2023年初中數(shù)學(xué)重要公式

初中數(shù)學(xué)重要公式

1、幾何計(jì)數(shù)：

⑴當(dāng)一條直線上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，在這條直線上存在條線段.

⑵平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，過兩點(diǎn)確定一條直線，在這個(gè)平面內(nèi)最多存在條直線.

⑶如果平面內(nèi)有"條直線，最多存在個(gè)交點(diǎn).

（4）如果平面內(nèi)有n條直線，最多可以將平面分成部分.

（5）、有公共端點(diǎn)的n條射線（兩條射線的最大夾角小于平角），則存在個(gè)角.

2、AB//CD,分別探討下面四個(gè)圖形中N4個(gè)與/用氏/尸切的關(guān)系。

3、全等三角形的判定方法：

a.三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

b.兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

c.兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

d.兩條邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

e.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記為）.

4、坐標(biāo)系中的位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似

比為A,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于.

5、”邊形的內(nèi)角和等于;多邊形的外角和都等于.

6、在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，最多能有—3一個(gè)鈍角，最多能有一3一個(gè)銳角.如果一個(gè)多邊

形的邊數(shù)增加1，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加180—度.

4.n邊形有條對(duì)角線.

5、用、完全相同的一種或幾種進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙，

不重疊的鋪成一片，就是平面圖形的.

［注意］要實(shí)現(xiàn)平面圖形的鑲嵌，必須保證每個(gè)拼接點(diǎn)處的角恰好能拼成°.

［總結(jié)］平面圖形的鑲嵌的常見形式

⑴用同一種正多邊形可以鑲嵌的只有三種情況：個(gè)正三角形或個(gè)正四邊

形或個(gè)正六邊形.

⑵用兩種正多邊形鑲嵌

①用正三角形和正四邊形鑲嵌：個(gè)正三角形和個(gè)正四邊形；

②用正三角形和正六邊形鑲嵌：用個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形或者用

個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形；

③用正四邊形和正八邊形鑲嵌：用個(gè)正四邊形和個(gè)正八邊形可以鑲嵌.

⑶用三種不同的正多邊形鑲嵌

用正三角形、正四邊形和正六邊形進(jìn)行鑲嵌，設(shè)用m塊正三角形、"塊正方形、k塊正六邊

形，則有60m+90n+：120k=360,整理得,因?yàn)閙、n、k為整數(shù)，所

以m—,n=,k=,即用塊正方形，塊正三角

形和塊正六邊形可以鑲嵌.

6、梯形常用輔助線做法：

7,如圖：RtAABC中，ZACB=90°,于。，

則有：

⑴、Z/ACD=ZeZDCB=ZA

（2）由RtZXA8csRtAz\CD得到AC=ADAB

由Rt/\ABCsRtACBD得至沙BC?=BD-AB

由Rt/XACDsRtACBD得到CD1=ADBD

⑶、由等積法■得至UABXCD=ACxBC

8、若將半圓換成正三角形、正方形或任意的相似形,

9,在解直角三角形時(shí)常用詞語:

1.仰角和俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做,視線在水平線下方的叫做

2.坡度和坡角

通常把坡面的鉛直高度h和水平寬度I之比叫,用字母i表示，即1=,把

坡面與水平面的夾角叫做，記作a,于是i==tana,顯然，坡度越大，

a角越大，坡面就越陡.

10.正多邊形的有關(guān)計(jì)算

180°

應(yīng)氏：d—■siii周長(zhǎng)：

nnPn—n?3.n

180°1

邊心距：rn—R〃?cos面積：S?=~a*r,,'n

n乙n

tin—2X180°360°360°

內(nèi)用：n外角:中心角:

nn

11、特殊銳角三角函數(shù)值

.45，

30"60°

￡石

Sina返

2TV

J_

CosaV3V2

V2

也

tana1百

3

V3

Cota娛1

12、某些數(shù)列前n項(xiàng)之和

l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2

l+3+5+7+9+ll+13+15+...+(2n-l)=n2

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l)

13、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比

例。

如圖：a〃b〃c,直線/i與匕分別與直線a、b、c相交與點(diǎn)A、8、C和E、F,

ABDEABDEBCEF

則有——=——,——=——,——=——O

BCEFACDFACDF

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)

