)＝－eq\f(5,2)x－eq\f(1,2)ex＋1.25．假設f(x)＝eq\r(x)，φ(x)＝1＋sin2x，那么f[φ(x)]＝_______，φ[f(x)]＝________.[答案]eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))，1＋sin2eq\r(x)[解析]f[φ(x)]＝eq\r(1＋sin2x)＝eq\r((sinx＋cosx)2)＝|sinx＋cosx|＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))))).φ[f(x)]＝1＋sin2eq\r(x).26．設函數(shù)f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0＜φ＜π)，假設f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)，那么φ＝________.[答案]eq\f(π,6)[解析]f′(x)＝－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)－eq\r(3)sin(eq\r(3)x＋φ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋φ＋\f(5π,6))).假設f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，那么f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ＋\f(5π,6)))，∴φ＋eq\f(5π,6)＝kπ(k∈Z)．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq\f(π,6).27．函數(shù)y＝(1＋2x2)8的導數(shù)為________．[答案]32x(1＋2x2)7[解析]令u＝1＋2x2，那么y＝u8，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.28．函數(shù)y＝xeq\r(1＋x2)的導數(shù)為________．[答案]eq\f((1＋2x2)\r(1＋x2),1＋x2)[解析]y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝x′eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f((1＋2x2)\r(1＋x2),1＋x2).三、解答題29．求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝x(x2＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,x3))；(2)y＝(eq\r(x)＋1)(eq\f(1,\r(x))－1)；(3)y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)；(4)y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x)).[解析](1)∵y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))＝x3＋1＋eq\f(1,x2)，∴y′＝3x2－eq\f(2,x3)；(3)∵y＝sin4eq\f(x,4)＋cos4eq\f(x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(x,4)＋cos2\f(x,4)))2－2sin2eq\f(x,4)cos2eq\f(x,4)＝1－eq\f(1,2)sin2eq\f(x,2)＝1－eq\f(1,2)·eq\f(1－cosx,2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)cosx，∴y′＝－eq\f(1,4)sinx；(4)∵y＝eq\f(1＋\r(x),1－\r(x))＋eq\f(1－\r(x),1＋\r(x))＝eq\f((1＋\r(x))2,1－x)＋eq\f((1－\r(x))2,1－x)＝eq\f(2＋2x,1－x)＝eq\f(4,1－x)－2，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1－x)－2))′＝eq\f(－4(1－x)′,(1－x)2)＝eq\f(4,(1－x)2).30．求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋eq\r(1＋x2))；(3)y＝eq\f(ex＋1,ex－1)；(4)y＝eq\f(x＋cosx,x＋sinx).[解析](1)y′＝(x)′sin2x＋x(sin2x)′＝sin2x＋x·2sinx·(sinx)′＝sin2x＋xsin2x.(2)y′＝eq\f(1,x＋\r(1＋x2))·(x＋eq\r(1＋x2))′＝eq\f(1,x＋\r(1＋x2))(1＋eq\f(x,\r(1＋x2)))＝eq\f(1,\r(1＋x2)).(3)y′＝eq\f((ex＋1)′(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)′,(ex－1)2)＝eq\f(－2ex,(ex－1)2).(4)y′＝eq\f((x＋cosx)′(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)′,(x＋sinx)2)＝eq\f((1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx),(x＋sinx)2)＝eq\f(－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1,(x＋sinx)2).31．求以下函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosx·sin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2eq\f(x－1,x＋1).[解析](1)y′＝[cos2(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)′＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y′＝(cosx·sin3x)′＝(cosx)′sin3x＋cosx(sin3x)′＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y′＝loga(x2＋x－1)＋x·eq\f(1,x2＋x－1)logae(x2＋x－1)′＝loga(x2＋x－1)＋eq\f(2x2＋x,x2＋x－1)logae.(4)y′＝eq\f(x＋1,x－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)))′log2e＝eq\f(x＋1,x－1)log2eeq\f(x＋1－x＋1,(x＋1)2)＝eq\f(2log2e,x2－1).32．設f(x)＝eq\f(2sinx,1＋x2)，如果f′(x)＝eq\f(2,(1＋x2)2)·g(x)，求g(x)．[解析]∵f′(x)＝eq\f(2cosx(1＋x2)－2sinx·2x,(1＋x2)2)＝eq\f(2,(1＋x2)2)[(1＋x2)cosx－2x·sinx]，又f′(x)＝eq\f(2,(1＋x2)2)·g(x)．∴g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.33．求以下函數(shù)的導數(shù)：(其中f(x)是可導函數(shù))(1)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))；(2)y＝f(eq\r(x2＋1))．[解析](1)解法1：設y＝f(u)，u＝eq\f(1,x)，那么y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝f′(u)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))＝－eq\f(1,x2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x))).解法2：y′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))′＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\