2023-2024學(xué)年鄭州市重點中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

2023-2024學(xué)年鄭州市重點中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若，，則（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)是定義域為奇函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為A. B.C. D.3．若，則（）A. B.aC.2a D.4a4．已知函數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5．函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A.2個 B.3個C.4個 D.5個6．已知O是所在平面內(nèi)的一定點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的（）A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心7．直三棱柱中,若,則異面直線與所成角的余弦值為A.0 B.C. D.8．已知函數(shù)是定義在在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）個A.2 B.3C.6 D.79．已知直線與直線平行，則的值為A.1 B.-1C.0 D.-1或110．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．已知，則________.12．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面的對稱點是B，點和點的中點是E，則___________.13．已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是____14．一個底面積為1的正四棱柱的八個頂點都在同一球面上，若這個正四棱柱的高為，則該球的表面積為__________15．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t(單位：h)間的關(guān)系為，其中，是正的常數(shù).如果在前5h消除了10%的污染物，那么10h后還剩百分之幾的污染物________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．函數(shù)y＝cosx＋sinx的最小正周期、最大值、最小值.17．在①；②.請在上述兩個條件中任選一個，補充在下面題目中，然后解答補充完整的問題.在中，角所對的邊分別為，__________.（1）求角；（2）求的取值范圍.18．對于四個正數(shù)，如果，那么稱是的“下位序?qū)Α保?）對于，試求的“下位序?qū)Α?；?）設(shè)均為正數(shù)，且是的“下位序?qū)Α保嚺袛嘀g的大小關(guān)系.19．設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù).（1）求的值（2）若對于上的每一個的值，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，E為AD的中點，過A，D，N的平面交PC于點M.求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.21．已知函數(shù)（1）若，求實數(shù)a值；（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、C【解析】由題可得，從而可求出，即得.【詳解】∵所以，又因為，，所以，即，所以，又因為，所以，故選：C2、A【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得在為增函數(shù)且，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得在上為增函數(shù)，又由，則有，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，，則在為增函數(shù)且，又由是定義在上的奇函數(shù)，則在上也為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，由，則有，解得：，即不等式的解集為；故選：A【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性結(jié)合，解抽象函數(shù)不等式，有一定難度.3、A【解析】利用對數(shù)的運算可求解.【詳解】，故選：A4、C【解析】利用分段函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】在上單調(diào)遞增，則解得故選：C【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，端點值的取舍是本題的易錯5、D【解析】函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數(shù)?函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點個數(shù)．畫出函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象（如上圖），其中=的圖像可以看出來，當(dāng)x增加個單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼囊话耄赐乙苽€單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼囊话?；依次類推；根?jù)圖象可得函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log4x的圖象交點為5個∴函數(shù)h（x）=f（x）﹣log4x的零點個數(shù)為5個．故選D6、A【解析】表示的是方向上的單位向量，畫圖象，根據(jù)圖象可知點在的角平分線上，故動點必過三角形的內(nèi)心.【詳解】如圖，設(shè)，，已知均為單位向量，故四邊形為菱形，所以平分，由得，又與有公共點，故三點共線，所以點在的角平分線上，故動點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心.故選：A.7、A【解析】連接，在正方形中，，又直三棱柱中，，即，所以面.所以，所以面，面，所以，即異面直線與所成角為90°，所以余弦值為0.故選A.8、D【解析】作出函數(shù)，和圖象，可知當(dāng)時，的零點個數(shù)為3個；再根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可知當(dāng)時，也有3個零點，再根據(jù)，由此可計算出函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，和圖象，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，的零點個數(shù)為3個；又因為函數(shù)和均是定義在在上的奇函數(shù)，所以是定義在在上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性，可知當(dāng)時，的零點個數(shù)也為3個，又，所以也是零點；綜上，函數(shù)的零點個數(shù)一共有7個.