六、-動力學問題的有限元法

第六單元動力學問題的有限元法第一節(jié)變形體動力學問題概述變形體動力學問題在工程和科學問題中特別普遍。該類問題由隨時間變化的載荷或邊界條件產(chǎn)生。這類動力學問題涉及的對象包括各種機械零部件、工程構造、彈性介質(zhì)。依據(jù)問題的特點和載荷及受力體的動態(tài)特性，一般意義上的變形體動力學問題按如下三個途徑處理。指邊界條件和/或體力變化緩慢，或者物體內(nèi)加速度分布均勻等類型的問題。這類變形體問題的平衡微分方程中無視了慣性項，但載荷是時間的函數(shù)。在某時刻t，承受動靜法將整體慣性力轉(zhuǎn)化為體力，或者無視慣性力。對應此刻載荷的靜力學解作為t時刻的解。工程上可取隨時間變化載荷的最大值的靜力學解作為問題的準靜態(tài)解。盡管這種靜態(tài)狀況在實際上并不存在，但作為一種根本力學模型，在工程實踐上具有重要意義。很多實際問題可近似歸入準靜態(tài)問題，而滿足工程上的精度要求。準靜態(tài)問題通過這種近似處理，可以避開大量的動力學模型解算，而在有限的計算機資源下，可把實際問題的模型在準靜態(tài)假設前提下考慮得更細致、更有用。在很多狀況下，由此帶來的對實際狀況的靠近將大大抵消由于準靜態(tài)假設產(chǎn)生的誤差。至于哪些問題可作準靜態(tài)來處理，需要綜合考慮分析目的與精度要求，構件的尺度和動態(tài)特性〔固有振動周期〕，載荷的特性〔上升前沿和作用時間〕，計算機資源狀況等。構造動力學問題該領域爭論以下問題：彈性構造〔系統(tǒng)〕的自由振動特性〔頻率和振型〕分析；瞬態(tài)響應分析；頻率響應分析；響應譜分析等。就構造的瞬態(tài)響應分析而言，典型的有構造在沖擊載荷下的響應問題。構造動力學中這類問題的特點是，載荷作用前沿時間與構件的自振基頻周期相近，遠大于應力波在構件中的傳播時間?；蛘邩嫾祥L時間作用隨時間猛烈變化的載荷。構造動力學問題在工程中具有普遍性。彈塑性動力學問題這是連續(xù)介質(zhì)變形體動力學問題的另一個重要領域。涉及很多科學和工程領域，如高速碰撞，爆炸沖擊，人工地震勘探，無損探傷等。這類問題的爭論要深入到介質(zhì)中的彈塑性波的傳播過程以及考慮波動效應前提下介質(zhì)中應力應變的響應。這類問題中載荷的特點是構件上載荷作用前沿時間遠少于應力波在構件中的傳播時間。該狀態(tài)通常由構件高速碰撞或爆炸載荷產(chǎn)生。對于上述后兩類問題，描述質(zhì)點平衡和運動的微分方程一樣，包含慣性力項和阻尼力項。其數(shù)值求解方法主要是有限元法。其次節(jié)動力學問題的有限元方程在連續(xù)介質(zhì)的動力學問題中，描述力學參量的坐標是四維：3個空間坐標和一個時間坐標。進展有限元法求解時，只對空間區(qū)域進展離散化，得到離散多自由度系統(tǒng)的動力學模型。其有限元法步驟與靜力學問題一樣。只是在單元上對隨時間變化的節(jié)點位移進展插值，得到單元內(nèi)隨時間變化的假設位移場：為建立有限元動力學響應控制方程，利用達朗倍爾原理，在每個時刻t，將連續(xù)介質(zhì)中質(zhì)點加上慣性力和阻尼力，則系統(tǒng)的動力學問題轉(zhuǎn)化為等效靜力學問題。對等效系統(tǒng)應用虛功原理：將前面位移空間離散表達式和單元的幾何方程、物理方程代入上式虛功方程，并考慮到變分的任意性，得到離散系統(tǒng)掌握方程——構造有限元動力學方程：

方程中的系數(shù)矩陣分別為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，整體剛度矩陣。右端項為整體節(jié)點載荷向量。上述矩陣由相應的單元矩陣組集而成：其中：——單元質(zhì)量矩陣——單元剛度矩陣——單元阻尼矩陣——單元等效節(jié)點力向量假設無視阻尼，則構造動力學方程簡化為：上式動力學方程的右端項為零時就得到構造自由振動方程。從動力學方程導出過程可以看出，動力學問題的有限元分析中，由于平衡方程中消失了慣性力和阻尼力，從而引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，運動方程是耦合的二階常微分方程組，而不是代數(shù)方程組。該方程又稱為有限元半離散方程，由于對空間是有限元離散的，對時間是連續(xù)的。當求解該微分方程組，得出節(jié)點位移響應后，其它計算步驟與靜力分析一樣。有限元動力學方程的求解雖然可以承受常規(guī)的常微分方程組解法，但由于實際問題有限元模型的階數(shù)往往很高，用常規(guī)方法不經(jīng)濟，通常承受一些對有限元方程有效的解法，主要分為兩類：直接積分法和振型疊加法。第三節(jié)質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣

1、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和集中質(zhì)量矩陣該矩陣稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣或全都質(zhì)量矩陣。由于它和剛度矩陣依據(jù)同樣的原理、過程和插值函數(shù)導出，還表示質(zhì)量在單元上呈某種分布。此外，有限元中還常常承受集中質(zhì)量矩陣，它是一個對角矩陣，由假定單元質(zhì)量集中在節(jié)點上得到。上節(jié)導出的單元質(zhì)量矩陣為：對于3節(jié)點三角形單元，按上述公式計算得到的全都質(zhì)量矩陣為：該單元的集中質(zhì)量矩陣為：實際應用中，兩種質(zhì)量矩陣都有應用，得到的計算結果相差不多。承受集中質(zhì)量矩陣可以使計算得到簡化，提高計算效率，由此得到的自振頻率常低于準確解。在波傳播問題和高速瞬態(tài)非線性分析中，通常承受顯式動力學求解方法協(xié)作使用線性位移單元和集中質(zhì)量陣。2、阻尼矩陣單元阻尼矩陣：稱為協(xié)調(diào)阻尼矩陣。這種阻尼是由阻尼力正比于質(zhì)點運動速度得到的，屬于粘性阻尼。明顯，這種阻尼陣與質(zhì)量矩陣成正比。對構造而言，阻尼并非粘性的，而主要是由于材料內(nèi)部摩擦效應引起的能量耗散，但這種耗散機理尚未完全清晰，更難以用數(shù)學模型表達，故通常假設這種狀況的阻尼力正比于應變速率，從而可導出比例于單元剛度矩陣的單元阻尼陣，大多數(shù)情形下足夠準確。上述兩種阻尼矩陣稱為比例阻尼或振型阻尼。其比例系數(shù)一般依靠于頻率，很難準確確定。一個通行的方法是將構造的阻尼矩陣簡化為構造剛度陣和構造質(zhì)量陣的線性組合：其中α，β是不依靠于頻率的常數(shù)。這種振型阻尼稱為Rayleigh阻尼。當α=0時，較高階振型受到的阻尼較大；當β=0時，較低階振型受到的阻尼大。由于系統(tǒng)的固有振型對于構造質(zhì)量矩陣和構造剛度矩陣具有正交性，因此，系統(tǒng)振型對上述Rayleigh阻尼矩陣也是正交的。所以這類阻尼矩陣又稱為振型阻尼。承受振型阻尼矩陣后，可以利用系統(tǒng)振型對動力學方程進展變換，得到解耦的方程組，使每個方程可以獨立求解，給計算帶來便利。第四節(jié)構造自振頻率和振型其中是n階向量，表示有限元離散結構所有自由度的振幅，ω是該向量振動的頻率。將上式代入自由振動方程得到：爭論構造自由振動特性。設阻尼和外力均為零，則構造自由振動有限元運動方程為：設各自由度作簡諧運動：該方程描述的問題稱為廣義特征值問題。其中特征值：代表系統(tǒng)的n個固有頻率，并有：特征向量：代表系統(tǒng)的n個固有振型，或稱為主振型。其幅度是不確定的，但可以用下列方法對其正則化：求解該問題可以得到n對特征解〔特征對〕這樣的固有振型又稱為正則振型，以后默認所謂固有振型即是指這種正則振型。