應(yīng)線段成比例。如圖：△八8c中，DE//BC,DE與AB、AC相交與點(diǎn)D、E,則有：

ADAEADAEDEDBEC

u

BC?c

14、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：

①極差：

用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差

稱為極差，即：極差=最大值-最小值；

②方差：

數(shù)據(jù)X］、x2……，X”的方差為52,

③標(biāo)準(zhǔn)差：

數(shù)據(jù)X］、x2...,X“的標(biāo)準(zhǔn)差S,

則s=J—(內(nèi)―*)+(/—%)-+...+(七，—x)

一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。

15、求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

①公式法：y—ax2+bx+c=cix+-^-\~頂點(diǎn)是

I2aJ4a

/b4ac-b2.j.b

(----,--------)x,對(duì)稱軸是a直線x=——o

2a4a2a

②配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y="(x-/z>%的形式，

得到頂點(diǎn)為(〃，%),對(duì)稱軸是直線x=〃。

③運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性：由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸與

拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

若已知拋物線上兩點(diǎn)(內(nèi)/)、(々,力(及y值相同)，則對(duì)稱軸方程可以表

示為：x=2上

2

16、直線與拋物線的交點(diǎn)

①y軸與拋物線y=ox?+/?x+c得交點(diǎn)為(0,C)0

②拋物線與x軸的交點(diǎn)。

二次函數(shù)y+/?x+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)七、%,,是對(duì)應(yīng)一

元二次方程

ax?+hx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次

方程的根的判別式判定：

a有兩個(gè)交點(diǎn)=(△>())=拋物線與x軸相交；

b有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；

C沒有交點(diǎn)。⑦*：：。)。拋物線與X軸相離。

③平行于X軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同②一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為左，則橫坐標(biāo)是or?+bx+c=Z的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

④一次函數(shù)y=kx+n(kh0)的圖像/與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aw0)的圖

y=kx+n

像G的交點(diǎn)，由方程組）的解的數(shù)目來確定：

y=ax"+bx+c

a方程組有兩組不同的解時(shí)=/與G有兩個(gè)交點(diǎn)；

b方程組只有一組解時(shí)。/與G只有一個(gè)交點(diǎn)；

c方程組無解時(shí)o/與G沒有交點(diǎn)。

⑤拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線y=ax1+/?x+c與x軸兩交點(diǎn)

為A（XpO）,B（X2,O）,則AB=\xy-x2|

圖形的定義、性質(zhì)、判定

一、角平分線

性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的相等.

判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在上.

二、線段垂直平分線

1.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離.

2.判定：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的上.

［點(diǎn)撥］線段的垂直平分線可以看作到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.

三、等腰三角形

定義、性質(zhì)：

1.定義：有兩相等的三角形是等腰三角形.

2.性質(zhì)：

⑴等腰三角形兩個(gè)腰.

(2)等腰三角形的兩個(gè)底角(簡(jiǎn)寫成等邊對(duì)等角).

⑶等腰三角形的頂角,底邊上的，底邊上的_______互相重合.

⑷等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有條對(duì)稱軸.

［注意］(1)等腰三角形兩腰上的高相等.

(2)等腰三角形兩腰上的中線相等.

⑶等腰三角形兩底角的平分線相等.

⑷等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.

⑸等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行.

⑹等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高.

⑺等腰三角形底邊延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之差等于一腰上的高.

判定：

1.定義法.

2.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫為“等角對(duì)等邊”).

［注意］(1)一邊上的高與這邊上的中線重合的三角形是等腰三角形.

⑵一邊上的高與這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

⑶一邊上的中線與三角形中這邊所對(duì)角的平分線重合的三角形是等腰三角形.

四、等邊三角形

1.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的三條邊都相等.

(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等并且每一個(gè)角都等于60°.

(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，并且有條對(duì)稱軸.

［注意］等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).

2.等邊三角形的判定

⑴三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.

(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形.

(3)有一個(gè)角等于60"的三角形是等邊三角形

五、直角三角形

1.定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

2.直角三角形的性質(zhì)

(1)直角三角形的兩個(gè)銳角.