故選:D.9、A【解析】由于直線l1：ax＋y－1＝0與直線l2：x＋ay＋＝0平行所以，即－1或1，經(jīng)檢驗成立.故選A.10、D【解析】該幾何體為半圓柱，底面為半徑為1的半圓，高為2，因此表面積為,選D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】將未知角化為已知角，結(jié)合三角恒等變換公式化簡即可.【詳解】解：因為，所以.故答案為：.【點睛】三角公式求值中變角的解題思路（1）當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；（2）當(dāng)“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.12、【解析】先利用對稱性求得點B坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式求得點E坐標(biāo)，然后利用兩點間距離公式求解.【詳解】因為點關(guān)于平面的對稱點是，點和點的中點是，所以，故答案為：13、【解析】先畫出函數(shù)的圖象，把方程有4個不同的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與有四個不同的交點，結(jié)合對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，要先畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，又由方程有4個不同的實數(shù)根，即函數(shù)的圖象與有四個不同的交點，可得，且，則=，因為，則，所以.故答案為.【點睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中把方程有4個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的有四個交點，結(jié)合對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.14、【解析】底面為正方形，對角線長為.故圓半徑為，故球的表面積為.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題.解決與幾何體外接球有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時，主要是要找到球心所在的位置，并計算出球的半徑.尋找球心的一般方法是先找到一個面的外心，如本題中底面正方形的中心，球心就在這個外心的正上方，根據(jù)圖形的對稱性，易得球心就在正四棱柱中間的位置.15、81%【解析】根據(jù)題意，利用函數(shù)解析式，直接求解.【詳解】由題意可知,，所以.所以10小時后污染物含量，即10小時后還剩81%的污染物.故答案為:81%三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、，2，.【解析】先對函數(shù)進(jìn)行化簡，然后結(jié)合性質(zhì)可求.【詳解】；最小正周期為；當(dāng)，即時，取到最大值；當(dāng)，即時，取到最小值；【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，一般是把目標(biāo)式化簡為標(biāo)準(zhǔn)型，然后結(jié)合性質(zhì)求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).17、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）若選①，由正弦定理得，即可求出；若選②，由正弦定理得，即可求出.（2）用正弦定理得表示出，，得到，利用三角函數(shù)求出的取值范圍.【小問1詳解】若選①，則由正弦定理得，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，即.若選②，則由正弦定理得，所以，所以，因為，所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】由正弦定理得，所以，同理，由，故，所以由，所以，所以，所以的取值范圍是.18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)新定義，代入計算判斷即可；(2）根據(jù)新定義得到ad<bc，再利用不等式的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】（1），的“下位序?qū)Α笔?（2）是的“下位序?qū)Α?,均為正數(shù),,即，，同理可得，綜上所述，【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于本題關(guān)鍵理解，如果，那么稱是的“下位序?qū)Α边@一新定義，理解此定義后，利用不等式性質(zhì)求解即可.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求參數(shù)值，注意驗證是否符合題設(shè).（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，根據(jù)解析式判斷的區(qū)間單調(diào)性，即可求的范圍.小問1詳解】由題設(shè)，，∴，即，故，當(dāng)時，，不成立，舍去；當(dāng)時，，驗證滿足.綜上：.【小問2詳解】由，即，又為增函數(shù)，由（1）所得解析式知：上遞增，∴在單調(diào)遞增-故，故.20、（1）見證明（2）見證明（3）見證明【解析】（1）先證明四邊形DENM為平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可得到證明；（2）先證明AD⊥平面PEB，由AD∥BC可得BC⊥平面PEB；（3）由（2）知BC⊥平面PEB可得PB⊥MN，由已知得PB⊥AN，即可證得PB⊥平面ADMN，利用面面垂直的判定定理即可得到證明.【詳解】(1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC．又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵AD∥BC，∴MN∥BC又∵N為PB的中點，∴M為PC的中點，∴MN＝BC∵E為AD中點，DE＝AD＝BC＝MN，∴DEMN，∴四邊形DENM為平行四邊形，∴EN∥DM.又∵EN?平面PDC，DM?平面PDC，∴EN∥平面PDC(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，E為AD中點，∴BE⊥AD．又∵PE⊥AD，PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB．∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB(3)由(2)知AD⊥PB又∵PA＝AB，且N為PB的中點，∴AN⊥PB∵AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.【點睛】本題考查線面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面垂