簡潔證明，固有振型具有對M和K的正交性：定義：它們分別稱為固有振型矩陣和固有頻率矩陣利用固有振型矩陣和固有頻率矩陣，構造固有振型的正交性質(zhì)可以表示成：原來的特征值問題可以表示成：固有頻率和固有振型是一個構造自由振動的根本特性，也是構造動態(tài)特性的根本要素。求解構造自由振動的廣義特征值問題，由于系統(tǒng)自由度很多，而爭論系統(tǒng)動態(tài)響應和動態(tài)特性時，往往只需要少數(shù)低階特征值和特征向量。因此在有限元分析中進展了很多針對上述特點的效率較高的算法。其中應用最廣泛的有Lanczos法、子空間迭代法、逆迭代法等。第五節(jié)瞬態(tài)響應分析瞬態(tài)響應分析是計算動力強迫響應分析的最一般方法。其目的是計算構造受隨時間變化鼓勵作用下的行為。瞬態(tài)鼓勵定義在時間域中，每個瞬時的大小。鼓勵可以是作用力和強迫運動。依據(jù)構造和載荷的性質(zhì)，可以用兩種不同的數(shù)值方法進展瞬態(tài)響應分析：直接積分法和振型疊加法。前者對全耦合的有限元離散運動方程直接進展積分；后者利用主振型對運動方程進展變換和解耦，構造的響應依據(jù)相應于各振型的響應累加而成。1、直接積分法第一，將求解時間域0<t<T內(nèi)任何時刻t都滿足運動方程的要求降低為在相隔Δt的離散時間點上滿足運動方程。直接積分法的兩個前提：其次，在離散時間點之間的Δt區(qū)域，對位移，速度，加速度進展假設。相當于對運動微分方程組在時間域進展離散化，并逐點求解。直接積分法概述：直接積分法的時間離散化方程有顯式和隱式兩類。在顯式方程中，由t時刻的運動方程求t+Δt時刻的位移；而隱式方法是從與t+Δt時刻運動方程關聯(lián)的表達式中求t+Δt時刻的位移。顯式方法要求很小的時間步長，但每步求解所需計算量較?。欢[式方法允許較大的時間步長，但每一步求解方程的消耗較大。大多數(shù)顯式方法是條件穩(wěn)定的：當時間步長大于構造最小周期的肯定比例時，計算得到的位移和速度將發(fā)散或得到不正確的結果；隱式方法往往是無條件穩(wěn)定的，步長取決于精度，而不是穩(wěn)定性方面的考慮。

典型的顯式方法是所謂的“中心差分法”，其根本思想如下。t+Δt時刻的位移解從t時刻的運動方程建立：

中心差分法將某時刻的加速度和速度用中心差分表示：將加速度和速度的差分格式代入上式，得到：上式就是求離散時間點上位移解的遞推公式。但該算法有起步問題〔見P449〕。中心差分法特點如下：1〕是顯式算法，并且當質(zhì)量陣和阻尼陣都是對角陣時，利用該遞推公式求解運動方程時不需要進展矩陣求逆，這個特點在非線性問題中將更有意義。

是有限元系統(tǒng)的最小固有振動周期，通常用最小尺寸單元的最小固有振動周期代替。因此，有限元網(wǎng)格中最小單元尺寸將決定中心差分法時間步長的選擇。有限元網(wǎng)格劃分時要考慮到這個因素，避免個別單元尺寸太小。2）是條件穩(wěn)定算法。時間步長必須小于某個臨界值：3〕中心差分法適合用于考慮波傳播效應的線性、非線性響應分析。但是對于構造動力學問題中的瞬態(tài)響應分析，不適合承受中心差分法，由于這類問題，重要的是較低頻的響應成分，允許承受較大的時間步長。通常承受無條件穩(wěn)定的隱式算法。應用最廣泛的一種隱式算法是Newmark方法。在積分區(qū)間上承受如下的速度、位移假設：

Newmark方法通過t+Δt時刻的運動方程來決定t+Δt時刻的位移解，即：從上面三個方程聯(lián)立可推出從t時刻的運動參量計算t+Δt時刻位移的公式：由于從上式求解t+Δt時刻位移時需要對非對角的等效剛度陣求逆，因此稱為隱式算法。當算法中的參數(shù)滿足肯定條件時，該算法是無條件穩(wěn)定的。此時，步長的選擇取決于解的精度，可以依據(jù)對結構響應有主要奉獻的假設干根本振型的周期來確定。通?？扇樗紤]的根本振型周期中最小周期的二特別之一。對構造動力學問題，所關心的較低階振型的周期比全系統(tǒng)的最小周期大得多，也就是無條件穩(wěn)定的隱式算法可以承受比有條件穩(wěn)定的顯式算法大得多的時間步長，而承受較大時間步長還可以濾掉不準確的高階響應成分。2、振型疊加法振型疊加法是計算構造瞬態(tài)響應的另一種數(shù)值方法。該方法利用構造固有振型對動力學方程組進展變換，縮減未知量規(guī)模，并對運動方程組進展解耦，大幅度提高數(shù)值求解的效率。由于在構造動力學分析過程中，計算固有頻率、固有振型是評價構造動態(tài)特性之必需，故振型法響應分析是常規(guī)模態(tài)分析的自然延長。此變換的意義：變換把結構的瞬態(tài)位移響應從以有限元網(wǎng)格節(jié)點位移為基向量n維空間轉(zhuǎn)換到以固有振型為基向量的n維空間。這里看成廣義位移基向量，xi是廣義位移分量。數(shù)學上看，是離散系統(tǒng)位移在兩個不同向量空間之間的變換。振型疊加法的根本思想如下。首先引入變換：其中：并且兩邊左乘，并考慮到的正交性，則得到新向量空間內(nèi)的運動方程：將上述變換代入有限元運動方程假設方程中的阻尼矩陣是振型阻尼陣，利用主振型的正交性可得：成為對角方陣。則其中ξi定義為第i階振型的阻尼比。在此狀況下，上面變換后的方程就成為n個相互獨立的二階常微分方程：在求出每個振型坐標上的位移