(2)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的.

⑶在直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的.

(4)在直角三角形中，如果有一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角是30

度。

(5)、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2^

3.直角三角形的判定

(1)、判定：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是三角形.

(2)、如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,滿足a2+〃=c2,那么這個(gè)三角形是三

角形.

(3)、如果一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

⑷、直徑所對(duì)的圓周角是90度。

(5)、如果一個(gè)三角形的外心在三角形的一條邊上，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

缶)、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

六、相似三角形

1.相似三角形的對(duì)應(yīng)角,對(duì)應(yīng)邊的比.相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊

的比.

相似多邊形周長(zhǎng)的比等于,相似多邊形面積的比等于的平方.

2.相似三角形的周長(zhǎng)比等于.

3.相似三角形的面積比等于相似比的.

［注意］相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

判定定理：

1.如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

2.如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

3.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似.

［注意］直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形都相似.

七、位似圖形

1.定義：兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，像這樣

的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做.

［注意］位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，相似圖形不一定是位

似圖形.

2.位似圖形的性質(zhì)

⑴位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于.

(2)對(duì)應(yīng)線段互相.

3.坐標(biāo)系中的位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，位似

比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于.

八、平行四邊形

1.定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形；

2.平行四邊形的性質(zhì)

⑴平行四邊形的兩組對(duì)邊分別;

(2)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別;

⑶平行四邊形的兩組對(duì)角分別;

⑷平行四邊形的對(duì)角線互相.

［總結(jié)］平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

判定：

1.定義法.

2.兩組對(duì)角分別的四邊形是平行四邊形.

3.兩組對(duì)邊分別的四邊形是平行四邊形.

4.對(duì)角線的四邊形是平行四邊形.

5.一組對(duì)邊平行且______的四邊形是平行四邊形.

九、矩形

1.矩形的定義

有一個(gè)角是直角的是矩形.

2.矩形的性質(zhì)

(1)矩形對(duì)邊;

(2)矩形四個(gè)角都是角(或矩形四個(gè)角都相等)；

⑶矩形對(duì)角線、.

［總結(jié)］(1)矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)面積相等的等腰三角形；

3.矩形的判定

⑴定義法；

(2)有三個(gè)角是直角的是矩形；

(3)對(duì)角線相等的是矩形.

十、菱形

1.菱形的定義

一組鄰邊相等的是菱形.

2.菱形的性質(zhì)

⑴菱形的四條邊都;

⑵菱形的對(duì)角線互相，互相，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

⑶菱形是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn);菱形也是軸對(duì)稱圖形，兩條

對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸.

［注意］菱形的面積：

⑴由于菱形是平行四邊形，所以菱形的面積=底＞＜高；

⑵因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，所以其對(duì)角線將菱形分成4個(gè)全等三角形，故菱形的

面積等于兩對(duì)角線乘積的.

3.菱形的判定

⑴定義法；

(2)對(duì)角線互相垂直的是菱形；

⑶四條邊都相等的是菱形.

十一、正方形

1.正方形的定義

有一組鄰邊相等的是正方形.

2.正方形的性質(zhì)

⑴正方形對(duì)邊平行；

(2)正方形四邊相等；

⑶正方形四個(gè)角都是直角；

⑷正方形對(duì)角線相等，互相,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

⑸正方形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有四條，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn).

3.正方形的判定

⑴定義法；

(2)有一個(gè)角是直角的是正方形.

［注意］矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，且是特殊的平行四邊形.矩形是有一內(nèi)角為

直角的平行四邊形；菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形；正方形既是有一組鄰邊相等的矩

形，又是有一內(nèi)角為直角的菱形.

十二、中點(diǎn)四邊形

1.定義：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形，我們稱之為中點(diǎn)四邊形.

2.常用結(jié)論：

⑴任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；

⑵對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形；

⑶對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形；

⑷對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.

十三、等腰梯形

1.等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角.

2.等腰梯形的兩條對(duì)角線.

［總結(jié)］(1)等腰梯形兩腰相等、兩底平行；

(2)等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，一底的垂直平分線是它的對(duì)稱軸.

判定：

1.定義法；

2.同一底上的兩個(gè)角的梯形是等腰梯形.

［注意］等腰梯形的判定方法：⑴先判定它是梯形；(2)再用“兩腰相等”或“同一底上的兩

個(gè)角相等”來判定它是等腰梯形.

十四、三角形外心和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平

分線的交點(diǎn)。(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心就

是三邊中垂線的交點(diǎn).

常見結(jié)論：①Rt^ABC的三條邊分別為：a、b、c(c為斜邊)，則它的內(nèi)切圓的

半徑「二竺”￡

2

S=JL/r

②^ABC的周長(zhǎng)為/,面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,則,一5

（3）、內(nèi)心到三角形三邊距離相等。

（4）、外心到三角形三個(gè)定點(diǎn)的距離相等。

（5）、銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部：鈍角三角形的外心在三角形的外部,

直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)處。

幾何動(dòng)態(tài)問題探究

動(dòng)態(tài)問題常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合

性。解決動(dòng)態(tài)型問題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形，把

握動(dòng)點(diǎn)（或線或面）運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變

量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，“動(dòng)中求靜，

靜中求解”。

一、動(dòng)點(diǎn)問題

①一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題

1、如圖，在矩形/比77中，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)〃出發(fā)，沿BC、CD、力運(yùn)動(dòng)

【分析】本題難點(diǎn)在于應(yīng)找到面積不變的開始與結(jié)束，得到BC,

⑦的具體值.

【解答】解：動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)〃出發(fā)，沿BC、切、物運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)力停止,

而當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,〃之間時(shí)，△力帆的面積不變.函數(shù)圖象上

橫軸表示點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程，x=4時(shí)、y開始不變，說明仇=4,x

=9時(shí)，接著變化，說明切=9-4=5.

勿的面積為=工義4*5=10.

2

故選：A.￡

2、如圖，點(diǎn)。是線段例上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，必和△仇若藉石即'

的兩個(gè)等邊三角形，DM,即分別是△力切和△仇若明,飛夕*線

段/方上沿著從點(diǎn)力向點(diǎn)〃的方向移動(dòng)（不與點(diǎn)/B量合。連摟'

DE,得到四邊形四諉這個(gè)四邊形的面積變化情況為（）

A.逐漸增大B.逐漸減小

C.始終不變D.先增大后變小

【分析】易得此四邊形為直角梯形，AB的長(zhǎng)度一定，那么直角梯

形的高為力少的長(zhǎng)度的一半，上下底的和也一定，所以面積不變.

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段力夕上沿著從點(diǎn)A向點(diǎn)方的方向移動(dòng)時(shí),

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等邊必和△旌'的高血/和功的和不

會(huì)改變，

即朋EN=MMCWCN=J^AC嗎CB=^AB,

而且也V的長(zhǎng)度也不會(huì)改變，即MN=^AC+^CB=^AB.

222

四邊形場(chǎng)險(xiǎn)'面積=返而，

8

.?.面積不會(huì)改變.

故選：C.

3、如圖，圓柱形容器中，高為12%,底面周長(zhǎng)為1m,在容器內(nèi)壁

離容器底部03〃的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外

壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最

短距離為m(容器厚度忽略不計(jì)).

【分析】將容器側(cè)面展開，建立為關(guān)于必的對(duì)稱點(diǎn)/,根據(jù)兩

點(diǎn)之間線段最短可知/8的長(zhǎng)度即為所求.

【解答】解：如圖：

二?高為1.2力，底面周長(zhǎng)為1/，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3勿的點(diǎn)夕

處有一蚊子，

此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3勿與蚊子相對(duì)的點(diǎn)

/處，

'.A'〃=0.5%，BD=1.2-0.3+AE—1.2m,

將容器側(cè)面展開，作/關(guān)于跖的對(duì)稱點(diǎn),

連接4B,則/夕即為最短距離,

A，22

D+BD

=VO.52+l.22

=1.3(%).

故答案為：1.3.

4、在。。中，血是。。的直徑，AB=8c/n,立=而=而，"是"上一

動(dòng)點(diǎn)，G/砌的最小值是cm.

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于居的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接。'〃與4夕相交于點(diǎn)瓶

根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，點(diǎn)M為0/加/的最小值時(shí)的位置,

根據(jù)垂徑定理可得/=正尸，然后求出c〃為直徑，從而得解.

【解答】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于四的對(duì)稱點(diǎn)C',連接D與AB

相交于點(diǎn)M,

此時(shí)，點(diǎn)物為C於〃〃的最小值時(shí)的位置,

由垂徑定理，AC=AC7',

ABD=AC7',

VAC=CD=BD,48為直徑，

：.c〃為直徑,

.?.0匹〃〃的最，卜值是8。%.

故答案為：8.

5、如圖，一只螞蟻沿著棱長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過3

個(gè)面爬到點(diǎn)B,如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則的長(zhǎng)

為.

【分析】將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一

個(gè)面上，此時(shí)力方最短，根據(jù)三角形掰力與三角形4g相似，由相

似得比例得到加'=2陽，求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求出然的長(zhǎng)

即可.

【解答】解：將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放

在一個(gè)面上，展開圖如圖所示，此時(shí)力〃最短,

?：ABCMSAACN,

.?.膽=耳￡,即匹=耳￡=2,gpMC=2NC,

ANNC2NC

:.CN=LMN=Z

33

在Rta/av中，根據(jù)勾股定理得：AC=A/AN24CN2=XI

故答案為：孚.

6、在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形力8%如圖放置，"點(diǎn)4N的坐

標(biāo)分別是（0,4）、（-1,0）,將此平行四邊形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,得到平行四邊形，B'OC.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)。、爾A',求此拋物線的解析式；

（2）在（1）的情況下，點(diǎn)"是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：

當(dāng)點(diǎn)〃在何處時(shí)，△初夕的面積最大？最大面積是多少？并求出

此時(shí)〃的坐標(biāo)；

（3）在（1）的情況下，若夕為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，"為x軸上的一

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0坐標(biāo)為（1,0）,當(dāng)只N、B、0構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求

點(diǎn)戶的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)》的坐標(biāo).

【分析】（1）由平行四邊形A80C繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到

平行四邊形A'B'OC,且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4）,可求得點(diǎn)A'

的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得經(jīng)過點(diǎn)C、A、A'的拋物線

的解析式；

（2）首先連接44',設(shè)直線44'的解析式為：y=kx+b,利用待

定系數(shù)法即可求得直線44'的解析式，再設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（％,

-％2+3x+4）,繼而可得△AMA'的面積，繼而求得答案；

（3）分別從BQ為邊與BQ為對(duì)角線去分析求解即可求得答案.

【解答】解：（1）???平行四邊形A80C繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

得到平行四邊形A'B'OC,且點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4）,

.,.點(diǎn)A'的坐標(biāo)為：(4,0),

\?點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是(0,4)、(-1,0),拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、A、

A',

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c,

a-b+c=0

??<c=4,

16a+4b+c=0

'a-

解得：?b=3,

c=4

.,.此拋物線的解析式為：-x2+3x+4；

(2)連接A4',設(shè)直線A4'的解析式為：y=kx+h,

.,Jb=4,

l4k+b=0

解得：”=T，

lb=4

直線AA'的解析式為：y=-%+4,

設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為：(％,-x2+3x+4),

貝ISAAMA'=1X4X[-P+3%+4-(-%+4)]=-2x2+Sx=-2(%-2)

2+8,

...當(dāng)％=2時(shí)，△AMA'的面積最大，最大值SZXAMA，=8,

的坐標(biāo)為:(2,6)；

方法二：過M點(diǎn)做工軸垂線和A4'交于一點(diǎn)E(%,-x+4),把4

AM4分成兩個(gè)共底三角形，然后以ME為底，可以得出ME的長(zhǎng)就

是M點(diǎn)縱坐標(biāo)減去E點(diǎn)縱坐標(biāo)，即題目當(dāng)中的-f+3%+4-(-%+4),

另外兩個(gè)三角形的高之和就等于4,這是一種面積問題的常用方法.

(3)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(％,-_?+3X+4),當(dāng)p,N,B,。構(gòu)成平行

四邊形時(shí)，

?.?平行四邊形A80C中，點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別是（0,4）、（-1,0）,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,4）,

\?點(diǎn)。坐標(biāo)為（1,0）,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為工軸上的一動(dòng)

點(diǎn)，

①當(dāng)3。為邊時(shí)，PN//BQ,PN=BQ,

-?T+3A:+4=±4,

當(dāng)-d+Bx+dud時(shí)，解得：%i=0,%2=3,

：.P\（0,4）,P2（3,4）；

當(dāng)-/+3%+4=-4時(shí)，解得：％3=/亙，必=三逅，

_22

...。3-4）,PA（^S,-4）；

22

②當(dāng)BQ為對(duì)角線時(shí)，BP//QN,BP=QN,此時(shí)P與外，尸2重合；

綜上可得：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：Pi（0,4）,P2（3,4）,尸3（弛畫，

2

-4）,尸4-4）；

2

如圖2,當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0,0）或

7、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)A、B,其坐標(biāo)為A(-1,-1),5(2,

7),點(diǎn)M為％軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使MB-MA的值最大，則點(diǎn)

M的坐標(biāo)為.

【分析】要使得地-例的值最大，只需取其中一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)

稱點(diǎn)，與另一點(diǎn)連成直線，然后求該直線x軸交點(diǎn)即為所求.

【解答】解：取點(diǎn)方關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)夕'，則直線/夕交X軸于

點(diǎn)四點(diǎn)"即為所求.

設(shè)直線4夕解析式為：尸kx+b

把點(diǎn)/(-1,-1)9(2,-7)代入

[-]=-k+b

1_7=2k+b

解得”=-2

lb=-3

...直線力夕為：y=-2x-3,

當(dāng)y=0時(shí)-，x--

坐標(biāo)為(-§,0)

2

故答案為：(-3,0)

2

8、如圖，4。是。。的弦，4。=5,點(diǎn)方是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且N45C

=45°,若點(diǎn)M、N分別是AC.比的中點(diǎn)，則脈的最大值

是.

【分析】根據(jù)中位線定理得到MV的長(zhǎng)最大時(shí)，A8最大,當(dāng)力〃最

大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值.

【解答】解：:?點(diǎn)版"分別是比；4C的中點(diǎn),

:.MN=LAB,

2

.?.當(dāng)48取得最大值時(shí)，腑就取得最大值，當(dāng)48是直徑時(shí)，最

大，

連接4。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)夕，連接力'，

'：AB'是。。的直徑，

AAACB'=90°.

9、如圖，在如中，仍=2?,ZA=30°,。。的半徑為1,

點(diǎn)〃是4夕邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)〃作。。的一條切線夕0（其中點(diǎn)0為

切點(diǎn)），則線段制長(zhǎng)度的最小值為.

【分析】連接華、OQ,作OP'J_4夕于〃，根據(jù)切線的性質(zhì)得到

。。工倒，根據(jù)勾股定理得到圖=而二，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)

OP^AB^,伊最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：連接俯、OQ,作OP，，力8于戶，

?.?國是。。的切線，

：.OQA.PQ,

,,PQ=VOP2-OQ2=VOP2-I，

當(dāng)伊最小時(shí)，線段圖的長(zhǎng)度最小,

當(dāng)時(shí)，OP最小,

在Rt△//中，N4=30°，

.?.以=9_=6,

tanA

在RtZk/。3'中，N4=30。，

AOP'=」以=3,

2

「?線段尸0長(zhǎng)度的最小值=在嗎=2&,

故答案為：2點(diǎn).

②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題

10、在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形/為3如圖放置，點(diǎn)4。的坐

標(biāo)分別是（0,4）、（-1,0）,將此平行四邊形繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90°,得到平行四邊形4B'OC.

（1）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)C、AA',求此拋物線的解析式；

（2）在（1）的情況下，點(diǎn)"是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：

當(dāng)點(diǎn)"在何處時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？并求出

此時(shí)"的坐標(biāo)；

（3）在（1）的情況下，若P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，》為x軸上的一

動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)0坐標(biāo)為（1,0）,當(dāng)P、N、B、0構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求

點(diǎn)戶的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)》的坐標(biāo).

【分析】（